【解析版】洛阳市宜阳县2022年八年级下期中数学试卷

河南省洛阳市宜阳县2022学年八年级下学期期中数学试卷

一、选择题

1．（3分）如果把分式中的a、b都扩大到原来的2倍，那么分式的值是原分式值的（）

 A． 4倍 B． 3倍 C． 2倍 D． 1倍

2．（3分）下列各式中正确的是（）

 A．  B．  C．  D． 

3．（3分）如果=，则x应满足的条件是（）

 A． x≠0 且x≠3 B． x≠0或x≠3 C． x＞0 D． x≠0

4．（3分）长度单位1纳米=10﹣9米，目前发现一种新型病毒，其直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）

 A． 2.51×10﹣6米 B． 2.51×10﹣5米 C． 2.51×10﹣4米 D． 2.51×10﹣3米

5．（3分）对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）

 A． 当x＞0时，y随x的增大而增大 B． 当x＜0时，y随x的增大而减小

 C． 点（﹣2，﹣1）在它的图象上 D． 它的图象在第一、三象限

6．（3分）如果ab＞0，且ac=0，那么直线y=﹣x+c一定通过（）

 A． 第一、二象限 B． 第三、四象限 C． 第一、三象限 D． 第二、四象限

7．（3分）反比例函数y=（k＜0）的大致图象是（）

 A．  B．  C．  D． 

8．（3分）若方程+=﹣1无解，则m的值是（）

 A． ﹣1 B． 3 C． ﹣1或3 D． ﹣1或﹣

9．（3分）（北师大版）如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）

 A． 2 B．  C．  D． 

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

10．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是．

11．（3分）已知﹣=，则=．

12．（3分）若去分母解分式方程=2﹣时产生增根，则增根是．

13．（3分）请写出一个一次函数，使它的图象经过第一、二、四象限．

14．（3分）已知等腰三角形的周长是20cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数，则自变量x的取值范围是．

15．（3分）如图，已知点A在双曲线上y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于点C，OA的垂直平分线交OC于点B，△ABC的周长为．

三、解答题（共8小题，满分75分）

16．（10分）计算．

（1）•

（2）+|﹣3|﹣+．

17．（9分）先化简（a﹣）÷（），然后当=2时，求代数式的值．

18．（10分）解方程．

（1）+=2      

（2）=．

19．（8分）张老师带学生暑假去某地旅游考察，向导要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加100米，气温下降0.6℃，张老师在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为30℃，试写出山上气温T（℃）与该处距山脚垂直高度h（m）之间的函数关系式，当张老师到达山顶时，发现温度为8℃，求山高．

20．（8分）为改善环境，洛阳市某小区，需铺设一段长为3000m的污水排放管道，铺设1200米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划提高20%，结果共用30天完成这一任务，原计划每天铺设管道多少米？（用方程解）

21．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为边长DC上的一点，设DP=x，求△APD的面积y与x之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．

22．（10分）如图，直线y1=x+m，分别与x轴、y轴交于点A、B，与双曲线y2=（x＜0）的图象相交于点C、D，其中（﹣1，2）．

（1）求一次函数与反比例函数的关系式；

（2）若点D的坐标为（﹣2，1），利用图象直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．

23．（12分）阅读下文，寻找规律，并解答：

已知x≠1，计算：

（1﹣x）（1+x）=1﹣x2

（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3

（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4，

…

（1）观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=；

（2）根据你的猜想计算：（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=；

（3）试用上面的规律计算：1+3+32+33+34+35+…32010+32011的值．

河南省洛阳市宜阳县2022学年八年级下学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．（3分）如果把分式中的a、b都扩大到原来的2倍，那么分式的值是原分式值的（）

 A． 4倍 B． 3倍 C． 2倍 D． 1倍

考点： 分式的基本性质．

分析： 根据分式的性质，可得答案．

解答： 解：把分式中的a、b都扩大到原来的2倍，那么分式的值是原分式值的2倍．

故选：C．

点评： 本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．

2．（3分）下列各式中正确的是（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 分式的基本性质．

分析： 根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，分式的值不变；分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变，可得答案．

