2021-2022学年广西钦州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年广西钦州市第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．5名同学要在3天中各自选择1天休息，不同的方法种类为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分步计数原理计算出不同的方法种类.

【详解】由于每名同学都有种选法，根据分步计算原理可知，不同的方法种类为.

故选：B

【点睛】本小题主要考查分步计算原理，属于基础题.

2．设函数，则（       ）

A．-6 B．-3 C．3 D．6

【答案】C

【解析】根据瞬时变化率的求解方法求解即可.

【详解】解：根据导数的定义：

，

故选：C.

【点睛】本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.

3．下对于两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：，，，，则下列说法正确的是（       ）

①由样本数据得到的回归直线必经过样本点中心

②用来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好

③残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

④用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越弱；

A．①② B．①③④ C．①②③ D．①③

【答案】D

【分析】根据回归方程的基本特征，相关系数与线性关系的强弱，残差及决定系数与模型拟合效果的关系，对每一个命题逐项判断即可.

【详解】解：由题意得：

样本中心点在回归直线上，故①正确；

越大拟合效果越好，故②不正确；

残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故③正确；

用相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于，相关性越强，故④不正确．

故选：D

4．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，

即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，

则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=

故选B.

5．若展开式的各项系数和等于展开式的二项式系数之和，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令求得二项式的展开式的各项系数的和，再由解出即可.

【详解】设二项式的展开式的各项系数的和为，令可得；又设二项式系数之和为，

，，，．

故选：A．

6．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】记事件第一次取到的是合格高尔夫球，事件第二次取到不合格高尔夫球，由题意可得事件发生所包含的基本事件数，事件发生所包含的基本事件数，然后即可求出答案.

【详解】记事件第一次取到的是合格高尔夫球

事件第二次取到不合格高尔夫球

由题意可得事件发生所包含的基本事件数

事件发生所包含的基本事件数

所以

故选：B

【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.

7．已知随机变量，，则

A．0.16 B．0.32 C．0.34 D．0.68

【答案】C

【分析】先由对称性求出，再利用即得解.

【详解】解：关于对称，

故，

故选：C

【点睛】考查正态分布在给定区间的概率，基础题.

8．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据散点图据曲线形状判断．

【详解】，，

A中是常数，B中是增函数，C中是减函数，D中是减函数，

散点图所有点所在曲线的切线的斜率随的增大，而增大，而四个选项中，A斜率不变，CD的斜率随的增大而减小，只有B满足．

故选：B．

9．在的展开式中，的系数为（       ）．

A． B．5 C． D．10

【答案】C

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故选：C.

【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．

10．函数的零点个数为（       ）

A． B．或 C．或 D．或或

【答案】A

【分析】首先求导判断函数的单调性，最后结合零点存在定理判断函数零点个数.

【详解】因为函数，

所以，因为，

所以，

从而在R上单调递增，

又当时，，当时，，

由零点存在定理得：函数有且只有一个零点.

故选:A.

【点睛】函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

11．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为(　　)

A．240种 B．120种 C．96种 D．480种

【答案】A

【分析】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列，根据分步计数原理两个过程的结果数相乘即可得答案．

【详解】由题先把5本书的两本捆起来看作一个元素共有种可能，这一个元素和其他的三个元素在四个位置全排列共有种可能，所以不同的分法种数为种，故选A.

【点睛】本题考查排列组合与分步计数原理，属于一般题．

12．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时，，且g（2）=0，则不等式f（x）g（x）<0的解集是（       ）

A．（-2，0）∪（2，+∞） B．（-2，0）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（0，2） D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

【答案】A

【分析】构造函数，结合已知条件求得的奇偶性、单调区间，由此解不等式求得正确答案.

【详解】令，

由于分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

所以，

所以是上的奇函数，图象关于原点对称，.

当时，

所以在上递减，故在递减，

所以的解集为.

故选：A

二、填空题

13．如图，已知随机变量的分布列，则_____________.

【答案】0.25

【分析】先计算出a，再计算期望和方差即可.

【详解】由题意知，，则，，

所以．

故答案为：0.25.

14．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.

【答案】24

【解析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.

【详解】解：由题知，5名同学站成一排，

要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，

故有（种）不同的方法.

故答案为：24.

【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题.

15．若函数在区间内单调递增，则的取值范围__________.

【答案】

【分析】由题意得出导函数在上恒成立，即在上恒成立，求得即可得解.

【详解】在上恒成立，

所以在上恒成立，

当，，

所以，

故答案为：.

16．如图是一边长为单位：的正方形铁片，现沿虚线将铁片的四角截去四个边长均为单位：的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为 ___________.

【答案】2

【分析】由题意分析无盖方盒的底面是正方形，设边长为，则，，再利用求导法求解最值.

【详解】解：由题意得：

设无盖方盒的底面边长为，则

，则无盖方盒的容积为：，，得，

令，解得；令，解得

函数在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为 .

故答案为：2

三、解答题

17．已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；

（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.

【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；

（2）由（1）可知：，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，

，，故函数的最小值为.

【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

18．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；

(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可；

（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可.

【详解】(1)解：由题意得：

设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ；

(2)设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．

，，

，．

应聘者乙正确完成题数的分布列为

19．2021年4月22日，一则“清华大学要求从2019级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.

（1）请将上述列联表补充完整；

（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

附：

【答案】（1）列联表见解析；（2）有把握.

【分析】（1）根据题意分析数据，完成列联表；

（2）套公式计算，对照参数下结论即可.

【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为

所以喜欢游泳的学生人数为.

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

（2）因为

所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.

20．2021年春季某流感病毒爆发期间，某学校从2021年2月1日到2月5日患病人数见下表：

若在一定时间内，该学校患病人数y与天数x具有线性相关关系，已知线性回归方程恒过定点.

(1)求m的值和线性回归方程；

(2)预测该学校2月几日始“单日患病人数突破40人”.

参考公式：，，，为样本平均值.

【答案】(1)，

(2)该学校2月11日开始“单日患病人数突破40人”

【分析】（1）利用求得，然后根据回归直线方程的计算公式，计算出回归直线方程.

（2）根据回归直线方程进行预测.

【详解】(1)由题意，，，

∴，解得，

∵，，

所以.

∴，

所以线性回归方程为.

(2)令得，

∵x为正整数，∴.

∴该学校2月11日开始“单日患病人数突破40人”.

21．已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若，证明不等式在上成立.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）求出，由，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线线在处的切线方程；

（2）欲证只需证，即证在上成立，令，只需证明即可.

【详解】（1）由，得.

所以，且斜率，

故所求切线方程为，即；

（2）证明：由题欲证只需证，

即证在上成立，

令，则，令，

当时，递减；

当时，递增，

故，

∴当时，∴，

即得证.

【点睛】求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.

22．已知函数，．

Ⅰ讨论函数的单调区间；

Ⅱ若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围．

【答案】(1) 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是 (2)

【详解】分析：（1）求导，解不等式，得到增区间，解不等式，得到减区间；

（2）函数f（x）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f（x）≥bx﹣2⇔1+﹣≥b，构造函数g（x）=1+﹣，g（x）min即为所求的b的值

详解：

（1）在区间上， ，

当时， 恒成立， 在区间上单调递减；

当时，令得，

在区间上，，函数单调递减，

在区间上，，函数单调递增.

综上所述：当时， 的单调递减区间是，无单调递增区间；

当时，的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）因为函数在处取得极值，

所以，解得，经检验可知满足题意

由已知，即，

即对恒成立，

令，

则，

易得在上单调递减，在上单调递增，

所以，即.

点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;

（3）若恒成立，可转化为