河南省洛阳市伊滨区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

河南省洛阳市伊滨区2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列各式一定为二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算结果正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 已知平面直角坐标系内点，，那么线段的长等于

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法正确的是

A. 在一个直角三角形中，有两边的长度分别是和则第三边的长度一定是
B. 三边长度分别为，，的三角形是直角三角形，且，，是一组勾股数
C. 三边长度分别是，，的三角形是直角三角形
D. 一个三角形的三边长分别为，，，且，则这个三角形是直角三角形

6. 实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是
    

A.  B.  C.  D.

7. 按如图所示的程序计算，若开始输入的值为 ，则最后输出的结果是
   
    

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂效到达蜂蜜的最短距离为．

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 如果最简二次根式与可以合并，则______．
13. 已知，代数式的值是______ ．
14. 如图所示的网格是正方形网格，则______点，，是网格线交点．
     

15. 如图，在的纸片中，，，点在边上，以为折痕将折叠得到，与边交于点若为直角三角形，则的长是______．

三．解答题（本题共8小题，共75分）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点，，小正方形的顶点上．
    在图中画出与关于直线成轴对称的．
    的面积为______；
    在直线上找一点，使的长最短，在图形中标出点
    
    
     

18. 先化简，再求值：，其中，．
19. 如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，求的长．
     

20. 如图，在中，，垂足为，，，．
    求证：；
    为边上一点，连接，若是以为腰的等腰三角形，请求出的长．
21. 一副直角三角板如图放置，点在延长线上，，，，，．
    求的度数；
    试求的长．

22. 如图，在中，平分交于点，，交的延长线于点，点在上，且，，．
    求的长度；
    求的面积．
23. 学习了勾股定理和数的开方后，我们就能发现在部分特殊直角三用形中，直用边与斜边存在一些特殊的数量关系．例如：在等腰直角三角形中，两直角边相等，则有斜边平方等于一条直角边的平方的倍，利用开方运算易得斜边是一条直角边的倍，因此若要解决线段之间的倍关系时，往往把问题放在等腰直角三角形中去思考；问题解决，如图，垂足为，且，是延长线上一点，连接，点是线段上的一点，连接交于点，且．
     

如图，若，则的长为______；
如图，当点是中点时，若，求的长；
如图，连接，判断线段是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的定义．解题的关键是明确二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为 ，结合选项所给根式进行判断即可．
【解答】
解： 、当 时，被开方数是 ，所以它不是二次根式，故本选项不符合题意；
B 、当 时，它不是二次根式，故本选项不符合题意；
C 、被开方数大于 ，所以它是二次根式，故本选项符合题意；
D 、当 时，被开方数是 ，它不是二次根式，故本选项不符合题意．   

2.【答案】

【解析】解：、、不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项正确；
D、，此选项错误；
故选：．
根据二次根式的加法、乘法、除法和二次根式的性质逐一计算即可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

3.【答案】

【解析】解：如图，点在以为圆心，长为半径的圆上．
在直角中，，，则根据勾股定理知，
，
．
故选：．
点在以为圆心，长为半径的圆上，所以在直角中，根据勾股定理求得圆的半径，然后由实数与数轴的关系可以求得的值．
本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：点，，
点和点的横坐标的差为，纵坐标的差为：，
线段的长为：，
故选：．
根据点，，可以得到这两个点的横坐标的差和纵坐标的差，然后根据勾股定理可以求得的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键明确平面直角坐标系的特点，利用勾股定理的知识解答．
 

5.【答案】

【解析】解：、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是和则第三边的长度是或，原命题错误，不符合题意；
B、因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意；
C、，
三边长度分别是，，的三角形是直角三角形，错误，不符合题意；
D、、一个三角形的三边长分别为：，，，且，则这个三角形是直角三角形，正确，符合题意．
故选：．
根据勾股数的定义及勾股定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
考查了勾股数的定义及勾股定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义，难度不大．
 

6.【答案】

【解析】解：由数轴可得：，，
则原式．
故选A．
利用数轴得出，，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，得出各项的符号是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：由题意，
当时，，
当时，，
则最后输出的结果是，
故选：．
根据给出的运算程序计算即可．
本题考查的是整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：中，，，，
，
是直角三角形，
的垂直平分线分别交，于，，
，
设为，，
在中，，
即，
解得：，
即，
故选：．
根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用线段垂直平分线得出，进而利用勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理和线段垂直平分线，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
先根据勾股定理求出 的长，同理可得出 的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【解答】
解：如图：

