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2021-2022学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．12
2．（3分）菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．有一组邻边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣ D．k≤﹣
4．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
5．（3分）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则m的值大约为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
7．（3分）如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（ ）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
8．（3分）如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP•AB D．AB•CP＝AP•CB
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是 ．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2021+a﹣b的值是 ．
11．（3分）若，则＝ ．
12．（3分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛210场，则参加比赛的足球队共有 个．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边的中点，点F在BC边上移动，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当四边形BEB'F为正方形时，B'D的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）用适当的方法解方程：2x2﹣7x+1＝0．
15．（5分）如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
（1）求证：△ABO∽△DCO；
（2）求线段CD的长．
16．（5分）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．
18．（5分）袁隆平是我国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“杂交水稻之父”，成功选育了世界上第一个实用高产杂交水稻品种．某农业基地现有杂交水稻种植面积20公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至24.2公顷，求该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率．
19．（5分）有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．
20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数．
（2）如果AC＝6，求DE的长．
21．（6分）九年级某班要召开一次“走进祖国英雄，讲好中国故事”主题班会活动，张老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除了编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小东随机抽取1张卡片，则抽到卡片编号为B的概率为 ．
（2）小东从4张卡片中随机抽取一张（不放回），小海再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相应英雄故事，求小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）
22．（7分）交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门绘制出2021年五一小长假期间旅游情况统计图，根据信息解答下列问题：
（1）五一小长假期间，该市旅游景区景点共接待游客 万人，请补全条形统计图．
（2）根据2021年到该市旅游人数的情况，预计2022年五一小长假期间将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中任选一个景点旅游，求两个旅行团同时选择去同一景点的概率是多少？
23．（7分）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树影子末端重合于点H，测得DH＝1米．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线FD后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2米．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度EF．
24．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
25．（8分）如图，在直角△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
2021-2022学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．12
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC＝DE：EF．
∵AB：BC＝2：3，EF＝9，
∴DE＝6．
故选：B．
2．（3分）菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．有一组邻边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】利用矩形的性质和菱形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，
故选：A．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣ D．k≤﹣
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝32﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣．
故选：A．
4．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边分别平行且对角线相等的四边形是矩形，
∴选项C符合题意；
D、∵四条边都相等的四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则m的值大约为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意得：
×100%＝25%，
解得：m＝16，
答：m的值大约为16．
故选：C．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故选：D．
7．（3分）如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（ ）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【分析】由菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE＝EO＝FO＝CF，
∴S△ABE＝S△OBF，故①正确；
∵EO＝OF，BO＝DO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝2OC•OD，故③错误；
∵四边形EBFD是菱形，
∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④错误；
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP•AB D．AB•CP＝AP•CB
【分析】根据三角形相似的判定方法逐一进行判断．
【解答】解：当∠ACP＝∠B时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当∠APC＝∠ACB时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当AC2＝AP•AB时，即，
且A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当AB•CP＝AP•CB时，即，
而A＝∠A，
所以不能判定△APC和△ACB相似，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是 ﹣4 ．
【分析】设另一根是x2，直接利用根与系数的关系可得到关于x2的方程，则可求得答案．
【解答】解：设方程的另一根为x2，
∵一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，
∴x2＝．
解得x2＝﹣4．
