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    2023届山西省太原市高三上学期期中数学试题含解析

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    2023届山西省太原市高三上学期期中数学试题含解析

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    这是一份2023届山西省太原市高三上学期期中数学试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    2023届山西省太原市高三上学期期中数学试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,则    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】解不等式,再求交集即可.

    【详解】得:,所以

    得:,所以

    所以.

    故选:C

    2.在复平面内,复数z满足,则    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】根据复数除法公式即可求解.

    【详解】

    故选:D

    3.已知点所在平面内,满,则点依次是的(    

    A.重心,外心 B.内心,外心 C.重心,内心 D.垂心,外心

    【答案】A

    【分析】中点为,进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线,的中线,进而得的重心,根据题意得点的外接圆圆心,进而可得答案.

    【详解】解:设中点为,因为

    所以,即

    因为有公共点

    所以,三点共线,即的中线

    同理可得的三条中线上,即为的重心;

    因为

    所以,点的外接圆圆心,即为的外心

    综上,点依次是的重心,外心.

    故选:A

    4.从200710241805分,我国首颗绕月人造卫星嫦娥一号成功发射以来,中国航天葆有稳步前进的力量,标志着中国人一步一步将上九天缆月的神话变为了现实,月球距离地球大约38万千米,有人说,在理想状态下,将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次,其厚度就可以超过月球与地球之间的距离,那么至少对折的次数是(    )(参考数据:

    A41 B42 C43 D44

    【答案】B

    【分析】由题知第次对折后纸张的厚度为毫米,再根据题意解不等式即可.

    【详解】解:由题知,第一次对折后纸张的厚度为毫米,

    第二次对折后纸张的厚度为毫米,

    第三次次对折后纸张的厚度为毫米,

    ……

    所以,第次对折后纸张的厚度为毫米,

    因为38万千米为毫米,

    所以,

    所以两边取以为底的对数得,即,解得

    所以,至少对折的次数是.

    故选:B

    5.已知,则    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】利用倍角公式和诱导公式,结合已知条件,求解即可.

    【详解】.

    故选:A.

    6.已知mn是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列结论正确的是(    

    A.若,则 B.若,则

    C.若,则 D.若,则

    【答案】C

    【分析】利用线面平行以及线面垂直的相关知识,逐一验证,可得答案.

    【详解】对于A,由,则设,当时,也是符合条件的,故A错误;

    对于B,由,则直线的位置是平行或异面,故B错误;

    对于C,由,则存在,由,则,故C正确;

    对于D,设,当时,且,也可推出,故D错误,

    故选:C

    7.已知函数,则下列结论正确的是(    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】由已知为偶函数,在上为单调递减函数,再根据即可得答案.

    【详解】解:由题知函数的定义域为

    所以,函数为偶函数,

    所以

    因为当时,

    所以,由指数函数单调性可知,上为单调递减函数,

    因为,函数上单调递增,

    所以

    又因为

    所以

    所以,由函数上为单调递减函数可得

    所以

    故选:D

    8.若曲线yx2mx1有公切线,则实数m=(    

    A B C1 D.-1

    【答案】A

    【分析】利用导数求出曲线的切线方程,再与曲线yx2mx1联立,结合判别式即可求解.

    【详解】,则

    曲线与切线相切于

    则切线方程为:

    因为切线与yx2mx1②相切,

    联立①②x2mx1=

    所以

    所以

    所以

    则有,解得

    故选:A

     

    二、多选题

    9.已知数列的前n项和,则下列结论正确的是(    

    A是等差数列 B

    C D有最大值

    【答案】AB

    【分析】的关系求出数列的通项,从而可判断AB,根据数列性质可判断C,根据前项和的函数性质可判断D.

    【详解】时,

    时,

    ,符合

    所以

    所以数列是等差数列,首项为,公差A正确;

    B正确;

    因为公差,所以数列是递减数列,所以C错误;

    易知当时,有最大值D错误.

    故选:AB

    10.已知,则下列结论正确的是(    

    A有最小值 B有最小值

    C D

    【答案】BD

    【分析】对于A,利用指数函数的单调性,可得答案;

    对于B,利用基本不等式,可得答案;

    对于C,利用三角函数的辅助角公式,通过作差,结合正弦函数的单调性,可得答案;

    对于D,整理不等式,构造函数,利用函数单调性,可得答案.

