2021-2022学年山西省太原市高二下学期期中考试数学试题含解析

2021~2022学年第二学期高二年级期中质量监测

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其字母标号填入下表相应位置）

1. 在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（    ）

A. 散点图和残差图 B. 残差图和列联表

C. 散点图和等高堆积条形图 D. 等高堆积条形图和列联表

【答案】D

【解析】

【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断

【详解】散点图是研究两个变量间的关系，

列联表是研究两个分类变量的，

残差图是体现预报变量与实际值间的差距，

等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，

故选：D

2. 若，则（    ）

A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 以上答案都不对

【答案】C

【解析】

【分析】根据组合数的性质求解．

【详解】因为，所以或，即或．

故选：C．

3. 从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（    ）

A. 10 B. 20 C. 25 D. 32

【答案】B

【解析】

【分析】用分步计数原理计算．

【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，

总方法为．

故选：B．

4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（    ）

A. 用独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误

B. 用独立性检验推断的结论可靠，但会犯随机性错误

C. 独立性检验的方法适用普查数据

D. 对于不同的小概率值，用独立性检验推断的结论相同

【答案】B

【解析】

【分析】根据独立性检验的思想判断．

【详解】A．独立性检验取决于样本，来确定是否有把握认为“两个分类变量有关系，样本不同，所得结果会有差异，不会犯错误的说法太绝对，A错；

B．用独立性检验推断的每个结论都会犯随机性错误，B正确

C．根据普查数据，我们可以通过相关的比率给出准确回答，不需要用独立性检验，依据小概率值推断两个分类变量的关联性，所以独立性检验的方法不适用普查数据，C错；

D．对于不同的小概率值，结论可能不相同，有时有把握，有时无把握，把握率不同，D错误．

故选：B．

5. 以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可；

【详解】解：根据散点图可知，图①③成正相关，图②④成负相关，所以，，，，

又图①②的散点图近似在一条直线上，所以图①②两变量的线性相关程度比较高，

图③④的散点图比较分散，故图③④两变量的线性相关程度比较低，即与比较大，与比较小，所以；

故选：A

6. 现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为（    ）

A. 31 B. 32 C. 63 D. 64

【答案】A

【解析】

【分析】五张人民币可以组成的不同币值的种数分一张，两张，三张，四张，五张共五种情况，将五种情况的种数加和即可.

【详解】根据题意，五张人民币可以组成的不同币值的种数为：

,

故选：A.

7. 以下说法错误的是（    ）

A. 用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强

B. 经验回归方程一定经过点

C. 用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好

D. 用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好

【答案】D

【解析】

【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；

对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；

对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；

对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.

故选：D

8. 已知随机变量X的期望，方差，随机变量，则下列结论正确的是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

【分析】根据期望与方差的性质计算可得；

【详解】解：因为随机变量X的期望，方差，又，

所以，；

故选：C

9. 除以8的余数为（    ）

A.  B. 1 C. 6 D. 7

【答案】D

【解析】

【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．

【详解】，

展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，

又，所以所求余数为7．

故选：D．

10. 某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（    ）

（附：，，）

A. 11 B. 79 C. 91 D. 159

【答案】B

【解析】

【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．

【详解】由题意，，

人数为．

故选：B．

11. 有编号为1，2，3，4，5的5支竹签，从中任取3支，设X表示这3支竹签的最小编号，则（    ）

A. 4.5 B. 2.5 C. 1.5 D. 0.45

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可能取得数值为：1，2，3，求出所对应的概率，再根据期望与方差公式计算可得；

【详解】解：由题意可能取得数值为：1，2，3，

所以，，

所以．

所以

故选：D．

12. 某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（    ）

A. 18 B. 48 C. 50 D. 54

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，利用分类加法计数原理求解即可.

【详解】根据题意，当体育课排在第四节时，有种排法；

当体育课不排在第四节，且数学课排在第一节或第二节时，有种；

当体育课不排在第四节，且数学课不排在第一节或第二节时，有种；

所以不同的排法共有：种，

故选：C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在题中横线上）

13. 已知随机变量，则______．

【答案】3

【解析】

【分析】若X~B(n，p)，则E(X)＝np．

【详解】∵，∴E(X)＝10×0.3＝3．

故答案为：3．

14. 已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．

【答案】0.81 cm

【解析】

【分析】根据线性回归方程的意义作答．

【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．

故答案为：0.81 cm．

15. 长期吸烟可能引发肺癌．据调查，某地市民大约有0.03%的人患肺癌，该地大约有0.1%的市民吸烟时间超过20年，这些人患肺癌率约为10%．现从吸烟时间不超过20年的市民中随机抽取1名市民，则他患肺癌的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据条件概率公式计算．

