2021-2022学年甘肃省张掖市校际联考高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2022年春学期高二年级期中校际联考数学试卷（理科）

第I卷（选择题）

一、单选题（共60分）

1．已知，为实数，且（为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

2．曲线在点处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

3．的展开式中常数项是（    ）

A．60 B．160 C．120 D．240

4．已知整数对排列如下：，，，，，，，，，，，，，……．按以上规律，第70个数对是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，曲线在处的切线的方程为，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（    ）．

A． B． C． D．

6．设随机变量的分布列为下表所示，且，则（    ）

A．0.2 B． C．0.3 D．

7．某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有四种颜色可供选择，有（    ）种不同的涂色方案．

A．24 B．256 C．108 D．72

8．《世说新语·道旁苦李》有这样一则故事：王戎七岁的时候，曾经和小朋友们一道玩耍，看见路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了，那些小朋友都争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动．有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在大路边上，还有这么多李子，这一定是苦李子．”摘来一尝，果然是这样．这则故事中，王戎判断李子是苦李所用到的数学方法是（    ）

A．反证法 B．综合法 C．分析法 D．分析—综合法

9．中国在年月日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等名志愿者参加个不同的社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排名志愿者，名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

10．（    ）

A． B． C． D．

11．如图所示，在正方体中，若经过的平面分别交和于点，，则四边形的形状是（    ）

A．直角梯形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形

12．函数有两个零点，则的取值范围为（    ）

A．  B．

C．  D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（共20分）

13．设复数，满足，，则______．

14．现某路口对一周内过往人员进行健康码检查，安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有______种．

15．对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是______（填序号）．

①；   ②；

③；   ④．

16．已知函数，若关于的不等式有且仅有1个整数解，则的取值范围为______．

三、解答题（共70分）

17．已知展开式中所有项的二项式系数和为16．

（1）求的值；

（2）求展开式中含的项的系数．

18．已知a为实数，函数，．

（1）求a的值；

（2）求函数在上的极值．

19．已知几何体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，ABCD是边长为4的正方形，EF∥CD，且EF＝ED＝2．

（1）求证：AD⊥CF；

（2）求平面ADE与平面BCF所成角的大小．

20．已知函数．

（1）当时，求在点处的切线方程．

（2）若在区间上为增函数，求a的取值范围．

21．南充市的“名师云课堂”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

（1）现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数；

（2）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间内，则需要花费20分钟进行剪辑，点击量超过3000，则不需要剪辑，现从（1）中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X的分布列．

22．已知函数（a为非零实数）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个极值点，，且，求证：．

参考答案

1．【答案】A

【解析】

【分析】

利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得，进而得解．

【详解】

由题意知，解得，所以

故选：A

2．【答案】B

【解析】

【分析】

求导，得到曲线在点处的斜率，写出切线方程．

【详解】

因为，所以曲线在点处斜率为4，

所以曲线在点处的切线方程是，

即，

故选：B

3．【答案】B

【解析】

【分析】

利用二项展开式的通项进行求解．

【详解】

的展开式的通项为，

令，得，即，

即展开式常数项为160．

故选：B．

4．【答案】C

【解析】

【分析】

根据数字的排布规律，观察可以发现，是按照数对的和的大小从小到大排列的，逐次考察和为1，2，3，4，…的数对的个数，得到第70对数是两个数的和为13的数对中，即可得到答案．

【详解】

解：，两数的和为2，共1个，

，两数的和为3，共2个，

，两数的和为4，共3个，

，两数的和为5，共4个，

…

，两数的和为n＋1，共n个，

∵，

∴第70对数是两个数的和为13的数对中，

对应的数对为，

则第70对数为，

故选：C．

5．【答案】D

【解析】

【分析】

首先根据导数的几何意义可知，由此可得，再根据切点即在曲线上，又在切线上，可得，可得，求出切线方程，再分别令，，求出切线在轴和轴上的截距，再根据面积公式即可求出结果．

【详解】

由得，则，得，

由得加，即，

∴切线的方程为，

令，得到，令，得到，

所求三角形面积为．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题．

6．【答案】D

【解析】

【分析】

根据已知条件可得出关于、的方程组，即可求得的值．

【详解】

由题意可得，解得，因此，．

故选：D．

7．【答案】C

【解析】

【分析】

按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】

解：首先涂“自由”有4种涂法，再涂“平等”有3种涂法，以此类推“公正”有3种涂法，“法制”有3种涂法，

按照分步乘法原理可得有种涂法；

故选：C

8．【答案】A

【解析】

【分析】

根据题干信息中的“路边有李树，结了很多李子，枝条都被压弯了”，采用反证法推理即可．

【详解】

王戎所用的方法是反证法．首先假设道路旁结的李子是甜李子，那么这条大路边每天人来人往这么多人，李子一定所剩无几了，而李子树现在仍有很多李子，两者相互矛盾，所以假设错误，道旁结的李子是苦李子．