    【详解】,则

    对于A,由,则,故A错误;

    对于B,当且仅当,即时,等号成立,则的最小值为,故B正确;

    对于C,令,当,故C错误;

    对于D,由,则令,易知该函数在上单调递增,又因为,即,则不等式成立,故D正确.

    故选:BD.

    11.已知分别是内角的对边,,且,则下列结论正确的是(    

    A B

    C D

    【答案】BC

    【分析】由题知,进而得,再结合题意得,进而令,将问题转化为,再结合二次函数性质求解即可.

    【详解】解:因为

    所以

    所以

    因为,且

    因为

    所以,故A选项错误;、

    所以

    所以,,即,故B选项正确;

    所以

    因为

    所以

    所以,

    所以

    因为,所以

    所以,即

    所以

    所以,

    因为

    所以,即,故C正确,D错误.

    故选:BC

    12.已知四棱锥SABCD的底面是矩形,,则下列结论正确的是(    

    A.平面SAD平面SAB

    BBC平面SAB

    C.直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为

    D.四棱锥SABCD外接球的表面积为13

    【答案】ACD

    【分析】由面面垂直的判定定理可判断A,由线面垂直的性质可判断B,由线面角的几何求法可判断C,由几何体外接球的性质可判断D.

    【详解】如图所示:

    因为是矩形,所以

    又因为平面

    所以平面,而平面SAB

    所以平面SAD平面SABA正确;

    因为

    由余弦定理可知:

    ,所以所成夹角的余弦值为

    所以BC与平面SAB不垂直,B错误;

    ,垂足为,连接

    因为平面平面

    所以,而平面

    所以平面平面,所以

    ,所以

    ,则

    Rt中,

    所以

    即直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为C正确;

    作矩形的中心,连接

    设外接球球心为,作平面ABCD,且

    ,垂足为,易知,连接

    易知

    因为

    ①②解得:

    所以四棱锥SABCD外接球的表面积D正确.

    故选:ACD

     

    三、填空题

    13.已知,若,则实数________

    【答案】

    【分析】根据题意得,再根据向量垂直的坐标表示求解即可.

    【详解】解:因为

    所以

    因为

    所以,即,解得

    所以,实数.

    故答案为:

    14.设等比数列的前n项和为,且,则________

    【答案】

    【分析】由题知当时,,进而结合已知得公比为,再求得即可求解.

    【详解】解:因为

    所以,当时,

    所以,即

    所以,等比数列的公比为

    所以,当时,

    所以,解得

    所以

     

    故答案为:

    15.已知函数的最小正周期为T,若,且当时,取得最小值1,则________

    【答案】##

    【分析】由题知,进而得,再计算即可.

    【详解】解:因为函数)的最小正周期为T,若

    所以,解得

    因为时,取得最小值1

    所以,

    所以,

    因为

    所以,,即

    所以

    故答案为:

    16.已知定义在上的函数满足,且的导函数,当时,,则不等式的解集为________

    【答案】

    【分析】,进而结合题意得函数上的偶函数,在上单调递增,在上单调递减,,进而根据单调性和奇偶性解不等式即可.

    【详解】解:令,则

    因为,即

    所以,即函数为偶函数,

    因为,当时,

    所以,当时,,函数为单调递减函数,

    因为函数上的偶函数

    所以,函数上单调递增,在上单调递减,

    因为,所以

    因为可变形为,即

    因为函数上的偶函数,在上单调递增,在上单调递减,

    所以,,即

    所以,不等式的解集为

    故答案为:

     

    四、解答题

    17.已知集合,且

    (1)若命题为真命题,求实数a的取值范围;

    (2),求实数a的取值范围.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)由题知,再根据题意,结合求解即可;

    2)由题知,进而结合题意得,再解不等式即可得答案.

    【详解】1)解:因为

    所以,即

    因为,且

    所以,,解得

    因为命题为真命题,

    所以

    所以,解得

    所以,实数a的取值范围是.

    2)解:由(1)知

    所以

    因为

    所以,,解得

    所以,实数a的取值范围是

    18.已知是偶函数.

    (1)求实数k的值;

    (2)求不等式的解集.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)利用偶函数的定义,建立方程,结合对数运算,可得答案;

    2)由(1)所得函数解析式,整理不等式,利用一元二次不等式的解法,解得指数函数性质,可得答案.

