第16讲 导数的应用（含参数单调性讨论问题）-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习特训特练（基础版，全国通用版）

第16讲 导数的应用（含参数单调性讨论问题）

1．（2021·临海市西湖双语实验学校）设函数其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；

（2）求函数的单调区间．

【答案】（1）1；（2）答案见解析.

【详解】

（1）由题设，，则，

∴，故点处的切线斜率为1.

（2）由题设，，又，

∴，且，

当时，，单调递增；

当时，或，单调递减；

∴在上递增，在、上递减.

2．（2021·天津市实验中学滨海学校）已知函数，其中，

（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式

（2）讨论函数的单调性

【答案】（1）函数的解析式为；（2）在，上是增函数，在，上是减函数.

【详解】

（1），由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上得，解得，所以函数的解析式为

（2）

当时，显然，这时在上是增函数

当时，，解得

所以在，上是增函数，在，上是减函数.

3．（2021·安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））已知函数.

（1）若函数在处取到极值，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

【答案】（1）；（2）在和上单调递增，在上单调递减.

【详解】

（1）依题意，，

，解得，

经检验，符合题意；

故，，

故，，

故所求切线方程为，即；

（2）依题意，，

若，即时，，在上单调递增；

若，即时，令

令，

故当时，，当时，，当时，，

故函数在和上单调递增，

在上单调递减.

4．（2021·全国高二课时练习）已知函数.讨论的单调性.

【答案】答案见解析.

【详解】

由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，，

设g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a2－8.

①当Δ＜0即0＜a＜2时，对一切x＞0都有＞0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数.

②当Δ＝0即a＝2时，仅对x＝，有＝0，对其余的x＞0都有＞0.此时f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数.

③当Δ＞0即a＞2时，方程g(x)＝0有两个不同的实根

x1＝，x2＝，0＜x1＜x2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

此时f(x)在上单调递增，

在上单调递减，

在上单调递增.

5．（2021·全国高二专题练习）已知函数(且)，讨论函数的单调性．

【答案】答案见解析

【详解】

函数的定义域为(0,＋∞)，且.

①当时，，即在(0,＋∞)上单调递增．

②当时，令，解得x＝ (负值舍去)，

当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增．

综上，当时，在(0,＋∞)上递增；当时，在上递减，在上递增．

6．（2021·富宁县第一中学高二月考（文））已知函数.

（1）若，求在定义域上的极值；

（2）若，求的单调区间.

【答案】（1）极大值，极小值；（2）见解析.

【详解】

解：（1）时，，定义域为

则.

当时，，

在上单调递增；

当时，，

在上单调递减；

当时，，

在上单调递增.

当时，有极大值，

当时，有极小值；

（2），方程的判别式.

，，

当时，即时，，因此，

此时，在上单调递增，即只有增区间.

当时，即时，方程有两个不等根.

设，，则.

当变化时，，的变化如下：

.

，

.

而，，由可得

，

，

，

.

，

由可得，

.

因此，当时，的增区间为，减区间为.

7．（2021·重庆市綦江中学高二月考）已知函数.

（1）若在处取得极小值，求的值；

（2）求函数的单调区间.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【详解】

（1）由题设，，且，

∴，可得.

经检验是的极小值点，所以

（2）且，

当时，，在上单调递减；

当时，

若，有，即在上递减；

若，有，即在上递增；

8．（2021·全国）已知函数（）.讨论的单调性.

【答案】答案见解析.

【详解】

的定义域为，，

当，时，，则在上单调递增；

当，时，令，得，令，得，

则在上单调递减，在上单调递增；

当，时，，则在上单调递减；

当，时，令，得，令，得，

则在上单调递增，在上单调递减.

综上，

当，时， 在上单调递增；

当，时， 在上单调递减，在上单调递增；

当，时，在上单调递减；

当，时， 在上单调递增，在上单调递减.

9．（2021·全国高二课时练习）设函数，讨论函数的单调性.

【答案】答案见解析.

【详解】

当时，，∴在上单调递减；

当时，令，则，

∴当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增；

综上，当时，单调递减区间是，无单调递增区间；

当时，单调递减区间是，单调递增是.