解答： 解：A、分子分母都除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故A错误；

B、分子乘以y，分母乘以x，故B错误；

C、分子分母都除以同一个不为零的整式，分式的值不变，故C错误；

D、分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变，故D正确；

故选：D．

点评： 本题考查了分式的性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，分式的值不变，注意分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变．

3．（3分）如果=，则x应满足的条件是（）

 A． x≠0 且x≠3 B． x≠0或x≠3 C． x＞0 D． x≠0

考点： 分式的基本性质．

分析： 根据分式的性质，可得答案．

解答： 解：=，则x应满足的条件是x≠0，x≠3，

故选：A．

点评： 本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，注意分母不能为零．

4．（3分）长度单位1纳米=10﹣9米，目前发现一种新型病毒，其直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）

 A． 2.51×10﹣6米 B． 2.51×10﹣5米 C． 2.51×10﹣4米 D． 2.51×10﹣3米

考点： 科学记数法—表示较小的数．

分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解答： 解：25100纳米=2.51×104×10﹣9米=2.51×10﹣5米，

故选：B．

点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5．（3分）对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）

 A． 当x＞0时，y随x的增大而增大 B． 当x＜0时，y随x的增大而减小

 C． 点（﹣2，﹣1）在它的图象上 D． 它的图象在第一、三象限

考点： 反比例函数的性质．

分析： 首先判断反比例函数的比例系数的符号，然后根据反比例函数的性质进行判断．

解答： 解：A、当x＞0时，y随x的增大而减小，故此选项错误；

B、当x＜0时，y随x的增大而减小，故D选项正确．

C、把点（﹣2，﹣1）代入反比例函数y=得﹣1=﹣1，故此选项正确；

D、∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限，故B选项正确；

故选：A．

点评： 本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：

①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；

②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．

6．（3分）如果ab＞0，且ac=0，那么直线y=﹣x+c一定通过（）

 A． 第一、二象限 B． 第三、四象限 C． 第一、三象限 D． 第二、四象限

考点： 一次函数图象与系数的关系．

分析： 根据已知条件来判断的符号，从而对直线ax+by+c=0一定通过的象限作出判断．

解答： 解：∵ab＞0，

∴a、b的符号相同，a≠0，b≠0，

∴＞0，

∴﹣＜0；

又∵ac=0，

∴c=0，

∴直线y=﹣x一定通过第二、四象限，

故选：D．

点评： 本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

7．（3分）反比例函数y=（k＜0）的大致图象是（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 反比例函数的图象．

分析： 反比例函数图象是关于原点对称的双曲线．当k＜0时，该函数图象经过第二、四象限．

解答： 解：∵反比例函数y=中的k＜0，

∴该函数图象经过第二、四象限．

故选：A．

点评： 本题考查了反比例函数的图象．反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．

8．（3分）若方程+=﹣1无解，则m的值是（）

 A． ﹣1 B． 3 C． ﹣1或3 D． ﹣1或﹣

考点： 分式方程的解．

分析： 根据分式方程无解，即化成整式方程时整式方程无解，或者求得的x能令最简公分母为0，据此进行解答即可．

解答： 解：方程两边都乘（x﹣3）得，

3﹣2x﹣2﹣mx=3﹣x

整理得，（1+m）x=﹣2

当1+m=0，即m=﹣1时，整式方程无解；

当x=3时，分式方程无解，此时m=﹣，

故选：D．

点评： 本题考查的是分式方程的解的知识，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解，分式方程产生增根．

9．（3分）（北师大版）如图，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）

 A． 2 B．  C．  D． 

考点： 反比例函数综合题．

专题： 数形结合．

分析： 欲求OAB的面积，已知点A是一次函数y=x的图象与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点，可求出点A的坐标，从而得到△AOB的高，结合已知OA=OB，求得底边OB，从而求出面积．