故选：A．

9．【答案】B

【解析】

【分析】

先将5人按题中要求分成四个组，再将四个组分到四个社区，可得答案．

【详解】

根据题意，分2步进行分析：

①将名志愿者分为4组，要求甲乙不在同一组，分为2、1、1、1的四组，有种分组方法，

②将分好的四组全排列，安排到四个社区，有种安排方法，

则有种安排方法，

故选：B．

10．【答案】C

【解析】

【分析】

首先求出函数的原函数，再求出函数的定积分；

【详解】

解：．

故选：C

11．【答案】D

【解析】

【分析】

作图，建立空间坐标系，应用向量的方法即可求解．

【详解】

设正方体的棱长为a，AE＝x，CF＝y，建立如上图所示的空间直角坐标系，

则，

，

∵在同一个平面内，∴，

即，

解得，

由上图可知，，，

同理，，

所以四边形是平行四边形；

故选：D

12．【答案】C

【解析】

【分析】

判断的单调性，作出与的函数图象，根据图象交点个数和导数的几何意义得出的范围．

【详解】

解：令得，

令，则，

当时，，当时，，

在上单调递减，在，上单调递增，

作出与的函数图象如图所示：

设直线与的图象相切，切点为，

则，解得，，，或，，，

有两个不同的零点，

与的函数图象有两个交点，

或，即．

故选：C．

13．【答案】

解析：方法一：设，，

，

，又，所以，，

．

故答案为：．

方法二：如图所示，设复数所对应的点为，，

由已知，

∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，

∴．

14．【答案】1200

【解析】

【分析】

先利用相邻捆绑法求得甲乙相邻的安排方法种数，再减去甲乙相邻且甲在周三的安排方法种数即可．

【详解】

先考虑甲乙相邻的安排方式，将甲乙看做一个整体，连同其余的5人做全排列，然后甲乙两人之间作全排列，有种方法，其中，甲排在周三的安排方式有，∴符合条件的安排方法种数有，

故答案为：1200．

【点睛】

本题考查排列的应用，关键是相邻问题捆绑法和反面问题相减法的应用．

15．【答案】①③

【解析】

【分析】

由空间共线向量定理即可求解．

【详解】

对于①，因为，所以，所以，所以共线，所以点P、A、B共线．

对于②，因为，所以，所以共线，所以P、O、B共线，点P、A、B不一定共线．

对于③，因为，所以，所以，所以共线，所以点P、A、B共线．

对于④，因为，所以得，所以，则，所以平行或重合，当平行时，点P、A、B不共线．

故答案为：①③．

16．【答案】

【解析】

【分析】

利用导数，求出的单调性，通过讨论的符号；结合图象解关于的不等式，结合不等式解的个数求出的范围．

【详解】

由，，

令，解得：，

令，解得：，

的递增区间为，递减区间为，故的最大值是；

时，，时，，，故在时，，在时，，

函数的图象如下：

①时，由不等式得或，

而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；

②时，由不等式，得，解集为，

整数解有无数多个，不合题意；

③时，由不等式，得或，

的解集为无整数解，

因为在递增，在递减，且，

而的解集整数解只有一个，故这一个正整数解只能为1，

，；

综上，的取值范围是，

故答案为：

17．【答案】（1）4

（2）1

【解析】

【分析】

（1）利用二项式系数和公式进行求解；

（2）先写出展开式通项，再令即可求解．

（1）解：因为展开式中所有项的二项式系数和为16，

所以，解得，即的值为4．

（2）解：因为展开式的通项为

，

令，解得，

所以展开式中含的项为，

即展开式中含的项的系数为1．

18．【答案】（1）

（2）的极大值为，极小值为

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，结合已知条件即可求解；

（2）根据函数的单调性与导数的关系，求出函数在的单调区间，从而即可求解函数的极值．

（1）解：因为，所以，解得；

（2）解：由（1）知，，，

令，得或，令，得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值为，极小值为．

19．【答案】（1）证明见解析

（2）45°

【解析】

【分析】

（1）根据四边形ABCD是正方形，得到AD⊥CD，再由ED⊥平面ABCD，得到ED⊥AD，再利用线面垂直的判定定理证明；

（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先求得平面BCF的一个法向量，再由平面ADE的一个法向量为，然后由求解．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD⊥CD，

∵ED⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴ED⊥AD，

又CD∩ED＝D，CD、ED⊂平面CDEF，

∴AD⊥平面CDEF，

∵CF⊂平面CDEF，

∴AD⊥CF．

（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，

设平面BCF的一个法向量为，

则，即，

令y＝1，则x＝0，z＝1，∴，

平面ADE的一个法向量为，

∴，

由图知，平面ADE与平面BCF所成角为锐角，

故平面ADE与平面BCF所成角的45°．

20．【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）当时，求出函数f(x)和导函数，进而利用点斜式方程写出切线方程；

（2）在区间上为增函数，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得a的取值范围．

【详解】

（1）当时，，，

所以曲线在处切线斜率为，

所以切线方程为：，即．

（2）因为，且在区间上为增函数，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

所以在上恒成立，

所以，即的取值范围为．

21．【答案】（1）2；（2）答案见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据分层抽样的比例关系求点击量超过3000的节数即可；（2）由题意，知X的可能取值为0，20，40，60，应用古典概型求各取值对应的概率即可得分布列．

【详解】

（1）根据分层抽样可知，选出的6节课中点击量超过3000的节数为×6＝2．

（2）由分层抽样可知，（1）中选出的6节课中点击量在区间[0，1000]内的有1节，点击量在区间(1000,3000]内的有3节，故X的可能取值为0，20，40，60．

P(X＝0)＝＝，P(X＝20)＝＝，P(X＝40)＝＝，P(X＝60)＝，则X的分布列为

【点睛】

本题考查了分层抽样以及应用古典概型求概率，并依此得到分布列，属于简单题．

22．（1）定义域为，

，

①当即时，，在上单调递增，

②当即时，令，得，

当或时，

当时，

故在和上单调递增，在上单调递减，

③当即时，，

同理得在上单调递减，在上单调递增．

（2）若有两个极值点，，由（1）得，

故可化为，而，

代入得，而，

只需证，

令，，当时，，

故在上单调递增，当时，，

而，故，

即证．