【详解】事件为患肺癌，，

事件为吸烟时间不超过20年，，则，

，

所以，

，

．

故答案为：．

16. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为______．

【答案】

【解析】

【分析】设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用条件概率的概率公式得到，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得；

【详解】解：设表示经过第次传球后，球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，则有，，所以

，即，所以，

又，所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，即，

当时；

故答案为：

三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （1）求的展开式的常数项；

（2）求的展开式中的x的系数．

【答案】（1）60；（2）－15.

【解析】

【分析】（1）求二项式的通项，令通项x的次数为零即可求解；

（2）的展开式中的x的系数为.

【详解】（1）的展开式的通项公式为，
令，解得，
则的展开式的常数项为；
（2）的展开式的通项公式为
则的展开式中的的系数为

18 已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．

（1）在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；

（2）求从乙袋取出白球的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；

（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．

【小问1详解】

在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；

【小问2详解】

从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，

所求概率为．

19. 为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．

（1）根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；

（2）依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．

附：；

【答案】（1）列联表见解析   

（2）可以认为新药对治疗该种疾病有效

【解析】

【分析】（1）依题意完成列联表；

（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；

【小问1详解】

解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：

【小问2详解】解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，

根据列联表中的数据，可得，

根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，

服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，

根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；

说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．

20. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有4个红球则中奖．

（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；

（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？

【答案】（1）   

（2）选择方案一

【解析】

【分析】（1）有放回地摸球，求出每次摸到红球概率为，然后由独立重复试验的概率公式计算概率；

（2）由概率公式求得方案二的概率，比较可得．

【小问1详解】

有放回地摸球，每次摸到红球的概率都是，

摸5次球，至少有4次是红球，含有恰好4次红球与5次都是红球，

概率为；

【小问2详解】

无放回地一次摸出5个球，则得奖概率为,

显然，

所以选择方案一中奖概率大．

21. 有一个摸球中奖游戏，在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个小球，其中有6个红球和4个白球，从中随机摸出5个球，至少有3个红球则中奖．

（1）若有放回地每次摸出1个球，连续摸5次，求中奖的概率；

（2）现有两种摸球方案，方案一：按（1）的方式摸球；方案二：无放回地一次摸出5个球．若小明要进行摸球游戏，请问他应该选择哪种方案？

【答案】（1）   

（2）方案二

【解析】

【分析】（1）由题意可知，一次摸出红球的概率为：，则连续摸5次中奖的情况包括3次红球，4次红球和5次红球，把三种情况的概率加和即可；

（2）求出方案二中奖的概率和方案一比较即可作出选择.

【小问1详解】

根据题意，每一次摸出红球的概率为：，

所以连续摸5次中奖的概率为：

；

【小问2详解】

若无放回地一次摸出5个球，则中奖的概率为：

,

因为，所以小明应该选择方案二.

说明：请同学们在（A）、（B）两个小题中任选一题作答．

22. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．

表1：

（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；

（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；

表2：

（3）根据，及表3数据，请用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果哪个更好？

表3：

参考公式：，．

【答案】（1）   

（2）   

（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．

【解析】

【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；

（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；

（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算残差平方和比较可得．

【小问1详解】

由题意，，

＝1.2，

，

所以线性回归方程为；

【小问2详解】

，则，记，即，

，，

，

，

所以．即；

【小问3详解】

按（1）可得：

按（2）可得：

，

显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．

23. 某高科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图．

表1：

（1）求年销售量y关于年投资额x的线性回归方程；

（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用作为年销售量y关于年投资额x的非线性回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；

表2：

（3）根据，及表3数据，请用决定系数比较（1）和（2）中回归方程的拟合效果哪个更好？

表3：

参考公式：，，．

【答案】（1）   

（2）   

（3）第二种非线性回归方程拟合效果更好．

【解析】

【分析】（1）求出，，根据公式计算出，得线性回归方程；

（2）求出，再求得系数，代入得非线性回归方程；

（3）根据（1）（2）回归方程分别求得，然后计算比较可得．

【小问1详解】

由题意，，

＝1.2，

，

所以线性回归方程为；

【小问2详解】

，则，记，即，

，，

，

，

所以．即；

【小问3详解】

按（1）可得：

按（2）可得：

，

显然，第二种非线性回归方程拟合效果更好．