选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用免费课时作业

1.4　空间向量的应用

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系

基础过关练

题组一　空间中点、直线和平面的向量表示

1.已知O(0,0,0),N(5,-1,2),A(4,2,-1),若=,则点B的坐标为(　　)

A.(-1,3,-3) B.(9,1,1)

C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1)

2.(2020北京一〇一中学高二上期中)若A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　)

A.(1,2,4) B.(1,4,2)

C.(2,1,4) D.(4,2,1)

3.已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是(　　)

A.=++

B.=++

C.=++

D.=2--

4.已知空间三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,则实数x的值为(　　)

A.1 B.-2 C.0 D.-1

题组二　平面的法向量

5.已知向量=(2,4,x),平面α的一个法向量n=(1,y,3),若AB⊥α,则(　　)

A.x=6,y=2 B.x=2,y=6

C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0

6.若已知两个向量=(1,2,3),=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为(　　)

A.(-1,2,-1) B.(1,2,1)

C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)

7.已知直线l的一个方向向量d=(2,3,5),平面α的一个法向量u=(-4,m,n),若l⊥α,则m+n=　　　　. 

题组三　空间中直线、平面的平行问题

8.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是(　　)

A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)

C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)

D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)

9.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为n1=(2,-3,1),向量=(1,0,-2),=(1,1,1),则(　　)

A.平面α∥平面ABC

B.平面α⊥平面ABC

C.平面α、平面ABC相交但不垂直

D.以上均有可能

10.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则(　　)

A.x=6,y=15 B.x=3,y=15

C.x=,y= D.x=6,y=

题组四　空间中直线、平面的垂直问题

11.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则实数m等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

12.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则实数t的值是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

13.(2019吉林长山二中高二期中)已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则实数z等于(　　)

A.3 B.6 C.-9 D.9

14.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),x,z∈R,若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为(　　)

A.(1,0,-2) B.(1,0,2)

C.(-1,0,2) D.(2,0,-1)

15.(2020山东青岛高三上联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.

证明:平面PAD⊥平面PBC.

能力提升练

题组一　用空间向量研究平行问题

1.()如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A.斜交 

B.平行

C.垂直 

D.MN在平面BB1C1C内

2.(2020山东聊城高二期中,)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)

A.(1,1,1)

B.

C.

D.

3.(2020河南郑州第一中学高三联考,)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值.

4.(2020河南八市重点高中联盟高三联考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD,∠BAD=60°,M,N分别为AD,PA的中点,证明:平面BMN∥平面PCD.

5.(2020黑龙江佳木斯第一中学高二上期中,)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,BC=3.问:线段BD上是否存在点N(不包括端点),使得直线CE∥平面AFN?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.深度解析

题组二　用空间向量研究垂直问题

6.(2020天津一中高二月考,)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为(　　)

A.8 B.4 C.8 D.

7.(2019河北辛集中学高二期末,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AE⊥PC于E.给出下列四个结论:①AB⊥AC;②AB⊥平面PAC;③PC⊥平面ABE;④PC⊥BE,其中正确的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

8.(多选)()已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　)

A.AP⊥AB

B.AP⊥AD

C.是平面ABCD的一个法向量

D.∥

9.()如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=b,点E,F分别在BB1,CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.设λ=.若平面AEF⊥平面A1EF,求λ的值.

10.(2020北京十一学校高二上期中,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD,F是棱PD的中点,E是棱CD的中点.

(1)证明:EF∥平面PAC;

(2)证明:AF⊥PC.

11.()如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).

(1)是否存在点E,使PC⊥平面BDE?

(2)是否存在点E,使平面PCD⊥平面AED?深度解析

答案全解全析

基础过关练

1.B　因为=,=-,所以=+=(5,-1,2)+(4,2,-1)=(9,1,1).故选B.

2.A　由已知得=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与共线,故选A.

3.B　由空间平面ABC的向量表示式知,空间一点M位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y,可以变形为=(1-x-y)+x+y,注意到,,的系数和为1,满足这个条件的只有选项B,故选B.

4.A　=(1,-2,1),=(-2,-4,4),=(-3,x-3,3),可设=y+z(y,z∈R),则⇒故选A.

