2021-2022学年陕西省咸阳市兴平市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省咸阳市兴平市八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列图形中，是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列选项中不成立的是

A.  B.  C.  D.

3. 把长度为的线段向下平移所得的线段长度是

A.  B.  C.  D.

4. 下列可以判定两个直角三角形全等的条件是

A. 斜边相等 B. 面积相等
C. 两对锐角对应相等 D. 一直角边及斜边分别相等

5. 如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，，平分，于点，于点，交于点，若，则的长为

A.  B.  C.  D.

7. 不等式组的所有整数解的和为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知绕点逆时针旋转得到，且，交于点，交、于点、，则以下结论：≌；；连接、，则；当的长度最大时，平分其中正确的个数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是______命题．填“真”或“假”
10. 若点是第二象限的点，则的取值范围是______．
11. 如图，在中，点是、的垂直平分线的交点，，，则的周长是______ ．
    
     

12. 已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______．

13. 如图，中，，，，点是斜边上任意一点，将点绕点逆时针旋转得到点，则线段长度的最小值是______ ．
     

三、解答题（本大题共13小题，共81.0分）

14. 解不等式：．
15. 在如图所示的正方形网格中，画出将绕点逆时针旋转得到的，、的对应点分别为、．

16. 如图，是等边三角形，点、在边、的延长线上，连接，且证明：是等边三角形．
     

17. 如图在中，，请利用尺规作图法在线段上作一点，使点到边的距离等于不写作法，保留作图痕迹
     

18. 如图，将沿的方向平移得到．
    若，，求的度数；
    若，，求平移的距离．

19. 解不等式组并把解集在如图所示的数轴上表示出来．

20. 如图，与相交于点，连接、并延长，相交于点，连接、，，，求证：垂直平分．
     

21. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
    将先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到，画出，点、、的对应点分别为、、；
    与关于原点成中心对称，画出，点、、的对应点分别为、、．

22. 在四边形中，，于，于，，求证：≌．
     

23. 疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪．经了解市场，购买种品牌的额温枪每支元，种品牌的额温枪每支元．经与商家协商，种品牌的额温枪降价，种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共支且总费用不超过元，则至少要购买种品牌的额温枪多少支？
24. 如图，在中，，点是边上的中点，是边上一点，过作，交于点，交的延长线于点．
    求证：；
    求证：是等腰三角形．
    
    
     

25. 某公司计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元并且多买都有一定的优惠，甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠；乙商场的优惠条件是：每台优惠．
    设购买台电脑，甲商场费用记为元，乙商场费用为元，分别求出与、与之间的函数关系式；
    请你分析该公司应该选择哪种方案才更优惠？
26. 如图，在中，，，是直角边所在直线上的一个动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，．
    如图，当点恰好在线段上时，请判断线段和之间的数量关系，并说明理由．
    当点不在直线上时，如图、图，其他条件不变，中结论是否成立？若成立，请在图、图中选择一个给予证明；若不成立，请直接写出和之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】解：、若，则，故说法成立；
B、若，则，说法成立；
C、若，则，说法不成立．
D、若，则，故说法成立．
故选：．
运用不等式的基本性质判定即可．
本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的性质．
 

3.【答案】

【解析】解：平移前后的线段的长度不变，
平移后的线段的长为，
故选：．
利用平移的性质解决问题即可．
本题考查平移变换的性质，平移前后的图象的形状不变，大小相同．
 

4.【答案】

【解析】解：、斜边相等，缺少一个条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
B、面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
C、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项不符合题意；
D、一直角边及斜边分别相等，可利用定理证明两个直角三角形全等，故此选项符合题意；
故选：．
根据判定直角三角形全等的条件：、、、进行分析即可．
此题主要考查了直角三角形全等的判定定理，关键是掌握判定直角三角形全等的条件．
 

5.【答案】

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
故选：．
等边三角形的三个角都为，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为，和三角形的外角的性质．
 

6.【答案】

【解析】解：，平分，于点，于点，
，，
，
，，
，
在中，，
，
．
故选：．
先根据角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，则根据含度的直角三角形三边的关系得到的长，然后证明得到．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

7.【答案】

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其整数解的和为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，，，，，
，
，，
，
≌，故正确；
，，
，
，，
，
又，
≌，
，故错误；
，，
垂直平分，故正确；
当最大时，即最短，
，
，
平分，故正确．
故正确的个数是个，
故选：．
由旋转的性质可知≌，故正确；再证明≌，得，故错误；由，，得垂直平分，故正确；当最大时，即最短，得，即可判断．
本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，证明≌是解题的关键．
 