故答案是：﹣4．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2021+a﹣b的值是 2020 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，可以得到a﹣b的值，然后将所求式子变形，再将a﹣b的值代入，即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
∴2021+a﹣b＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
11．（3分）若，则＝ ．
【分析】由，根据比例的基本性质得出b＝3a，d＝3c，代入，计算即可．
【解答】解：∵，
∴b＝3a，d＝3c，
∴＝＝＝．
故答案为：．
12．（3分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛210场，则参加比赛的足球队共有 15 个．
【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了210场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：2×x（x﹣1）＝210，
整理得：x2﹣x﹣210＝0，
解得：x＝15或x＝﹣14（舍去）．
故答案为：15．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边的中点，点F在BC边上移动，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当四边形BEB'F为正方形时，B'D的长为 2 ．
【分析】连接BB'，连接BD，由正方形的性质可得BD＝AB＝4，BD平分∠ABC，BB'＝BE＝2，BB'平分∠ABC，可证点B，点B'，点D三点共线，即可求解．
【解答】解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD＝AB＝4，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝2，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'＝BE＝2，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'＝2，
故答案为2．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）用适当的方法解方程：2x2﹣7x+1＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣7，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，
则，
∴，．
15．（5分）如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
（1）求证：△ABO∽△DCO；
（2）求线段CD的长．
【分析】（1）由AB∥CD，易得∠A＝∠D，∠B＝∠C，则可证得：△AOB∽△DOC；
（2）由△AOB∽△DOC，OA＝2，OD＝4，AB＝3，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长度．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC；
（2）解：∵△AOB∽△DOC，
∴，
∵OA＝2，OD＝4，AB＝3，
∴，
解得：CD＝6．
16．（5分）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】证明△ABE≌△ADF（ASA），得AB＝AD，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
18．（5分）袁隆平是我国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“杂交水稻之父”，成功选育了世界上第一个实用高产杂交水稻品种．某农业基地现有杂交水稻种植面积20公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至24.2公顷，求该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率．
【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至24.2公顷，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
【解答】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得：20（1+x）2＝24.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率10%．
19．（5分）有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．
【分析】设截去的小正方形的边长为xcm，从而得出这个长方体盒子的底面的长是（12﹣2x）cm，宽是（8﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可．
【解答】解：设截去的小正方形的边长为xcm，根据题意列方程，得
（12﹣2x）（8﹣2x）＝32．
整理，得x2﹣10x+16＝0．
解得x1＝8，x2＝2．
因为8﹣2x＜0．
所以x1＝8不合题意，舍去．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数．
（2）如果AC＝6，求DE的长．
【分析】（1）证△ABD是等边三角形，得∠DAB＝60°，即可求解；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，AO＝AC＝3，再由等边三角形的性质得DE＝AO＝3．
【解答】解：（1）∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，AD＝BD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，
在等边△ABD中，
∵AO⊥BD，DE⊥AB，
∴DE＝AO＝3．
21．（6分）九年级某班要召开一次“走进祖国英雄，讲好中国故事”主题班会活动，张老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除了编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小东随机抽取1张卡片，则抽到卡片编号为B的概率为 ．
（2）小东从4张卡片中随机抽取一张（不放回），小海再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相应英雄故事，求小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小东随机抽取1张卡片，则抽到卡片编号为B的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的结果有6种，
∴小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的概率为＝．
22．（7分）交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门绘制出2021年五一小长假期间旅游情况统计图，根据信息解答下列问题：
（1）五一小长假期间，该市旅游景区景点共接待游客 50 万人，请补全条形统计图．
（2）根据2021年到该市旅游人数的情况，预计2022年五一小长假期间将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中任选一个景点旅游，求两个旅行团同时选择去同一景点的概率是多少？
【分析】（1）由A景点人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以B景点人数所占比例求出其人数即可补全图形；
（2）总人数乘以样本中E景点人数所占比例即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）五一小长假期间，该市旅游景区景点共接待游客15÷30%＝50（万人），
B景点人数为50×24%＝12（万人），
补全统计图如下：
故答案为：50；
（2）根据题意得：（万人），
答：估计有9.6万人会选择去E景点旅游．
（3）画表格为：
A
B
D
A
（A，A）
（B，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（D，B）
D
（A，D）
（B，D）
（D，D）
∴共有9种等可能的结果，其中两个旅行团同时选择去同一景点的结果有3种，
∴P（同时选择去同一景点）＝．
23．（7分）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树影子末端重合于点H，测得DH＝1米．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线FD后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2米．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度EF．