    【详解】1)由题意,,则,解得.

    2)由(1)可知,则,整理为

    ,解得,即.

    19.已知函数

    (1)的单调递增区间;

    (2)分别为内角的对边,且的中线,求面积的最大值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)化简可得,进一步可求得的单调递增区间;

    2)由题意先求出角,利用已知条件结合向量知识,可得,根据基本不等式可求得的最大值,进而得到面积的最大值.

    【详解】1

    解得

    的单调递增区间为

    2)因为,可得

    因为,所以

    可得,

    所以

    所以

    ,当且仅当时取到等号,

    所以

    面积的最大值为.

    20.已知数列中,

    (1)求数列的通项公式;

    (2),求数列的前n项和

    【答案】(1)

    (2).

     

    【分析】1)对递推公式进行配凑,构造等比数列,再根据等比数列的通项公式,写出即可;

    2)根据(1)中所求,解得,再利用错位相减法即可求得结果.

    【详解】1)因为,即

    即数列是首项为公比为的等比数列,

    ,即.

    2,则

    两式作差可得:

    ,

    .

    即数列的前n项和.

    21.如图,PO是三棱锥PABC的高,点DPB的中点,

    (1)从条件、条件这两个条件中选择一个条件作为已知,证明另一个条件成立;

    (2)OB平分PB5PO3,在(1)的条件下,求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值.

    条件OD//平面PAC;条件

    【答案】(1)证明见解析;

    (2).

     

    【分析】1)根据线面平行的判定或性质,选择不同的条件,证明即可;

    2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,求得点的坐标以及两平面的法向量,结合平面夹角的余弦值和法向量夹角余弦值之间的关系,即可求得结果.

    【详解】1)选择OD//平面PAC,延长于点,连接,如下所示:

    因为//,面,故//

    中,因为点的中点,故可得的中点;

    ,故可得;

    因为,则

    ,则

    选择,取中点为,连接如下所示:

    因为,则

    ,故,则

    中,又中点,故可得,又

    //,故//

    中,因为分别为中点,故//

    ,故//

    ,故面//

    ,故可得//.

    2)选择OD//平面PAC,由(1)所证可得:

    选择,由(1)所证可得:OD//平面PAC

    故不论(1)中选择哪个条件,都会有,且OD//平面PAC.

    连接,取中点为,连接

    为坐标原点,过作与平行的直线为轴,以分别为轴,

    建立如图所示空间直角坐标系:

    中,

    ,易得

    中,

    设平面的法向量为

    ,即

    解得,取,则,则

    设平面的法向量为

    ,即

    解得,取,则

    设平面PAB与平面PAC的夹角为

    ,即平面PAB与平面PAC的夹角的余弦值为.

    22.已知函数是非零常数.

    (1)若函数上是减函数,求的取值范围;

    (2),且满足,证明:当时,函数上恰有两个极值点.

    【答案】(1)

    (2)证明见解析.

     

    【分析】1)由题知上恒成立,再分两种情况讨论求解即可;

    2)根据题意令,进而分三种情况讨论函数的单调性,进而得,其中,再根据当时,直线的图像在上有两个交点并结合极值点的概念即可证明.

    【详解】1)解:

    因为函数上是减函数,

    所以,上恒成立,

    时,上恒成立,满足题意;

    时,当时,由,故,与上恒成立矛盾,

    所以,的取值范围为

    2)解:令

    所以,,则

    所以,当时,,函数上单调递增,

    时,,故函数上单调递减,

    因为

    所以,存在,使得,即

    所以,当时,上单调递增;

    时,上单调递减;

    时,恒成立,

    所以,上单调递增,

    因为

    所以,存在,使得,即

    所以,当时,单调递减,

    时,单调递增,

    因为

    所以,上单调递减,

    综上,函数上单调递增,在上单调递减,且

    因为,即

    所以,

    所以,,其中

    所以,当时,直线的图像在上有两个交点,

    所以,上有两个变号零点,即上有两个极值点.

    所以,取,则,当时,上有两个极值点.

    【点睛】关键点点睛:本题第二问解题的关键在于构造函数,进而结合三角函数在的符号,分三种情况讨论函数的单调性,进而的函数值得范围,其中,再结合函数零点与极值点的概念即可求解.

     

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