河南省洛阳市宜阳县2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

河南省洛阳市宜阳县2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若分式有意义，则满足的条件是

A.  B.  C.  D.

2. 要使分式的值为，则

A.  B.  C. 或 D.

3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标

A.  B.  C.  D.

4. 一次函数的图象经过点，则直线与轴交点坐标为

A.  B.  C.  D.

5. 直线不经过的象限是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 下面关于平行四边形性质的叙述错误的是

A. 平行四边形的对边相等
B. 平行四边形的两条对角线将其分成的四个三角形面积相等
C. 平行四边形既是轴对称图形也是中心对称图形
D. 平行四边形的邻角互补

7. 若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离与出发时间之间的对应关系的是

A.  B.
C.  D.

9. 已知点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，为垂足，则的面积为

A.  B.  C.  D.

10. 已知直线与反比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 化简：______．
12. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．
13. 若关于的分式方程有增根，则______．
14. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为______．
15. 如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为______时，与全等．

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 先化简，再求值：，其中的值从，，中选取．
17. 解下列分式方程：
    ；
    ．
18. 学校准备购进支、两种型号的体温计，已知型体温计的单价为元支，型体温计的单价为元支．要求型体温计的数量不少于型体温计数量的倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
19. 随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型商品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在每天比更新技术前多生产万件产品，在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，求更新技术前每天生产多少件产品？
20. 如图，平行四边形的对角线、交于点，过点且与、交于点、求证：．
21. 如图，直线与轴、轴分别相交于点、，设是上一点，若将沿折叠，使点恰好落在轴上的点处．
    求：点的坐标；
    求：直线所对应的函数关系式．

22. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标是，点的纵坐标是．
    求一次函数的解析式；
    求的面积．
    
    
     

23. 小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为分钟，图表示两人之间的距离米与时间分钟的函数关系的图象；图中线段表示小华和商店的距离米与时间分钟的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：
    填空：妈妈骑车的速度是______米分钟，妈妈在家装载货物所用时间是______分钟，点的坐标是______．
    直接写出妈妈和商店的距离米与时间分钟的函数关系式，并在图中画出其函数图象；
    求为何值时，两人相距米．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：当，即时，
分式有意义．
故选：．
分式有意义，需满足分母不等于，即解关于含的不等方程即可．
考查了分式有意义的条件，分式有意义，需满足分母不等于；分式无意义，需满足分母等于解决分式有无意义的问题，一般转化为分母不等于的方程．
 

2.【答案】

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故选：．
根据分式值为零的条件列式求解．
本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件分子为零，且分母不等于零是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接写出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

4.【答案】

【解析】解：次函数的图象经过点，
解得，
令，则，
直线与轴交点坐标为，
故选：．
根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出的值，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入一次函数解析式求出值是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，，，
该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

6.【答案】

【解析】解：平行四边形的对边相等，说法正确，故本选项不合题意；
B.平行四边形的两条对角线将其分成的四个三角形面积相等，说法正确，故本选项不合题意；
C.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，原说法错误，故本选项符合题意；
D.平行四边形的邻角互补，说法正确，故本选项不合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质逐一判断即可．
本题主要考查平行四边形的性质，轴对称图形以及中心对称图形的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：函数的图象在其所在的每一象限内，函数值随自变量的增大而增大，
，
解得：，
故选：．
根据反比例函数的性质可得，再解不等式公式即可．
本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随自变量增大而增大．
 

8.【答案】

【解析】解：从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；
停留一段时间时，离家的距离不变，
乘车返回时，离家的距离减小至零，
纵观各选项，只有选项符合．
故选：．
从家出发步行至学校时，停留一段时间时，乘车返回时三段分析得到相应的函数图象，然后即可得解．
本题是对函数图象的考查，根据题意，理清从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，明确离开家的距离随时间的变化情况是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：设点，
当点在第二象限时，，，
；
当点在第四象限时，，，
；
综上所述，的面积为，
故选：．
先设点的坐标得到和的长，进而求得的面积．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由点的坐标得到和的长．
 