小巷左右两侧是竖直的墙，
，
与 均为直角三角形，
在 中，
米， 米，
米．
又 梯子长度是不变的，
米，
在 中，
米， ，
，
，
，
米，
米．
故选 C ．   

10.【答案】

【解析】解：如图所示，将圆柱沿过的母线剪开，

由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点，使最小，
故先作出关于杯口所在直线的对称点，连接与杯口的交点即为，此时，
根据两点之间线段最短，即可得到此时最小，并且最小值为的长度，
如图所示，延长过的母线，过作垂直于此母线于，
由题意可知，，
，
由勾股定理得：，
故蚂效到达蜂蜜的最短距离为，
故选：．
将圆柱沿过的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点，使最小，则先作出关于杯口所在直线的对称点，连接与杯口的交点即为，此时，再利用勾股定理求的长即可．
本题主要考查了平面展开最短路径问题，轴对称的性质，勾股定理等知识，将立体图形转化为平面图形，运用两点之间线段最短是解题的关键．
 

11.【答案】且

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：分式有意义，分母不为 ；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得： ，再根据分式有意义的条件可得 ，再解即可．
【解答】
解：由题意得： ，且 ，
解得： ，且 ，
故答案为 且 ．   

12.【答案】

【解析】解：，
而最简二次根式与可以合并，即它们是同类二次根式，
，
．
故答案为．
根据同类二次根式的定义可得到，然后解方程即．
本题考查了同类二次根式：若把二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式正确对二次根式进行变形是关键．首先把所求的式子化成 的形式，然后把 的值代入运用平方差公式求解．
【解答】
解：原式
【 】
【 】

．
故答案为 ．   

14.【答案】

【解析】解：延长交格点于，连接，

则，，
，
，
，
故答案为：．
延长交格点于，连接，根据勾股定理和勾股定理逆定理得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】或

【解析】

【分析】
本题考查轴对称的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
由勾股定理可以求出 的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当 为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出 的长．
【解答】
解：在 中， ．
当 时，如图 ，

过点 作 ，交 的延长线于点 ，
由折叠得： ， ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得：
，
即： ，解得： 舍去 ， ，
因此， ．
当 时，如图 ，此时点 与点 重合，

由折叠得： ，则 ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得：
，
解得： ，
因此 ．
故答案为 或 ．   

16.【答案】解：原式；
原式．

【解析】按照二次根式的混合运算法则，先括号里面，再乘除最后加减依次计算即可；
按照乘法公式在依次计算次即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式在二次根式中的计算是解题的关键．
 

17.【答案】

【解析】解：即为所求．

，
故答案为．

如图点即为所求．
分别作出，，的对应点，，即可．
利用分割法求三角形面积即可．
连接交直线于点，连接，此时的值最小．
本题考查作图轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：


，
当，时，
原式．

【解析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

19.【答案】解：根据折叠可得，，
设，则，
，，，
在中，由勾股定理得，，
，
在中，由勾股定理得，，
解得，
．

【解析】本题考查的是勾股定理和翻折变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
根据折叠得到，，设，则，根据勾股定理求得的值，由勾股定理可得方程，再解方程即可算出答案．
 

20.【答案】证明：，，，
，
又，，，
，
，
，
，
，是直角三角形．
解：分三种情况：
当时，
，
，
；
当时，是的中点，
；
当时，．
综上所述：的长为或或．

【解析】在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求，从而可知是直角三角形．
分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的长即可．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

21.【答案】解：，，
，
，，
，
，
，
，
；

过点作于点，
在中，，，，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
 

【解析】利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出的度数；
过点作于点，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．
本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
 

22.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的长度为；
，，
，
，，
，
的面积

，
的面积为．

【解析】根据角平分线和平行可得是等腰三角形，从而可得，再根据垂直定义可得，，从而利用等角的余角相等可得，进而可得，即可解答；
利用的结论可求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，然后利用三角的面积进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握角平分线和平行可证等腰三角形是解题的关键．
 

23.【答案】

【解析】解：，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：；

，，，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
．

成立．
理由：如图中，作于，于．

≌，于，于．
全等三角形对应边上的高相等，
，
，
四边形是正方形，
，，
≌，
，
，
，
．
由等腰直角三角形的性质可得出答案；
证明≌，推出，因为，推出，即可证明解决问题；
作于，于只要证明四边形是正方形，≌即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．