9.【答案】真

【解析】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是两个锐角互余的三角形是直角三角形，逆命题是真命题；
故答案为：真．
根据题意写出逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出所有命题的逆命题，难度不大．
 

10.【答案】

【解析】解：点是第二象限的点，
，
解得：．
故答案为：．
根据第二象限点的特征列出不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，熟练掌握象限点的特征及不等式的解法是解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：点是、的垂直平分线的交点，
，
的周长，
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由得到：．
从图象可知直线过点，当时，随的增大而增大，
不等式的解集是，
不等式的解集为，
故答案为：．
根据图象得出直线过点，当时，随的增大而增大，即可得出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象读出正确信息是解此题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：由旋转的性质得，，，
为等边三角形，
，
当最短，最短，
当时，最短，
此时，
即，
在中，，，，
由勾股定理得，，
，
，
线段长度的最小值是．
故答案为．
由旋转的性质可证为等边三角形，当最短，最短，时，最短，由直角三角形等面积法，即可求得．
本题考查了旋转的性质，关键是利用旋转的性质证明为等边三角形，把求的最小值转化为求的最小值．
 

14.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．

【解析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把系数化为，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

15.【答案】解：如图，为所作．
 

【解析】利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

16.【答案】证明：为等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形．

【解析】先根据等边三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定与性质：熟练掌握等边三角形的判定方法和性质是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】作出的角平分线即可．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质定理，解题的关键熟练角平分线的性质定理，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：由平移可知，
，
；
，，
，
即平移的距离为．

【解析】由平移可知，，再利用三角形内角和定理得出；
根据，，则，即平移的距离为．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，确定出四边形的周长与的周长的关系是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
解不等式得，
解不等式得，
所以，原不等式组的解集为．
把解集在数轴上表示为：
．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：在与中，
，
≌，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分．

【解析】由“”可证≌，可得，且，可得垂直平分．
本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键．
 

21.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求．

【解析】根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
根据旋转变换的性质找出对应点即可求解．
本题考查了平移变换与旋转变换的性质，熟练掌握平移变换以及旋转变换的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，
在与中，
，
≌，
．
又于，于，
，
在与中，
，
≌．

【解析】根据全等三角形的判定定理证得≌，在该全等三角形的对应边相等：，然后再由来证得≌．
本题考查了直角三角形的判定．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“”．
 

23.【答案】解：设要购买种品牌的额温枪支，则购买种品牌的额温枪支，
依题意得：，
解得：．
答：种品牌的额温枪至少购买支．

【解析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设要购买种品牌的额温枪支，则购买种品牌的额温枪支，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出至少要购买种品牌的额温枪的数量．
 

24.【答案】证明：，点是边上的中点，
是等腰三角形底边的中线，
，
，
；
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．

【解析】根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后根据平行线的判定即可得到结论；
根据等角的余角相等，得到，进而得到，即可证得结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：根据题意得：，即，
，即．
当时，即，
解得：，
当购买电脑台数大于时，该公司应该选择甲商场购买才更优惠；
当时，即，
解得：，
当购买电脑台数小于时，该公司应该选择甲商场购买才更优惠；
当时，即，
解得：，
当购买电脑台时，该公司应该选择哪家商场一样．

【解析】根据题意即可得：，，化简即可求得函数解析式；
由甲商场购买更优惠，可得，即可得不等式，解此不等式，即可求得答案；
由乙商场购买更优惠，可得，即可得不等式，解此不等式，即可求得答案；
由两家商场收费相同，可得，即可得方程，解此方程，即可求得答案．
此题考查了一次函数的实际应用问题、不等式与方程的解法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解．
 

26.【答案】解：．
理由如下：由旋转可知，，，
为等边三角形，
，．
，，
，
，
，
．
图、图中结论仍成立．
选择图证明如下：如图，过点作，垂足为．

在中，，，
，
，
，
即．
又，，
≌，
．
在中，，
，
．
又，
．
由知，
．

【解析】利用等边三角形的性质以及等腰三角形的判定解答即可；
过点作，垂足为，证得≌，结合直角三角形中度的角所对的直角边是斜边的一半可得出答案．
本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．