2022-2023学年山西省太原市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山西省太原市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．某班有25名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（    ）

A．50 B．100 C．300 D．600

【答案】D

【分析】利用排列及排列数公式即可求解.

【详解】由题意可知，他们发出的微信总数是.

故选：D.

2．某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力（    ）

A．平均数 B．方差 C．独立性检验 D．回归直线方程

【答案】C

【分析】根据在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，求出的值判断.

【详解】解：由在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，

得，

所以有的把握认为“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”有关，

故利用独立性检验方法最有说服力，

故：C

3．的展开式中的系数为（    ）

A．15 B．12 C．6 D．1

【答案】A

【分析】利用二项展开式的通项公式，确定出是第几项，进而确定出这一项的系数．

【详解】展开式的通项公式为，

令，解得，故展开式中的系数为 .

故选∶A

4．在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同的排班方法有（    ）

A．12种 B．24种 C．64种 D．81种

【答案】C

【分析】分析每天排班方法数，再由分步计数原理求解即可

【详解】根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法，

同理第二天和第三天也有4种排班方法，

根据分步计数原理可知，不同的排班方法有种，

故选：C

5．设随机变量，若，则等于（    ）

A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8

【答案】D

【分析】根据正态曲线的对称性可得，再根据概率的性质可得结果.

【详解】因为正态曲线关于对称，且，

所以，

所以.

故选：D

【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，考查了概率的性质，属于基础题.

6．根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设事件表示吹东风，事件表示下雨，得到，，结合，即可求解．

【详解】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨，

则，，，

所以在吹东风的条件下下雨的概率为．

故选：D．

7．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则（   ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】设，，则由，，求出，，由此能求出．

【详解】设，，

由题意得，

解得，，

.

故选：B.

8．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

【答案】B

【分析】利用二项式定理化简得，展开可得被5除得的余数为1，由此可求出符合条件的的值.

【详解】

，

被5除得的余数为1，选项中的数被5除得的余数为1的只有2021.

故选：B

二、多选题

9．对于样本相关系数，下列说法正确的是（    ）

A．的取值范围是

B．越大，相关程度越弱

C．越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越强

D．越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强

【答案】AD

【分析】根据已知条件，结合相关系数的定义，即可依次求解.

【详解】对于样本相关系数，取值范围是，越大，越接近于1，成对样本数据的线性相关程度越强；越小，越接近于0，成对样本数据的线性相关程度越弱.

故选：AD

10．某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（    ）

A．所有不同分派方案共种

B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种

D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

【答案】BCD

【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D

【详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误；

选项B：若每家企业至少分派1名医生，

先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配.

则所有不同分派方案共（种）.判断正确；

选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，

则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，

则所有不同分派方案共（种）.判断正确；

选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况,

则不同分派方案共（种）.判断正确.

故选：BCD

11．人民日报智慧媒体研究院在2020智慧媒体高峰论坛上发布重磅智能产品—人民日报创作大脑，在AI算法的驱动下，无论是图文编辑､视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a个､图片b张，从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A，“视频甲入选”为事件B，“图片乙入选”为事件C，则下列判断中正确的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】BC

【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，结合选项，逐项判定，即可求解.

【详解】由相互独立事件的概率的乘法计算公式，可得A错误，B正确；

事件包含“视频甲未入选，图片乙入选”、“视频甲入选，图片乙未入选”、“视频甲､图片乙都未入选”三种情况，所以，则，所以C正确；

由题可知，，，

因为a，，，所以，即，故D错误.

故选:BC.

12．第22届世界杯足球赛于2022年11月20日到12月18日在卡塔尔举行.世界杯足球赛的第一阶段是分组循环赛，每组四支队伍，每两支队伍比赛一场，比赛双方若有胜负，则胜方得3分，负方得0分；若战平，则双方各得1分.已知某小组甲､乙､丙､丁四支队伍小组赛结束后，甲队积7分，乙队积6分，丙队积4分，则（    ）

A．甲､丁两队比赛，甲队胜 B．丁队至少积1分

C．乙､丙两队比赛，丙队负 D．甲､丙两队比赛，双方战平

【答案】ACD

【分析】分析得到甲胜乙和丁，平丙，乙胜丙和丁，丙胜丁，平甲，丁全负，对比选项得到答案.

【详解】甲队积7分，胜两场平一场；

乙队积6分，胜两场负一场，负的一场一定是负给甲的，

乙队胜了丙､丁两队，对.

丙队积了4分，胜平负各一场，负是输给乙，

当甲､丙平时，丙胜丁，甲胜丁；当丙､丁平时，丙胜甲,不可能.

故甲丙平，甲胜丁，AD对，丁队全负，B错误.

故选：ACD.

三、填空题

13．某市的有线电视可以接收中央台12个频道，本地台8个频道和其他省市40个频道的节目.若有3个频道正在转播同一个节目，其余频道正在播放互不相同的节目，则一台电视可以选看的不同节目共有______个.

【答案】58

【分析】直接计算即可.

