2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新一中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新一中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 今据天气预报，年月日高新区最高气温，最低气温是，则当天我区气温的变化范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年冬奥会将在我国北京市和张家口市联合举行，下列历届冬奥会会徽的部分图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如果，那么下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

5. 某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，不答得分，答错扣分．小聪有一道题没答，竞赛成绩超过分．设他答对了道题，则根据题意可列出不等式为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为，若，点是射线上一动点，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题中，真命题有个(    )
   两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
   斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等；
   两条直角边分别相等的两个直角三角形全等；
   一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．

A.  B.  C.  D.

8. 已知不等式的解集是，下列有可能是直线的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、则以下与的数量关系正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点、分别落在点、处，点在轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上，依次进行下去，若点，，则点的横坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21分）

11. 关于的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是______．

12. 已知点和点关于原点对称，则等于______．
13. 如图所示的图案，可以看作是一个四边形阴影部分按顺时针方向通过次旋转得到的，每次旋转的角度是______．

14. 已知不等式组的解集为，则的值为______．
15. 如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形的面积为______．

16. 如图，在等边中，点是边上一点，为边上的中线，、相交于点，若，则的度数为______．

17. 已知点是一次函数图象上的一点，若将该函数图象先向左平移个单位，再向上平移个单位后，点位于第二象限，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共69分）

18. 解下列一元一次不等式组：
    ；
    ．
19. 已知平面直角坐标系中，网格中每一格的边长均为一个单位长度，请解答以下问题．
    将平移，使得平移后点的对应点为原点，点、的对应点分别为，，请作出平移后的，并直接写出在方向上平移的距离为______．
    将绕点逆时针旋转，得到，点、的对应点分别为、，请作出，并直接写出点，点的坐标为：______，______

20. 如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法

21. 如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交的延长线于点若，求的长．

22. 如图，在中，，且，于点交的延长线于点．
    求证：．
    连接，求证：垂直平分．

23. 小高和小新兄弟俩进行米赛跑，哥哥小高先让弟弟小新跑米，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑米，哥哥每秒跑米．
    分别列出小高、小新赛跑时所跑的距离、与弟弟赛跑时间的函数关系式，并画出函数图象．
    何时弟弟跑在哥哥的前面？
    谁先跑过米？谁先到达终点？

24. 为了给某“特殊儿童康复学校”筹集助学资金，“青年公益平台”的同学们在校园内举办一场义卖活动．他们将自己设计制作的高新熊和抱枕作为主打商品，其中高新熊每个元，抱枕每个元．已知当天共售出两种商品个，其中高新熊数量不少于抱枕数量的倍．如果它们全部卖出后销售额不少于元，那么这次义卖售出的高新熊数量可能是多少个？
25. 已知，，点在边上，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．
    如图，当时，试判断与的位置关系：______；
    如图，当时，时，求线段的长度；
    如图，当时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：若月日高新区最高气温是，最低气温，
则月日高新区的气温的变化范围是．
故选：．
最高气温是，即气温小于或等于，最低气温即温度大于或等于，据此即可判断．
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：．
 

2.【答案】 

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，，故选项错误；
B、，，故选项错误；
C、，，故选项错误；
D、，，故选项正确．
故选：．
A、利用不等式的性质即可判定；
B、利用不等式的性质即可判定；
C、利用不等式的性质即可判定；
D、利用不等式的性质即可判定．
此题主要考查了不等式的基本性质．“”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“”存在与否，以防掉进“”的陷阱．不等式的基本性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：当腰为时，三边为，，，
，
不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
当腰为时，三边为，，，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是
故选C．
分为两种情况：当腰为时，三边为，，，当腰为时，三边为，，，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，注意要进行分类讨论啊．
 

