2021-2022学年河南省洛阳市宜阳县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年河南省洛阳市宜阳县八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 要使分式有意义，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 计算：(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作轴，点为垂足，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知点和点都在直线上，则与大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 无法判断

5. 如图，在平行四边形中，过对角线的交点，且与边、分别相交于点、，若，则的面积是四边形面积的(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平行四边形中，平分，平分，则(    )

A.  B. 四边形是菱形
C. 四边形是菱形 D. 四边形是矩形

7. 如图，在矩形中，对角线、交于点，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 在一次数学测试中，小明的成绩是分，超过本班半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

9. 如图，菱形的对角线与相交于点，垂直平分，垂足为点，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. ．(    )
12. 等腰三角形顶角的度数是底角的函数，这个函数的关系式为______．
13. 如图，在平行四边形中，对角线，，垂足为点，且，，则与的距离为______．
14. 数据：，，，，，，，，，，的方差为______．
15. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为______．

三、解答题（本题共8小题，共75分）

16. 试说明无论，取何值的取值要保证式子有意义，代数式的值保持不变．
17. 甲、乙两辆汽车同时分别从、两城沿同一条高速公路驶向城．已知、两城的距离为千米，、两城的距离为千米，甲车比乙车的速度快千米时，结果两辆车同时到达城．求两车的速度．
18. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点．
    求的值及点的坐标；
    直接写出不等式的解集；
    已知轴，以、为边作菱形，求菱形的面积．
     

19. 如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连结并延长，交的延长线于点，连结，求的长．

20. 如图，在中，点、分别是边、的中点．求证：且．

21. 某家庭记录了未使用节水龙头天的日用水量数据单位：和使用了节水龙头天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
    未使用节水龙头天的日用水量频数分布表：

使用了节水龙头天的日用水量频数分布表：

计算未使用节水龙头天的日平均用水量和使用了节水龙头天的日平均用水量；
估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？一年按天计算

22. 如图，在矩形中，，，点、分别是边、的中点，连结、，点、分别是、的中点，连结，求的长．

23. 在菱形和等边三角形中，，是的中点，连结、．
    
    如图，当点在上时，若，，求的长；提示：延长交于点
    如图，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并予以证明．提示：延长交于点，连结、
    如图，当点在的延长线上时，线段、有怎样的数量和位置关系？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
解得：．
故选：．
分式有意义的条件是分母不等于零，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．
 

2.【答案】 

【解析】解：


，
故选：．
先通分，然后根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减的法则计算即可．
本题考查了分式的加减，解题的关键是熟记法则．异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图形，如下图所示：

则，，
．
故选：．
根据题意画出图形，再结合三角形的面积公式可直接得出结论．
本题主要考查坐标系中两点间的距离，三角形的面积公式等，正确画出图形是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数中，，
随的增大而减小，
，
．
故选：．
先根据一次函数的解析式判断出一次函数的增减性，再根据即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
故选：．
根据可得，由平行四边形的性质可得，即可得，通过证明≌可得，进而可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
即，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，，不一定等于
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，不能推出四边形是菱形，
所以只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，，根据角平分线的定义得出，，求出，，根据等腰三角形的判定得出，，求出，再逐个判断即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识点，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：．
根据四边形是矩形，，可得是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长．
本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等．
 

8.【答案】 

【解析】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，
故选：．
根据中位数的意义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
垂直平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：．
首先利用菱形的性质和题意判断是等边三角形，从而求得，最后求得的度数即可．
考查了菱形的性质，了解垂直平分线的性质是解答本题的关键，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作于，

点的坐标为，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点的坐标为，
故选：．
由“”可证≌，可得，，据此即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】解：，
故答案为：． 

【解析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可知
，
整理得：．
故答案为：．
根据一个顶角与两个底角的和为，列方程，再整理．
本题考查等腰三角形的性质、一次函数的实际应用，三角形的内角和定理，关键就是利用内角和得到关系式．
 

13.【答案】 

【解析】解：设和之间的距离为，
则平行四边形的面积等于，
，
，
即：，
，
答：和之间的距离为，
故答案为：．
利用等积法，设与之间的距离为，由条件可知▱的面积是的面积的倍，可求得▱的面积，再由，可求得．
本题主要考查平行四边形的性质，由条件得到四边形的面积是的面积的倍是解题的关键，再借助等积法求解使解题事半功倍．
 

14.【答案】 

【解析】解：这组数据的平均数是：，
则它的方差是：；
故答案为：；
先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
设，则，根据菱形的性质得，，，再证明，所以，解得，然后利用勾股定理计算，再计算的长．
【解答】
解：，
设，则，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，解得，
即，，
在中，，
在中，．
故答案为．  

16.【答案】证明：原式

，
无论，取何值的取值要保证式子有意义，原式的值都为，保持不变． 

【解析】将已知式子化简，即可证得结论．
本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分的基本性质，能将分式通分与约分．
 

17.【答案】解：设甲的速度是千米时，乙的速度是千米时，
依题意得：
解得
经检验：是原方程的解

答：甲的速度是千米时，乙的速度是千米时． 

【解析】设甲的速度是千米时，那么乙的速度是千米时，路程知道，且同时到达，以时间做为等量关系列方程求解．
本题考查理解题意能力，关键是以时间做为等量关系，根据时间，列方程求解．
 

18.【答案】解：将代入得，
，
，
，
将代入得，
，
点与关于原点对称，
；
由图象知，当或时，；
作于，

，，
，，
由勾股定理得，，
四边形是菱形，
，
菱形的面积为． 

【解析】将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标；
利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象下方时，自变量的取值范围；
作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，函数与不等式的关系，菱形的性质等知识，运用数形结合思想是解题的关键．
 

19.【答案】解：矩形中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
故B的长为：． 

【解析】根据矩形的性质可得，再根据可得，所以得，在中，根据勾股定理即可得的长．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 

20.【答案】证明：延长至点，使，连接，
点，分别是，中点，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，． 

【解析】延长至，使，连接，通过证明≌和证明四边形是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：未使用节水龙头天的日平均用水量为：，
使用了节水龙头天的日平均用水量为：；

，
答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水． 

【解析】取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头天的日平均用水量和使用了节水龙头天的日平均用水量即可；
先计算平均一天节水量，再乘以即可得到结果．
此题主要考查节水量的估计值的求法，考查加权平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

22.【答案】解：连接并延长交于，连接，

四边形是矩形，
，，，
，分别是边，的中点，，，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
点是的中点，
． 

【解析】连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，延长交于点，

是的中点，
，
是正三角形，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
是正三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
是的垂直平分线，
在中，，
；
猜想：，，
证明如下：
如图，延长交于点，连接，，

，是等边三角形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
；
，，
理由：如图，延长到，使，连接，，，过点作，

是线段的中点，
，
，
≌，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，，点，，在同一直线上，
，
是等边三角形，
，
，
≌，
，，
，即，
，，
，，
． 

【解析】如图，延长交于点，根据等边三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据菱形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论；
如图，延长交于点，连接，，根据全等三角形的性质得到，，得到，，根据直角三角形的性质得到结论；
如图，延长到，使，连接，，，过点作，根据全等三角形的性质得到，，根据菱形的性质得到，，点，，在同一直线上，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论．
本题是四边形的综合题，主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．