5.A　因为AB⊥α,所以∥n,由==,得x=6,y=2,3x+4y+2=28,4x+3y+2=32.故选A.

6.A　设平面ABC的法向量n=(x,y,z),由⊥n,⊥n,得所以令x=-1,解得

所以n=(-1,2,-1),故选A.

7.答案　-16

解析　∵l⊥α,∴d∥u,又d=(2,3,5),u=(-4,m,n),∴==,解得m=-6,n=-10,∴m+n=-16.

8.D　因为l∥α,所以m⊥n,即m·n=0,满足条件的只有选项D,故选D.

9.A　因为n1·=0,n1·=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行,故选A.

10.D　因为l1∥l2,所以a∥b,得==,解得x=6,y=,故选D.

11.B　因为l1⊥l2,所以a⊥b,则a·b=-2+6-2m=0,解得m=2,故选B.

12.B　因为α⊥β,所以u⊥v,则u·v=-12-8+5t=0,解得t=4,故选B.

13.C　由题意可得u⊥v,则u·v=3+6+z=0,解得z=-9.故选C.

14.C　=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(-x,1,-z).

∵PA⊥平面ABC,

∴⊥,⊥,

∴·=·=0,∴

解得

∴点P的坐标为(-1,0,2).故选C.

15.证明　取AB的中点O,CD的中点M,连接OM,则OM⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,∴OM⊥平面PAB,又PA=PB,∴PO⊥AB,∴以点O为原点建立空间直角坐标系,如图.

设AP=a,AD=b,则A(0,-a,0),B(0,a,0),P(a,0,0),C(0,a,b),D(0,-a,b),

∴=(0,0,b),=(a,a,0),=(0,0,b),=(a,-a,0).

设n1=(x1,y1,z1)是平面PAD的法向量,n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,

则由n1·=0,n1·=0得令x1=1,则即n1=(1,-1,0),

同理,令x2=1,可得

即n2=(1,1,0).

∵n1·n2=1-1=0,

∴平面PAD⊥平面PBC.

能力提升练

1.B　建立如图所示的空间直角坐标系,由于A1M=AN=,

所以M,N,所以=.

又C1D1⊥平面BB1C1C,

所以=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量.

因为·=0,所以⊥,

又MN⊄平面BB1C1C,

所以MN∥平面BB1C1C.

故选B.

2.C　连接OE.设点M的坐标为(x,y,1),

因为AC∩BD=O,

所以O,

又E(0,0,1),A(,,0),

所以=,=(x-,y-,1),

因为AM∥平面BDE,所以∥,

所以⇒

所以M点的坐标为.

故选C.

3.解析　如图,建立空间直角坐标系,则

A(1,0,0),B(1,,0),C(0,,0),D1(0,0,1),C1(0,,1),∴E,F,G,

∴=,=.

设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则n·=0,n·=0,代入坐标计算得

令x=,则y=1,z=,

∴n=(,1,).

设P(m,s,0)(0<m<1,0<s<),则=(m,s,-1),

=(m-1,s-,0),

∵D1P∥平面EFG,

∴n⊥,

∴n·=m+s-=0,

∴s=-m,

易知BB1=1,

∴=BB1×BP=×1×==.

当m=时,取得最小值.

4.证明　连接BD,PM,∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是等边三角形,∴BM⊥AD,

又PA=PD,M为AD的中点,∴PM⊥AD,

又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PM⊥平面ABCD,

∴以M为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

设PA=PD=2a,CD=b,则B(2a,0,0),C(b,2a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2a),M(0,0,0),N(0,-a,a),∴=(0,-a,a),=(2a,0,0),=(b,2a,-2a),=(0,2a,-2a),

设n1=(x1,y1,z1)是平面BMN的法向量,

n2=(x2,y2,z2)是平面PCD的法向量,

则由·n1=0,·n1=0,

得令y1=1,则x1=0,z1=1,

∴n1=(0,1,1)是平面BMN的一个法向量,

同理,由·n2=0,·n2=0,得

令y2=1,可得x2=0,z2=1,

∴n2=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量.

∵n1=n2,∴平面BMN∥平面PCD.

5.解析　存在.理由如下:

∵平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,∴AF⊥平面ABCD.

过点D作DG⊥BC于点G.