【详解】由题意可得该市的有线电视可接收12+8+40=60个频道，而其中3个频道播放1个节目，其余57个频道互不相同，则可选看57+1=58个节目.

故答案为：58

14．已知回归方程，而试验中的一组数据是，，，则其残差平方和是______.

【答案】0.03

【分析】利用残差的定义求解，求得的残差平方后求和即可.

【详解】残差，当时，，当时，，当时，，

残差平方和为

故答案为：0.03.

15．某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人.若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.则任选一名射手通过选拔进入比赛的概率是______.

【答案】0.62/

【分析】分别求出选中一级射手．二级射手、三级射手并通过选拔进入比赛的概率，再求和即可

【详解】射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人，若一、二、三级射手通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.7，0.4.

则任选一名射手能够通过选拔进入比赛的概率.

故答案为：0.62

16．已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为______.

【答案】

【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序有种，再分别确定这三种号码卡片出现的位置(注意平均分组问题)，最后让第四种颜色出现有一种方法,相乘可得，最后根据古典概型求概率即可.

【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有种不同的取法.

恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3, 1, 1或者2, 2, 1,

三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法有 种，

三种号码分别出现2，2，1 且6次时停止的取法有 种，

由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有种取法，

所以恰好取6次卡片时停止的概率为: ，

故答案为：

【点睛】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组问题，属于难题.

四、解答题

17．在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.

(1)求的值；

(2)若展开式中的常数项为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二项式系数的定义及组合数计算即可；

（2）设二项式的展开式通项，待定系数计算即可.

【详解】（1）因为前三项的二项式系数之和等于79，所以，

解得或.因为，所以.

（2）设的通项为，

所以当时，，

此时，常数项为，解得.

18．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：

(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值.

附：.

【答案】(1)能

(2)

【分析】（1）计算出，与的临界值比较，得出结论；

（2）根据条件概率的计算公式，利用样本数据，估计的值.

【详解】（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关，据表中数据计算得

，

根据的独立性检验，我们推断不成立，认为数学成绩与语文成绩有关.

（2）表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，利用样本数据，则有，，

所以，

则估计的值为.

19．某种人脸识别方法，采用了视频分块聚类的自动识别系统.规定：某区域内的个点的深度的均值为，标准差为，深度的点视为孤立点.下表给出某区域内8个点的数据：

(1)根据以上数据，计算的值；

(2)判断表中各点是否为孤立点.

【答案】(1)

(2)都不是

【分析】（1）直接根据公式计算和即可；

（2）计算出，，从而判断出各点不是孤立的点.

【详解】（1），

.

（2），，

则，

因为12，13，14，15，16，18，20均属于，所以各点都不是孤立点.

20．在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前三道题，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第四道题，答对和答错的概率均为.

(1)求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率；

(2)设该同学在本次考试中，填空题的总得分为，求的分布列及均值.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）记该同学前三道题答对道为事件，第四道答对为事件，由 求解；

（2）由的取值可能为0，5，10，15，20，分别求得其概率，列出分布列，再求均值.

【详解】（1）解：记该同学前三道题答对道为事件，第四道答对为事件，

，

，

，∴.

（2）的取值可能为0，5，10，15，20，

，

，

，

，

.

则的分布列为：

.

该同学填空题得分的均值是14.5分.

21．在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学对于前两道题，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第三道题，答对和答错的概率均为；对于最后一道题，答对的概率为，答错的概率为.

(1)求该同学在本次考试中填空题得分不低于15分的概率；

(2)设该同学在本次考试中，填空题的总得分为，求的分布列及均值.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，12.5

【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式求解即可．

（2）先写出X的所有可能取值，再求出相应的概率，列出分布列即可．

【详解】（1）记该同学前两道题答对道为事件，第三道答对为事件，第四道答对为事件，

则

.

（2）的取值可能为0，5，10，15，20，

，

，

，

，

，

则的分布列为：

.

该同学填空题得分的均值是12.5分.

22．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省5所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），收集数据如下表所示.

(1)利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程；

(2)该小组又利用上表数据建立了关于的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标，纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.请比较前者与后者的斜率与的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用最小二乘法公式计算得，，继而得出，即可；

（2）直接利用最小二乘法公式计算得，比较即可.

【详解】（1）由题意得，，

，

又，

∴，，

所以关于的线性回归方程为.

（2）设前者和后者的斜率分别为，

由，

得，

由（1）知，∴.

23．随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省15所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），经计算得：，，，.

(1)利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程；

(2)该小组又利用收集的数据建立了关于的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标，纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.

①比较前者与后者的斜率与的大小；

②求这两条直线公共点的坐标.

附：关于的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；

相关系数：.

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】（1）根据公式直接计算可得回归方程；

（2）利用两个斜率与相关系数的关系可判断斜率大小关系，根据回归直线过样本中心可得公共点坐标.

【详解】（1），，，，

故回归方程为.

（2）设前者和后者的斜率分别为，

，

，即

①显然有，故，即前者斜率小于后者.

②注意到，两直线都过，且，故公共点仅有.