10.【答案】

【解析】解：把点代入直线中得：，
，
点的坐标为，
，
，
，，
关于的不等式的解集为．
故选：．
把点代入直线中得的值，利用两函数的解析式列方程组可得结论．
本题考查一次函数、反比例函数的性质，学会利用图象解决有关不等式问题．
 

11.【答案】

【解析】解：


．
故答案为：．
先通分，再进行减法运算即可．
本题主要考查分式的减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】

【解析】解：令，则；令，则，
一次函数的图象可以求出图象与轴的交点，与轴的交点为
，
故答案为：．
结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：去分母得：，整理得：，
关于的分式方程有增根，即，
，
把代入到中得：，
解得：；
故答案为：．
先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值．
本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：化分式方程为整式方程；让最简公分母等于零求出增根的值；把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．
 

14.【答案】且

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
方程的解为正数，
，
．
的取值范围为：且．
故答案为：且．
先解出这个分式方程的解，然后去掉增根以及解为正数列出不等式，从而得到的取值范围．
本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式的解法，考核学生的计算能力，解题时注意解分式方程必须检验．
 

15.【答案】或

【解析】解：当，时，≌，
，
，
，
，解得：，
，
，
解得：；
当，时，≌，
，
，
，解得：，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，与全等，
故答案为：或．
可分两种情况：≌得到，，≌得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值．
主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
 

16.【答案】解：原式


，
且，
且，
则，
原式
．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解是；
去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．

【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

18.【答案】解：购买型体温计支，型体温计支时，最省钱，
设购买型体温计支，则型体温计支，购买总价钱为元，
根据题意知，
解得，

，
购买的总价钱随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为元，
答：当购买型体温计支，型体温计支时，最省钱．

【解析】设购买型体温计支，则型体温计支，购买总价钱为元，根据型体温计的数量不少于型体温计数量的倍知，据此得出，而中购买的总价钱随的增大而增大，结合的取值范围可得答案．
本题主要考查一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系和不等关系．
 

19.【答案】解：设更新技术前每月生产万件产品，则更新技术后每月生产万件产品，
由题意列方程，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：更新技术前每月生产万件产品．

【解析】设更新技术前每月生产万件产品，则更新技术后每月生产万件产品，由“在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同”列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，理解题意，找出正确的等量关系列出方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】由平行四边形，可得，，即可证得，继而利用证得≌，即可证得．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得≌是关键．
 

21.【答案】解：当时，，解得，则，
当时，，则，
，
将沿折叠，使点恰好落在轴上的点处，
，
，
点的坐标为；
设，则，
将沿折叠，使点恰好落在轴上的点处，
，
在中，，
解得，
，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为．

【解析】利用和坐标轴上点的坐标特征确定，，则利用勾股定理可计算出，再根据折叠的性质得到，从而可得到点的坐标；
设，则，根据折叠的性质得到，利用勾股定理得到，解方程求出得到，然后利用待定系数法求直线的解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数的性质和折叠的性质．
 

22.【答案】解：令反比例函数，，则，
点的坐标为；
反比例函数中，则，解得：，
点的坐标为．
一次函数过、两点，
，
解得：，
一次函数的解析式为．
令中，则，
点的坐标为，
．

【解析】由点、的横纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点、的坐标，再由点、的坐标利用待定系数法即可得出直线的解析式；
先找出点的坐标，利用三角形的面积公式结合、点的横坐标即可得出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：求出点、的坐标；找出点的坐标；本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
 

23.【答案】   

【解析】解：妈妈骑车的速度为米分钟，
妈妈在家装载货物时间为分钟，
点的坐标为．
，
其图象如图所示，

由题意可知：小华速度为米分钟，妈妈速度为米分钟，
相遇前，依题意有，
解得分钟，
相遇后，依题意有，
，
解得分钟．
依题意，当分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，
此时小华距商店为米，只需分钟，
即分钟，小华 到达商店．
而此时妈妈距离商店为米米，
，
解得分钟，
，或分钟时，两人相距米
根据图象即可求出答案．
根据时间范围列出函数关系式即可
根据两人的运动情况分类讨论，列出相应的方程即可求出答案．
本题考查一次函数，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础中等．