【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△EFH∽△CDH，△EFG∽△ABG，进而利用相似三角形的性质得出EF的长．
【解答】解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝11m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.6m．
∴GD＝DB﹣BG＝9m，
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝12.8．
故树的高度EF为12.8m．
24．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
【分析】（1）利用平均每天的销售数量＝20+2×销售单价降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，利用该商店每天销售该种商品的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值．
【解答】解：（1）20+2×5＝30（件）．
答：平均每天销售数量为30件．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，40﹣x＝30（元），30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件商品可降价10元．
25．（8分）如图，在直角△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．
【分析】（1）连接DE．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝AB．
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC．
∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，
∴BC＝2AF，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝2，
∴BC＝4，CF＝2，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2，CE＝，EF＝1，
∴AE＝，
∴矩形ADFE的周长＝2+2．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
【分析】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；
（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．
【解答】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
2021-2022学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．12
2．（3分）菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．有一组邻边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣ D．k≤﹣
4．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
5．（3分）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则m的值大约为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
7．（3分）如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（ ）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
8．（3分）如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP•AB D．AB•CP＝AP•CB
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是 ．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2021+a﹣b的值是 ．
11．（3分）若，则＝ ．
12．（3分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛210场，则参加比赛的足球队共有 个．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边的中点，点F在BC边上移动，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当四边形BEB'F为正方形时，B'D的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）用适当的方法解方程：2x2﹣7x+1＝0．
15．（5分）如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
（1）求证：△ABO∽△DCO；
（2）求线段CD的长．
16．（5分）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．
18．（5分）袁隆平是我国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“杂交水稻之父”，成功选育了世界上第一个实用高产杂交水稻品种．某农业基地现有杂交水稻种植面积20公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至24.2公顷，求该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率．
19．（5分）有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．
20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数．
（2）如果AC＝6，求DE的长．
21．（6分）九年级某班要召开一次“走进祖国英雄，讲好中国故事”主题班会活动，张老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除了编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小东随机抽取1张卡片，则抽到卡片编号为B的概率为 ．
（2）小东从4张卡片中随机抽取一张（不放回），小海再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相应英雄故事，求小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）
22．（7分）交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门绘制出2021年五一小长假期间旅游情况统计图，根据信息解答下列问题：
（1）五一小长假期间，该市旅游景区景点共接待游客 万人，请补全条形统计图．
（2）根据2021年到该市旅游人数的情况，预计2022年五一小长假期间将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中任选一个景点旅游，求两个旅行团同时选择去同一景点的概率是多少？
23．（7分）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树影子末端重合于点H，测得DH＝1米．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线FD后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2米．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度EF．
24．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
25．（8分）如图，在直角△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
2021-2022学年陕西省咸阳市武功县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．12
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴AB：BC＝DE：EF．
∵AB：BC＝2：3，EF＝9，
∴DE＝6．
故选：B．
2．（3分）菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．有一组邻边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【分析】利用矩形的性质和菱形的性质可求解．
【解答】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，
故选：A．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣ B．k≥﹣ C．k＜﹣ D．k≤﹣
