河南省济源市部分校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

河南省济源市部分校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 式子有意义的的取值范围是

A.  B. 且 C. 且 D.

2. 下列各式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组数中，是勾股数的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 已知，，则与的关系是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长是．

A.
B.
C.
D.

6. 如图，为的角平分线，于，为中点，连接，若，，则

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在▱中，平分，交于点，，，则的长是

A.  B.  C.  D.

8. 下列不能判定一个四边形是平行四边形的是

A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

9. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在矩形纸片中，，，是上的点，且将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，点落在点处，折痕为，则线段的长是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 已知，那么的值是______．
12. 已知实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______ ．

13. 直角三角形的两边长为、，则斜边上的中线长为______．
14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行海里和海里，小时后两船分别位于点，处，且相距海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿______ 方向航行．
15. 如图，正方形的对角线，交于点，是边上一点，连接，过点作，交于点若四边形的面积是，则的长为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
17. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
    在图中，画一个三角形，使它们的三边长分别为、、．
    求边上的高．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．
    求证：四边形是矩形．
    若，，求和的长．

20. 如图，在四边形中，，，点是的中点，连接，过点作，垂足为，已知．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求线段的长．

21. 如图，四边形是面积为的平行四边形，其中，．
    如图，点为边上任意一点，则的面积和的面积之和与▱的面积之间的数量关系是______．
    如图，设、交于点，则的面积和的面积之和与▱的面积之间的数量关系是______．
    如图，点为▱内任意一点时，试猜想的面积和的面积之和与▱的面积之间的数量关系，并加以证明．
    如图，已知点为▱内任意一点，的面积为，的面积为，连接，求的面积．

22. 在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．
    经过探究，小明得出的结论是而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等一个是直角三角形，一个是钝角三角形，考虑到点是边的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明≌从而得到．
    请你参考小明的方法解决下列问题：
    如图，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，证明结论仍然成立．
    如图，若把条件“点是边的中点”改为：“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

23. 如图，在矩形中，边上有一点，连结，若，．
    直接写出的长；
    有一点从点出发，以的速度沿向点运动，有一点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动，设点的运动时间为秒．
    ______秒时，四边形为平行四边形；
    ______秒时，四边形为矩形；
    有一点从点出发，以的速度沿向点运动，有一点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达点时，点、同时停止运动，设点的运动时间为秒，问取何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由题意得，且，
即且，
故选：．
根据分式有意义，二次根式有意义的条件进行判断即可．
本题考查二次根式、分式有意义的条件，掌握被开方数大于或等于，分母不为分别是二次根式和分式意义的条件是正确判断的前提．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，此选项不符合题意；
B、，此选项符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理分别进行分析，从而得到答案．
此题主要考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则是直角三角形．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分母有理化，掌握有理化因式的找法是解题的关键．
先化简再找关系即可．
【解答】
解：，
，
，
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】解：两小正方形的边长分别为：，，
大正方形的边长为．
故选：．
先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长．
本题考查二次根式的应用，解题关键是利用正方形面积公式求出小正方形的边长．
 

6.【答案】
 

【解析】解：延长交于，如图所示：
平分，，
，
，
，
，
≌，
，
为的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
故选：．
延长交于，证≌，得，再由三角形中位线定理得，则，然后求出，即可解决问题．
本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明≌是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，，
在中，，即，
，
，，
在中，．
故选：．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，，根据勾股定理可求的长．
此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，关键是掌握平行四边形对边平行且相等．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．
此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
【解答】
解：根据平行四边形的判定定理，、、均符合是平行四边形的条件，则不能判定是平行四边形．
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】解：菱形，，
，
，
，，，
，
，
，
，，
故选：．
根据直角三角形的性质得出，的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出解答．
 

10.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，
设，
，，
，，
由折叠性质可知，
，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
解得：，
．
故选：．
连接，设，可得出，，根据折叠的性质可得，，在中和中，根据勾股定理，，，，因为是公共边，所以可得，即，求出的值即可得出答案．
本题主要考查了翻折变化、矩形的性质及勾股定理，熟练应用翻折变化的性质及矩形的性质进行计算是解决本题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
故答案为：
根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，


．
故答案为：．
根据图示，可得：，据此求出的结果是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：若，均为直角三角形的直角边，
由勾股定理可得：
直角三角形斜边长为，
斜边上的中线为；
若为直角三角形的斜边，
斜边上的中线为，
故答案为或．
由勾股定理可求解直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．
本题主要考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
 

14.【答案】北偏东
 

【解析】解：由题意可知：，，，
，
是直角三角形，
，
由题意知，
，
即乙船沿北偏东方向航行，
故答案为：北偏东．
根据题意即可知，，，利用勾股定理的逆定理可推出是直角三角形，由甲船沿北偏西方向航行，即可推出乙船的航行方位角．
本题考查勾股定理的应用以及方位角，熟练掌握勾股定理并能熟练应用以及能正确找出方位角是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
四边形的面积是，四边形的面积的面积的面积，
四边形的面积的面积的面积的面积，
的面积是，
正方形的面积是，
，
，
故答案为：．
根据正方形的性质，可以得到≌，然后即可发现四边形的面积等于的面积，从而可以求得正方形的面积，从而可以求得的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形的面积等于的面积，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】原式
．
原式
．
 

【解析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：原式

，
当，
原式
．
 

【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
先化简分式，然后将的值代入计算即可．
 

18.【答案】解：如图，即为所求作．


设边上的高为，
、、，
，
，
，
．
 

【解析】利用数形结合的思想解决问题即可．
利用面积法求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
 

19.【答案】证明：四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，
，
是的中点，
，
由知，四边形是矩形，
，
，
，
，
．
 

【解析】证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，然后由矩形的判定定理即可得到结论；
由菱形的性质得到，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理得到，即可得出的长．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，点是的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：，，，
，
点是的中点，
，
由得：，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
即线段的长为．
 

【解析】先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；
由勾股定理得，再由菱形的性质得，然后证，则，即可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】；
    ；
结论：
理由：如图中，作于，延长交于．
，，
，


设的面积为，的面积为，
则，
，
的面积，
 

【解析】

解：如图中，，．
四边形是平行四边形，
，
，
，

故答案为

如图中，四边形是平行四边形，
，，
，

故答案为

见答案．

见答案．
【分析】
根据平行四边形的性质可知：，即可解决问题；
理由平行四边形的性质可知：，即可解决问题；
结论：如图中，作于，延长交于根据；
设的面积为，的面积为，则，推出，可得的面积；
本题考查平行四边形的判定和性质、平行线的性质、等高模型等正整数，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．  

22.【答案】证明：如图，在上取点，连接，使，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
是正方形外角的平分线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；

证明：延长至，使，连接，
，，
，
，
是正方形外角的平分线，
，
，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】在上取点，连接，证明≌即可；
延长至，使，连接，证明≌即可．
本题为一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及方程思想等知识．在中中构造三角形全等是关键，在中根据角平分线的性质得到关于点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
 

23.【答案】 
 

【解析】解：四边形是矩形，，，
，，
在中，，
，
，
由运动知，，，
，，
如图，
四边形为平行四边形，
，
，
，
故答案为；
如图、四边形为矩形，
，
，
，
故答案为：；

由运动知，，，
以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
，
当点在边上时，，
，
，
当点在延长线上时，，
，
，
即：为秒或秒时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形．
先根据矩形的性质得出，再用勾股定理求出求出，即可得出结论；
根据平行四边形的性质，建立方程求解即可得出结论；
根据矩形的性质建立方程求解即可得出结论；
分点在边和延长线上两种情况，利用平行四边形的性质建立方程求解即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．