解答： 解：依题意A点的坐标满足方程组

∴

∴点A的坐标为（）

∴OA=2

∵OB=OA=2

∴S△AOB=OB×=×2×=．

故选：C．

点评： 此题主要考查反比例函数的性质，注意通过解方程组求出交点坐标．同时要注意运用数形结合的思想．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

10．（3分）点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是（3，2）．

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析： 本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

解答： 解：点A（﹣3，2）关于y轴的对称点坐标是（3，2）．

点评： 解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

11．（3分）已知﹣=，则=﹣2．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理表示出a﹣b，代入原式计算即可得到结果．

解答： 解：∵﹣==，即a﹣b=﹣ab，

∴原式==﹣2，

故答案为：﹣2

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（3分）若去分母解分式方程=2﹣时产生增根，则增根是x=5．

考点： 分式方程的增根．

专题： 计算题．

分析： 由分式方程有增根，得到最简公分母为0，即可求出增根．

解答： 解：分式方程变形得：=2+，

最简公分母为x﹣5，

由分式方程产生增根，得：x﹣5=0，

解得：x=5，

则增根为x=5，

故答案为：x=5

点评： 此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

13．（3分）请写出一个一次函数，使它的图象经过第一、二、四象限y=﹣x+3．

考点： 一次函数的性质．

专题： 开放型．

分析： 一次函数的图象经过第一、二、四象限，说明x的系数小于0，常数项大于0，据此写出一次函数．

解答： 解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，

∴所填函数x的系数小于0，常数项大于0．

如：y=﹣x+3（答案不唯一）．

点评： 本题考查的知识点为：一次函数图象经过第一、二、四象限，说明x的系数小于0，常数项大于0．

14．（3分）已知等腰三角形的周长是20cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数，则自变量x的取值范围是5＜x＜10．

考点： 函数自变量的取值范围．

分析： 根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定义域即可．

解答： 解：∵2x+y=20

∴y=20﹣2x，即x＜10，

∵两边之和大于第三边，

∴x＞5，

综上可得5＜x＜10．

故答案为：5＜x＜10．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形三边关系求得x的取值范围是解答本题的关键．

15．（3分）如图，已知点A在双曲线上y=上，且OA=4，过A作AC⊥x轴于点C，OA的垂直平分线交OC于点B，△ABC的周长为2．

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；线段垂直平分线的性质．

分析： 由双曲线解析式可知，OC×AC=6，由勾股定理可知OC2+AC2=OA2=42，由此可求OC+AC，由垂直平分线的性质可知AB=BO，则AB+BC+AC=AC+BC+BO=AC+CO，即可得出答案．

解答： 解：∵点A在双曲线y=上，

∴OC×AC=6，

又∵在Rt△ACO中，OC2+AC2=OA2=42，

∴（OC+AC）2=OC2+AC2+2OC×AC=16+12=28，

∴OC+AC=2，

∵OA的垂直平分线交x轴于点C，

∴AB=BO，

∴AC+BC+AB=AC+BC+BO=AC+OC=2．

故答案为：2．

点评： 本题考查了反比例函数的综合运用．关键是得到双曲线解析式与相关线段的关系，勾股定理，通过代数式的变形求AC+CO的值．

三、解答题（共8小题，满分75分）

16．（10分）计算．

（1）•

（2）+|﹣3|﹣+．

考点： 分式的乘除法；零指数幂．

分析： （1）根据分式的乘法进行计算，分子，分母进行约分，即可解答；

（2）先算乘方，再算加减，即可解答．

解答： 解：（1）原式==．

（2）原式=1+3﹣+2=6﹣=．

点评： 本题考查了分式的乘法和有理数的混合运算，加减本题的关键是注意运算顺序．

17．（9分）先化简（a﹣）÷（），然后当=2时，求代数式的值．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a=2代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=•=﹣•=﹣（a﹣1）=﹣a+1，