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝32﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝32﹣4（﹣k）＞0，
解得k＞﹣．
故选：A．
4．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
D．四条边都相等的四边形是菱形
【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项B不符合题意；
C、∵两组对边分别平行且对角线相等的四边形是矩形，
∴选项C符合题意；
D、∵四条边都相等的四边形是菱形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．（3分）在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中只有4个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则m的值大约为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：根据题意得：
×100%＝25%，
解得：m＝16，
答：m的值大约为16．
故选：C．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD+∠ODA＝2∠OAD，
∵∠EAC＝2∠CAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB﹣∠OAE＝22.5°．
故选：D．
7．（3分）如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点．下列结论中正确的是（ ）
①S△ABE＝S△OBF；
②四边形EBFD是菱形；
③四边形ABCD的面积为OC×OD；
④∠ABE＝∠OBE．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【分析】由菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴AE＝EO＝FO＝CF，
∴S△ABE＝S△OBF，故①正确；
∵EO＝OF，BO＝DO，
∴四边形EBFD是平行四边形，
又∵AC⊥BD
∴四边形EBFD是菱形，故②正确；
∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝2OC•OD，故③错误；
∵四边形EBFD是菱形，
∴∠OBF＝∠OBE，∠ABE≠∠OBE，故④错误；
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中，不能判定△APC和△ACB相似的条件是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AC2＝AP•AB D．AB•CP＝AP•CB
【分析】根据三角形相似的判定方法逐一进行判断．
【解答】解：当∠ACP＝∠B时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当∠APC＝∠ACB时，∵∠A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当AC2＝AP•AB时，即，
且A＝∠A，
∴△ACP∽∠ABC；
当AB•CP＝AP•CB时，即，
而A＝∠A，
所以不能判定△APC和△ACB相似，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，则该方程的另一个根是 ﹣4 ．
【分析】设另一根是x2，直接利用根与系数的关系可得到关于x2的方程，则可求得答案．
【解答】解：设方程的另一根为x2，
∵一元二次方程2x2+mx﹣4＝0的一个根是，
∴x2＝．
解得x2＝﹣4．
故答案是：﹣4．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，那么代数式2021+a﹣b的值是 2020 ．
【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，可以得到a﹣b的值，然后将所求式子变形，再将a﹣b的值代入，即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝﹣1，
∴a﹣b+1＝0，
∴a﹣b＝﹣1，
∴2021+a﹣b＝2021﹣1＝2020．
故答案为：2020．
11．（3分）若，则＝ ．
【分析】由，根据比例的基本性质得出b＝3a，d＝3c，代入，计算即可．
【解答】解：∵，
∴b＝3a，d＝3c，
∴＝＝＝．
故答案为：．
12．（3分）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛210场，则参加比赛的足球队共有 15 个．
【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了210场即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设共有x个队参加比赛，
根据题意得：2×x（x﹣1）＝210，
整理得：x2﹣x﹣210＝0，
解得：x＝15或x＝﹣14（舍去）．
故答案为：15．
13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边的中点，点F在BC边上移动，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当四边形BEB'F为正方形时，B'D的长为 2 ．
【分析】连接BB'，连接BD，由正方形的性质可得BD＝AB＝4，BD平分∠ABC，BB'＝BE＝2，BB'平分∠ABC，可证点B，点B'，点D三点共线，即可求解．
【解答】解：如图，连接BB'，连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD＝AB＝4，BD平分∠ABC，
∵E为AB边的中点，
∴AE＝BE＝2，
∵四边形BEB'F是正方形，
∴BB'＝BE＝2，BB'平分∠ABC，
∴点B，点B'，点D三点共线，
∴B'D＝BD﹣BB'＝2，
故答案为2．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14．（5分）用适当的方法解方程：2x2﹣7x+1＝0．
【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣7，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，
则，
∴，．
15．（5分）如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点O，若OA＝2，OD＝4，AB＝3．
（1）求证：△ABO∽△DCO；
（2）求线段CD的长．
【分析】（1）由AB∥CD，易得∠A＝∠D，∠B＝∠C，则可证得：△AOB∽△DOC；
（2）由△AOB∽△DOC，OA＝2，OD＝4，AB＝3，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长度．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
∴△AOB∽△DOC；
（2）解：∵△AOB∽△DOC，
∴，
∵OA＝2，OD＝4，AB＝3，
∴，
解得：CD＝6．
16．（5分）如图，已知∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，求证：△ABC∽△AED．
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可．
【解答】证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝17，AD＝34，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠BAC＝∠EAD，
∴△BAC∽△EAD．
17．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】证明△ABE≌△ADF（ASA），得AB＝AD，再由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
18．（5分）袁隆平是我国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“杂交水稻之父”，成功选育了世界上第一个实用高产杂交水稻品种．某农业基地现有杂交水稻种植面积20公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增至24.2公顷，求该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率．
【分析】设年平均增长率为x，根据划两年后将杂交水稻种植面积增至24.2公顷，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
【解答】解：设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，
依题意，得：20（1+x）2＝24.2，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率10%．
