人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.3.2 独立性检验学案

独立性检验

【学习目标】

1．通过2×2列联表统计意义的学习，体会数学抽象的素养。

2．借助χ2计算公式进行独立性检验，培养数学运算和数据分析的素养。

【学习重难点】

1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义。（重点）

2．通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用。（难点）

【学习过程】

一、新知初探

1．2×2列联表

（1）定义：如果随机事件A与B的样本数据整理成如下的表格形式。

因为这个表格中，核心数据是中间4个格子，所以这样的表格通常称为2×2列联表。

（2）χ2计算公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋D．

2．独立性检验

任意给定一个α（称为显著性水平，通常取为0.05，0.01等），可以找到满足条件P（χ2≥k）＝α的数k（称为显著性水平α对应的分位数），就称在犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立（也称为A与B有关）；或说有1－α的把握认为A与B有关。若χ2＜k成立，就称不能得到前述结论。这一过程通常称为独立性检验。

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量。 （    ）

（2）事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响。 （    ）

（3）应用独立性检验对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的。               （    ）

2．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”（    ）

A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710

C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014

3．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么在犯错误的概率不超过__________的前提下认为两个变量之间有关系。

4．（一题两空）下面是2×2列联表。

则表中a＝________，b＝________。

三、合作探究

【例1】在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示。问：能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为该种血清能起到预防感冒的作用。

【例2】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：

已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为。

（1）请将上面的2×2列联表补充完整（不用写计算过程）；

（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；

（3）现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X，求X的分布列与均值。

【学习小结】

1．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，该公式较准确的刻画了两个变量相关性的可靠程度。

2．χ2越大说明“两个变量之间有关系”的可能性越大，反之越小。

【精炼反馈】

1．利用独立性检验来考查两个变量A，B是否有关系，当随机变量χ2的值（    ）

A．越大，“A与B有关系”成立的可能性越大

B．越大，“A与B有关系”成立的可能性越小

C．越小，“A与B有关系”成立的可能性越大

D．与“A与B有关系”成立的可能性无关

2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

经计算得

χ2＝≈7.8．

则正确结论是（    ）

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得χ2＝13.097，认为“两个变量有关系”犯错误的概率不超过________。

4．某大学在研究性别与职称（分正教授、副教授）之间是否有关系，你认为应该收集的数据是______________________________。

5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”。下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据。

（1）计算a，b，c的值；

（2）文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？