5.【答案】 

【解析】解：设他答对了道题，根据题意，得
．
故选：．
小聪答对题的得分：；小聪答错的得分：，不等关系：小聪得分超过分．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，的值最小，
，点是的角平分线上一点，，
，
，
，
即的最小值是，
故选：．
当时，的值最小，根据角平分线的性质求出，再求出答案即可．
本题考查了垂线的性质和角平分线的性质，能找出点的位置是解此题的关键，注意：垂线段最短，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：两个锐角分别相等的两个直角三角形，形状相同，大小不一定相同，故不一定全等，故原命题为假命题；
斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形，符合，可以判定两个三角形全等，故为真命题；
两条直角边分别相等的两个直角三角形，符合，可以判定两个三角形全等，故为真命题；
一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形，可以先利用一次，再利用证明全等，故为真命题；
故真命题为：，
故选：．
根据三角形全等的判定定理逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：不等式的解集是，
当时，函数的函数值为负数，即直线的图象在轴下方．
故选C．
根据一次函数与一元一次不等式得到当时，直线的图象在轴下方，然后对各选项分别进行判断．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故选：．
首先连接，由在中，，，可求得的度数，又由的垂直平分线交于点，交于点，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可求得的度数，然后由含角的直角三角形的性质，证得．
此题考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，，
，，
，
，
，，，，
，
，
．
故选：．
通过旋转发现，、、每偶数之间的相差个单位长度，根据这个规律可以求得的横坐标，进而可得点的坐标．
本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：处是空心圆点，且折线向右，
．
故答案为：．
根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了关于原点对称的点的特点，这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆，比较简单．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．根据点和点关于原点对称就可以求出，的值，即可得出．
【解答】
解：点和点关于原点对称，
，，
，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：每次旋转了．
故答案为：．
图中的图案有个四边形组成，则每次旋转度；一共旋转了次．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于常考题型．
 

14.【答案】 

【解析】解：解不等数组可得解集为：，
不等式组解集为：，
，，
，．
把，代入得：
原式．
故答案为：．
解出不等式组，求出解集，然后和已知解集对应一致，即可求出，．
本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出，的值．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，

，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积


，
故答案为：．
连接，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，点是边上一点，
，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质得出的度数，再根据三角形外角的性质得出的度数即可．
本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：点是一次函数图象上的一点，
，
，
将该函数图象先向左平移个单位，再向上平移个单位后，点位于第二象限，
，
解得，
故答案为：．
根据平移的规律以及第二象限点的坐标特征得到关于的不等式组，解不等式组即可求得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，坐标系中点的坐标特征，根据题意得到关于的不等式组是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
，
；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：． 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】  ，  ， 

【解析】解：如图，即为所求，在方向上平移的距离为，
故答案为：；
如图，即为所求，，．
故答案为：，，，．

利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质作出，的对应点，即可．
本题考查作图平移变换，旋转变换知识，解题的关键是掌握平移变换性质，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：如图所示，点即为所求．
 

【解析】根据尺规作图作一个角等于已知角，作即可，或作的垂直平分线交于点，连接即可，或过点作于即可．
本题考查了作图复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

21.【答案】解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
，，
是等边三角形．
，
，，
，
． 

【解析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解的度数，易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，熟记度的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，
，
，
，
，
是的角平分线，
，，
；
由知，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点、点在线段的垂直平分线上，
垂直平分． 

【解析】根据题意，平行线的性质和角平分线的性质即可证明结论成立；
先证明≌，根据全等三角形的性质得到，，根据线段的垂直平分线的判定即可得到垂直平分．
本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质证得．
 

23.【答案】解：由题意可得，
，
，
即、与的函数关系式分别是：，；
函数图象如图：


，
解得，，
答：当时，弟弟跑在哥哥的前面．

，解得，
，解得，
，
小新跑过米，
，解得，
，解得，
，
小高先到达终点． 

【解析】根据题意可以分别写出、与的函数关系式，并画出函数图象；
由弟弟跑在哥哥的前面，可得，从而可以解答本题
根据、与的函数关系式，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

24.【答案】解：设这次义卖售出个高新熊，则售出个抱枕，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为，，．
答：这次义卖售出的高新熊数量可能是个或个或个． 

【解析】设这次义卖售出个高新熊，则售出个抱枕，根据“售出高新熊数量不少于抱枕数量的倍，且它们全部卖出后销售额不少于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
 

25.【答案】垂直 

【解析】解：线段绕点逆时针旋转得到，
，且．
是等边三角形，
，
，，
，
，，
是的垂直平分线，
故答案为：垂直；
由知，是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
；
结论：．
理由：如图中，

由可知，是等边三角形，
，．
线段绕点顺时针旋转得到，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
证明是等边三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，推出，可得结论；
证明是等边三角形，推出，再证明，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理即可求出；
结论：利用全等三角形的性质证明，再证明可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．