当a=2时，原式=﹣2+1=﹣1．

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（10分）解方程．

（1）+=2      

（2）=．

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：（1）去分母得：10x﹣5=4x﹣2，

解得：x=，

经检验x=是增根，分式方程无解；

（2）去分母得：x2+x+6=x2+5x﹣6，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

19．（8分）张老师带学生暑假去某地旅游考察，向导要求大家上山时多带一件衣服，并在介绍当地山区地理环境时说，海拔每增加100米，气温下降0.6℃，张老师在山脚下看了一下随身带的温度计，气温为30℃，试写出山上气温T（℃）与该处距山脚垂直高度h（m）之间的函数关系式，当张老师到达山顶时，发现温度为8℃，求山高．

考点： 函数关系式；函数值．

分析： （1）海拔每上升100米，温度下降0.6度，所以可得h=×100，利用待定系数法求解；

（2）代入气温就可求出函数值即海拔高度h的值．

解答： 解：（1）根据题意有h=×100，

6h=30000﹣1000T，

T=30﹣0.006h；

（2）依题意有

8=30﹣0.006h，

解得h=3666．

故山高3666米．

点评： 本题主要考查函数关系式，关键是待定系数法求出函数解析式．

20．（8分）为改善环境，洛阳市某小区，需铺设一段长为3000m的污水排放管道，铺设1200米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划提高20%，结果共用30天完成这一任务，原计划每天铺设管道多少米？（用方程解）

考点： 分式方程的应用．

分析： 设原计划每天铺设xm管道，根据题意可得等量关系：铺设1200米所用时间+后来铺1800米所用时间=30天，根据等量关系列出方程，再解即可．

解答： 解：设原计划每天铺设xm管道，由题意得：

+=30，

解得：x=90，

经检验：x=90是原分式方程的解，

答：原计划每天铺设90m管道．

点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意不要忘记检验．

21．（8分）如图，正方形ABCD的边长为4，P为边长DC上的一点，设DP=x，求△APD的面积y与x之间的函数关系式，并画出这个函数的图象．

考点： 函数关系式；函数的图象．

分析： （1）S△ADP=•DP•AD，然后代入数计算即可，由于P为DC上一点．故0＜PD≤DC；

（2）由（1）得到函数关系式后再画出图象，画图象时注意自变量取值范围．

解答： 解：（1）S△ADP=•DP•AD=x×4=2x，

∴y=2x（0＜x≤4）；

（2）此函数是正比例函数，图象经过（0，0）（1，2），

因为自变量有取值范围，所以图象是一条线段．

如图所示：

点评： 此题主要考查了三角形的面积的求法以及画正比例函数的图象，画图象不注意自变量取值范围是同学们容易出错的地方．

22．（10分）如图，直线y1=x+m，分别与x轴、y轴交于点A、B，与双曲线y2=（x＜0）的图象相交于点C、D，其中（﹣1，2）．

（1）求一次函数与反比例函数的关系式；

（2）若点D的坐标为（﹣2，1），利用图象直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： （1）把点C的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式求出m、k的值，即可得解；

（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可．

解答： 解：（1）∵点C（﹣1，2）为一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=（x＜0）的图象的交点，

∴﹣1+m=2，=2，

解得m=3，k=﹣2，

∴一次函数解析式为y=x+3，

反比例函数解析式为y=﹣；

（2）由图可知，当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2，

所以，y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜﹣1．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，都是基础知识，基本方法，一定要熟练掌握并灵活运用．

23．（12分）阅读下文，寻找规律，并解答：

已知x≠1，计算：

（1﹣x）（1+x）=1﹣x2

（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3

（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4，

…

（1）观察上式，并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；

（2）根据你的猜想计算：（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=﹣63；

（3）试用上面的规律计算：1+3+32+33+34+35+…32010+32011的值．

考点： 整式的混合运算．

专题： 规律型．

分析： （1）由（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4可以推出（1﹣x）（1+x+…+xn）=1﹣xn+1；

（2）利用（1）的规律得出答案即可；

（3）把原式变为，进一步由（1）规律得出答案即可．

解答： 解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1；

（2）（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）

=1﹣26

=﹣63；（3）原式=

=

=．

点评： 此题考查数字的变化规律，关键在于根据各式发现规律（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1，使等式左右两边的最大指数相同且左边是右边的因式分解得规律．