2021-2022学年陕西省安康市汉滨区农村初中八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年陕西省安康市汉滨区农村初中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列各式中，一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    )

A. 对角线垂直 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分

3. 若的三边长，，满足，则(    )

A. 为直角 B. 为直角
C. 为直角 D. 不是直角三角形

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这只铅笔的长度可能是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 菱形的边长为，其中对角线长，菱形的面积为(    )

A.   B.  C.  D.  

7. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，求的长(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是的角平分线，于点，于点，连接交于有以下四个结论：；；当时，四边形是正方形；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

9. 化简：______．
10. 若最简二次根式与能合并，则______．
11. 在中，若，，则______．
12. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则______．

13. 如图，菱形中，，，、分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共13小题，共81分）

14. 计算：．
15. 如果一个三角形的三边长分别为、、，请化简．
16. 如图，在中，，，，，求的长．

17. 如图，点为矩形外一点，求证：≌．

18. 如图，在四边形中，，，点是的中点．
    求证：四边形是平行四边形．

19. 如图，网格中每个小正方形的边长都是，点、、、都在格点上．
    线段的长度是______ ，线段的长度是______ ．
    若的长为，那么以、、三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

20. 如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接，，，若，求证：四边形是矩形．

21. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开
    凿隧道通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，且，．
    求修建的公路的长；
    若公路建成后，一辆货车由处途经处到达处的总路程是多少？

22. 三角形的周长为，面积为，已知两边的长分别为和，求：第三边的长；
    第三边上的高．
23. 如图，，分别是的两条高，点，分别是，的中点．
    求证：；
    若，，求的长．

24. 如图，在中，，是的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，连接，．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．

25. 在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
    ，，，
    ，．
    请你根据小军的解题过程，解决如下问题，
    ______；
    若，求的值．
26. 已知正方形，点是边上一点不与、重合，连接并延长交延长线于点，交于点，连接，过点作交于点．
    证明：；
    猜想的形状，并说明理由；
    取中点，连接，若，正方形边长为，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项是三次根式，故该选项不符合题意；
选项的被开方数是负数，故该选项不符合题意；
选项，是二次根式，故该选项符合题意；
选项，当时，不是二次根式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的定义判断即可．
本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，
菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直，
故选：．
利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质好平行四边形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
是直角三角形，且是直角，
故选：．
根据已知条件可得，即可判定的形状．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项正确；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误．
故选B．
根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可．
本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是的数．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．
首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长即可．
【解答】
解：根据题意可得图形：，，
在中：，

则这只铅笔的长度大于．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图，设，的交点为
四边形是菱形
，，
在中，

故选：．
由菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得或的长，从而求得的长；利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积．
主要考查菱形的性质，勾股定理，灵活运用菱形的性质是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，
，
又，
，
故选：．
由矩形的性质可得，可得，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的判定，角平分线性质的应用，能判断≌是解此题的关键．
根据角平分线性质得：，证≌，得，再一一判断即可．
【解答】
解：根据已知条件不能推出，错误；
是的角平分线，，分别是和的高，
，，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
正确；
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
正确；
，，
，
正确；
正确，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：，故填．
根据最简二次根式的方法求解即可．
本题主要考查了二次根式的化简方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
，
故答案为：．
根据同类二次根式的概念判断即可．
本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

11.【答案】或 

【解析】解：在中，，，
为斜边时，由勾股定理得：；
和为直角边长时，由勾股定理得：．
综上所述，的长度是或．
故答案是：或．
分两种情况：为斜边时；和为直角边长时，在直角三角形中，已知两直角边根据勾股定理可以求得的长度．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了斜边中线长是斜边长的一半的性质，进行分类讨论是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
由勾股定理得：，
，
点、分别是、的中点，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，根据矩形性质得出，，，求出、，根据三角形中位线求出即可．
本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出长．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，在的下方作，使得，连接，，

四边形是菱形，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
在的下方作，使得，连接，，利用证明≌，得，则点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理求出的值即可．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形，将一定两动问题转化为两定一动是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式

． 

【解析】先利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
 

15.【答案】解：一个三角形的三边长分别为、、，
，
，




． 

【解析】先根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算，最后合并同类项即可．
本题考查了三角形三边关系定理和二次根式的性质与化简，能求出是解此题的关键，注意：当时，，当时，．
 

16.【答案】解：，，
，
设，则，
，
，
，
，
． 

【解析】设，则，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理即可得到结论．
 

17.【答案】证明：．
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据矩形的性质可得，，利用即可证明结论．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
 

18.【答案】证明：，
，
点是的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行线的判定定理得到，推出，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：由图可得，
，，
故答案为：，；
以、、三条线段为边能构成直角三角形，
理由：，，，
，
以、、三条线段为边能构成直角三角形．
根据勾股定理，可以求得和的长；
根据勾股定理的逆定理可以判断以、、三条线段为边能否构成直角三角形．
本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，，求出，，，根据矩形的判定得出即可．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
 

21.【答案】解：，，，
，
，
，
；
，，
，
货车由处途经处到达处的总路程为：． 

【解析】首先利用勾股定理求出的长，再利用等积法求即可；
利用勾股定理求的长，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理的应用，运用等积法求高是解题的关键．
 

22.【答案】解：三角形周长为，两边长分别为和，
第三边的长是：；
面积为，
第三边上的高为． 

【解析】根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长；
根据三角形的高等于三角形的面积的倍除以底边即可求出第三边上的高．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接，，

、分别是的两条高，
，，
，
是的中点，
，，
，
为的中点，
；
解：，
，
点是的中点，，
，
由勾股定理得：． 

【解析】连接，根据直角三角形的中线得到，根据等腰三角形的性质证明即可；
根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

24.【答案】证明：点是的中点，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
解：由得：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
． 

【解析】证≌，得，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再证是等边三角形，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：；
，
，
，
，
，




，
的值为．
分子与分母同时乘，进行计算即可解答；
先进行分母有理化求出的值，然后再利用完全平方公式求出，最后代入式子进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，分母有理化，熟练掌握完全平方公式，以及平方差公式是解题的关键．
 

26.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：结论：是等腰三角形，
理由：≌，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形．
解：如图当点在线段上时，连接．

，，，
，
，
，，
，
在中，，
．
当点在线段的延长线上时，连接．

同法可证是的中位线，
，
在中，，
．
综上所述，的长为或． 

【解析】根据证明≌，即可解决问题；
只要证明，即可解决问题；
分两种情形解决问题如图当点在线段上时，连接当点在线段的延长线上时，连接由勾股定理分别求出即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．