19．（5分）有一块长12cm，宽8cm的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为32cm2的无盖的盒子，求截去的小正方形的边长．
【分析】设截去的小正方形的边长为xcm，从而得出这个长方体盒子的底面的长是（12﹣2x）cm，宽是（8﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可．
【解答】解：设截去的小正方形的边长为xcm，根据题意列方程，得
（12﹣2x）（8﹣2x）＝32．
整理，得x2﹣10x+16＝0．
解得x1＝8，x2＝2．
因为8﹣2x＜0．
所以x1＝8不合题意，舍去．
答：截去的小正方形的边长为2cm．
20．（5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．
（1）求∠ABC的度数．
（2）如果AC＝6，求DE的长．
【分析】（1）证△ABD是等边三角形，得∠DAB＝60°，即可求解；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，AO＝AC＝3，再由等边三角形的性质得DE＝AO＝3．
【解答】解：（1）∵E为AB中点，DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，AD＝BD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB＝60°，
∴∠ABC＝120°；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，
在等边△ABD中，
∵AO⊥BD，DE⊥AB，
∴DE＝AO＝3．
21．（6分）九年级某班要召开一次“走进祖国英雄，讲好中国故事”主题班会活动，张老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除了编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小东随机抽取1张卡片，则抽到卡片编号为B的概率为 ．
（2）小东从4张卡片中随机抽取一张（不放回），小海再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相应英雄故事，求小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能结果，其中小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）小东随机抽取1张卡片，则抽到卡片编号为B的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的结果有6种，
∴小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国戍边英雄”陈红军故事的概率为＝．
22．（7分）交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门绘制出2021年五一小长假期间旅游情况统计图，根据信息解答下列问题：
（1）五一小长假期间，该市旅游景区景点共接待游客 50 万人，请补全条形统计图．
（2）根据2021年到该市旅游人数的情况，预计2022年五一小长假期间将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？
（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中任选一个景点旅游，求两个旅行团同时选择去同一景点的概率是多少？
【分析】（1）由A景点人数及其所占百分比可得被调查的总人数，总人数乘以B景点人数所占比例求出其人数即可补全图形；
（2）总人数乘以样本中E景点人数所占比例即可；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）五一小长假期间，该市旅游景区景点共接待游客15÷30%＝50（万人），
B景点人数为50×24%＝12（万人），
补全统计图如下：
故答案为：50；
（2）根据题意得：（万人），
答：估计有9.6万人会选择去E景点旅游．
（3）画表格为：
A
B
D
A
（A，A）
（B，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（D，B）
D
（A，D）
（B，D）
（D，D）
∴共有9种等可能的结果，其中两个旅行团同时选择去同一景点的结果有3种，
∴P（同时选择去同一景点）＝．
23．（7分）数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树影子末端重合于点H，测得DH＝1米．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线FD后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2米．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度EF．
【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△EFH∽△CDH，△EFG∽△ABG，进而利用相似三角形的性质得出EF的长．
【解答】解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝11m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.6m．
∴GD＝DB﹣BG＝9m，
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝12.8．
故树的高度EF为12.8m．
24．（8分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若销售单价降低5元，那么平均每天销售数量为多少件？
（2）若该商店每天销售利润为1200元，问每件商品可降价多少元？
【分析】（1）利用平均每天的销售数量＝20+2×销售单价降低的价格，即可求出结论；
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，利用该商店每天销售该种商品的利润＝每件的销售利润×平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件盈利不少于25元，即可确定x的值．
【解答】解：（1）20+2×5＝30（件）．
答：平均每天销售数量为30件．
（2）设每件商品降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天销售数量为（20+2x）件，
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝10时，40﹣x＝30（元），30＞25，符合题意；
当x＝20时，40﹣x＝20（元），20＜25，不符合题意，舍去．
答：每件商品可降价10元．
25．（8分）如图，在直角△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点．
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）若∠C＝30°，AF＝2，求出矩形ADFE的周长．
【分析】（1）连接DE．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DE．
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF∥AB，EF＝AB，
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝AB．
∴AD＝EF．
∴四边形ADFE为平行四边形；
由点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE＝BC．
∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，
∴BC＝2AF，
∴DE＝AF，
∴四边形ADFE为矩形；
（2）解：∵四边形ADFE为矩形，
∴∠BAC＝∠FEC＝90°，
∵AF＝2，
∴BC＝4，CF＝2，
∵∠C＝30°，
∴AC＝2，CE＝，EF＝1，
∴AE＝，
∴矩形ADFE的周长＝2+2．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动．
（1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？
（2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？
【分析】（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；
（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．
【解答】解：（1）设经过x秒，△MCN的面积等于△ABC面积的．
×2x（8﹣x）＝×8×10×．
解得x1＝x2＝4．
答：经过4秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的；
（2）设经过t秒，△MCN与△ABC相似．
∵∠C＝∠C，
∴可分为两种情况：
①＝，即＝，
解得t＝；
②＝，即＝．
解得t＝．
答：经过或秒，△MCN与△ABC相似．
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