2021-2022学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年河南省漯河市郾城区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 若二次根式有意义，则的取值范围为

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中，最简二次根式是

A.  B.  C.  D.

3. 已知的三边分别为、，则下列条件中不能判定是直角三角形的是

A.  B.
C.  D. ：：：：

4. 如图，在由边长均为的小正方形组成的网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在▱中，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图所示，数轴上点所表示的数为，则的值是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，四边形的对角线，交于点，则不能判断四边形是平行四边形的是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

8. 如图，已知是正方形对角线上一点，且，则度数是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 比较大小： ______．
12. 若是正整数，则最小的正整数的值是______ ．
13. 已知，则 ______ ．
14. 如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是______．
15. 在中，，，点是斜边上一点，若是等腰三角形，则线段的长可能为______．

三．计算题（本题共1小题，共9分）

16. 计算：
                        ；
     

四．计算题（本题共7小题，共66分）

17. 如图，在▱中，点，分别在，上，与相交于点，且求证：四边形是平行四边形．

18. 如图平行四边形，在边上，且，仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法．
    在图中，画出的角平分线；
    在图中，画出的角平分线．

19. 明朝数学家程大位在他的著作算法统宗中写了一首计算秋千绳索长度的词西江月：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺，将它往前推进两步尺，此时踏板升高离地五尺尺，求秋千绳索或的长度．
20. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，，于点，，．
    求证：；
    若，，求的长．
    
     

21. 如图，将平行四边形的边延长至点，使，连接，，，交于点．
    求证：≌；
    连接，若，求证：四边形是矩形．
22. 如图，四边形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．
    求证：≌；
    求证：；
    若点是的中点，，求的长．

23. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接、过点作交点，以、为邻边作矩形，连接．
    求证：矩形是正方形；
    探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列不等式求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

2.【答案】

【解析】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项错误；
B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B选项错误；
C、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故C选项正确；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误．
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

3.【答案】

【解析】解：、，，故能判定是直角三角形；
B、，，故能判定是直角三角形；
C、，，，故能判定是直角三角形；
D、：：：：，，故不能判定是直角三角形．
故选D．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
 

4.【答案】

【解析】解：，故不可能是“格点线”的长度，故选项A符合题意；
，故可能是“格点线”的长度，故选项B不符合题意；
，故可能是“格点线”的长度，故选项C不符合题意；
，故可能是“格点线”的长度，故选项D不符合题意；
故选：．
根据题意和各个选项中的数据，可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
 

5.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形
，，且


故选：．
由平行四边形的性质可得，，即可求的度数．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
故选：．
首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定的值．
此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．
 

7.【答案】

【解析】解：、，，
又，
≌，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，，
，，
，
四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

8.【答案】

【解析】解：、是正方形对角线，
，
又，
，
，
故选：．
根据正方形的性质以及等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查正方形的性质，解题的关键是熟练运用正方形的性质，本题属于基础题型．
 

9.【答案】

【解析】解：两张正方形纸片的面积分别为和，
它们的边长分别为，，
，，
空白部分的面积
，
．
故选：．
根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了最短路径问题、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形的性质．注意准确找到点 的位置是解此题的关键．首先连接 ，交 于点 ，连接 ，则 与 交于点 ，此时 的值最小，由在菱形 中， ， ，易得 是等边三角形， 垂直平分 ，继而可得 ，则可求得 的值，继而求得 的最小值．
【解答】
解：连接 ，交 于点 ，连接 ，则 与 交于点 ，此时 的值最小，

在菱形 中， ， ，
， ， 垂直平分 ，
是等边三角形， ，
为 中点，
， ，
，
．
故选 C ．   

11.【答案】

【解析】解：，，
，
，
故答案为：．
根据平方法比较大小即可．
此题考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：．
 

12.【答案】

【解析】解：若是正整数，是最小的正整数，
则是整数，且是完全平方数；
故的最小值是．
故答案是：．
因为，是正整数，最小值只需要即可．
题主要考查二次根式的概念和化简方法的运用，把被开方数里开得尽方的因数写成平方数，再寻找的最小整数值．
 

13.【答案】

【解析】解：当时，
原式


根据二次根式的运算法则即可求出答案．
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
 

14.【答案】

【解析】解：如图，是红莲高出水面部分，即，是红莲入泥处根部．
设，则，
所以，
在中，，
即，
解得：．
即这里的水深．
故答案为：．
根据题意画出图形，结合图形利用勾股定理解答．
此题主要考查勾股定理的应用，从实际问题中整理出直角三角形模型是解题的关键．
 

15.【答案】，或

【解析】解：
若是等腰三角形，，
时，为的中点，，
时，过作于，则，
综上所述，的长为，或，
故答案为：，或．
根据等腰三角形的性质分三种情况解答即可．
此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．
 

16.【答案】解：原式

；
原式

．

【解析】先算乘法，算式平方根，取绝对值，再合并；
先用平方差公式，再用完全平方公式，最后合并．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式及二次根式运算的相关法则．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌
，
又，
四边形是平行四边形．

【解析】先由证明≌，得出，再由，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，射线即为所求，
如图，射线即为所求．
 

【解析】作射线即可．
连接，交于点，作直线交于，作射线即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：设尺，
尺，尺，
尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
则秋千绳索的长度额尺．

【解析】设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：是的垂直平分线，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
；
如图，连接，
是的垂直平分线，
，
，，
，
，
又，
．

【解析】利用垂直平分线的性质以及矩形的性质，即可，进而得出；
连接，先求得，，即可运用勾股定理得到和的长．
本题考查矩形的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是利用全等三角形以及勾股定理矩形进行推理计算．
 

21.【答案】证明：在平行四边形中，，，，则．
又，
，
四边形为平行四边形，
．
在与中，
，
≌；

由知，四边形为平行四边形，则，．
四边形为平行四边形，
，即．
又，，
，
，
，即，
平行四边形为矩形．

【解析】由平行四边形，易得四边形为平行四边形，然后由推出两三角形全等即可；
由，易证得，即可证得四边形是矩形．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定以及三角形的外角性质等知识．注意证得四边形为平行四边形是关键．
 

22.【答案】证明：将沿折叠后得到，
≌，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：如图，连接，

，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：由折叠可知，
由知≌，
，
又，，，
，，
，
，
，
．

【解析】由折叠的性质得出，，，可证明≌；
连接，由平行线的性质可得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
由全等三角形的性质得出，由勾股定理可得出答案．
本题为四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握翻折变换是轴对称变换，变换前后图形互相重合是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图所示，过作于点，过作于点，
正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
四边形是矩形，
，，
，
又，
在和中，，
≌，
，
矩形为正方形，
的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，，
≌，
，
，
是定值．

【解析】过作于点，过作于点，即可得到，然后判断，得到≌，则有即可；
同的方法证出≌得到，得出即可．
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．