如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B,C,D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,0,1),∴=(0,0,1),=,=,=.

设=λ,0<λ<1,则=λ=,则=+=.

设n=(x,y,z)是平面AFN的法向量,则

即

∴

取x=,则y=,∴n=是平面AFN的一个法向量.

由n·=-×=0,得λ=,符合题意,即存在点N,使得直线CE∥平面AFN,此时=.

方法归纳　利用向量法证明线面平行的一般步骤是先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.

6.D　以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,

则P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0),

设M(4,a,b)(a,b∈[0,4]),则=(4,a,b-4),=(4,-4,2),

∵D1M⊥CP,

∴·=16-4a+2b-8=0,得b=2a-4,

∴M(4,a,2a-4),

∴BM=

=,

当a=时,|BM|取最小值,

易知BC=4,

∴S△BCM的最小值为×4×=.

故选D.

7.D　由题意得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 60°,∴AC==,而AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC,①对;

又PA⊥平面ABCD,故以A为原点建立空间直角坐标系,如图,

设AP=a(a>0),则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,,0),P(0,0,a),

∴=(1,0,0),=(0,,-a).

∵·=0,∴⊥,∴AB⊥PC,又AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,②对;

∵AB⊥PC,AE⊥PC,AB∩AE=A,∴PC⊥平面ABE,③对;

由③及BE⊂平面ABE,得PC⊥BE,④对.

故选D.

8.ABC　∵·=-2-2+4=0,∴⊥,∴AP⊥AB,A对;

∵·=-4+4+0=0,∴⊥,∴AP⊥AD,B对;

∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,

∴是平面ABCD的一个法向量,C对;

=-=(2,3,4),设=λ,即方程组无解,D错.

故选ABC.

9.解析　在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,

因为AB,AC⊂平面ABC,

所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,

又因为∠BAC=90°,所以AB,AC,AA1两两垂直,

分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

则E,F,A(0,0,0),A1(0,0,b),

∴=,=,=,=.

设平面AEF的法向量为n1=(x,y,z),

则n1·=0,n1·=0,

即ax+=0,ay+=0.

令z=1,则x=-,y=-.

所以n1==-,-,1.

同理,n2==是平面A1EF的一个法向量.

因为平面AEF⊥平面A1EF,所以n1·n2=0,即--+1=0,解得λ=(负值舍去).

所以当平面AEF⊥平面A1EF时,λ=.

10.证明　(1)设PA=2,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(1,2,0),F(0,1,1),所以=(0,0,2),=(2,2,0),设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=-1,z=0,即n=(1,-1,0),又=(-1,-1,1),·n=0,所以EF∥平面PAC.

(2)由(1)得=(0,1,1),=(2,2,-2),因为·=0,所以⊥,所以AF⊥PC.

11.解析　∵底面ABCD为正方形,∴AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,∴以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=a,AP=c,a>0,c>0,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,c).

(1)设=λ,0<λ<1,=(-a,a,0),=(a,a,-c),=(a,0,-c),

=-=λ-=λ(a,a,-c)-(a,0,-c)=(λa-a,λa,c-λc),

设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量,

得

令x=1,则y=1,z=,

∴n=是平面BDE的一个法向量,若PC⊥平面BDE,则∥n,

得=,解得λ=,

即存在点E满足PE=PC,使得PC⊥平面BDE.

(2)=(a,a,-c),=(a,0,0),=(0,0,-c),设n1=(x1,y1,z1)是平面PCD的法向量,

则令y1=c,则x1=0,z1=a,

∴n1=(0,c,a)是平面PCD的一个法向量,

设=μ,0<μ<1,则=-=μ-=(μa,μa,c-μc),=(0,a,0).

设n2=(x2,y2,z2)是平面AED的法向量,则

令x2=-c,则y2=0,z2=,∴n2=是平面AED的一个法向量.

∵平面AED⊥平面PCD,

∴n1·n2=0,即=0,此方程无解,

∴不存在点E,使n1⊥n2,

∴不存在点E,

使平面PCD⊥平面AED.

解题反思　立体几何中的存在性问题的思维层次性较高,分析问题时应特别注意,本题考查线面垂直、面面垂直的逆用,由题意设出点的坐标,求出平面的法向量是解题的关键.