2021-2022学年山西省太原市外国语学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山西省太原市外国语学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由交集的概念即可得出答案.

【详解】，

故选：B.

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先判断能否推出，再判断能否推出，由此确定正确选项.

【详解】当时，，，所以，

又能推出，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

3．已知，且的图象如图所示，则等于（    ）

A．10 B．8 C．6 D．4

【答案】C

【分析】根据函数图象经过的点求得，从而求得.

【详解】函数的图象经过，所以，解得，

故，

因此.

故选：C

4．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】写出等腰三角形的周长的关系式，改写成关于的函数，根据三角形的三边关系求出自变量的范围

【详解】由得：，

又由，

可得，

∴，

又，

∴，

故选：B.

5．已知，则的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数、指数函数的知识确定正确选项.

【详解】设，则函数均为上的增函数

由，可知，

又，而，故，

故.

故选：D

6．某工厂P接到一份订单，清点库存后发现，想要完成该订单需购进原材料M950件.P购进的主要渠道是从批发市场购买.已知按以下规则出售：若购买件数不足500，则单价为200元；若购买件数达到500但不足1000，则单价为190元，若购买件数达到1000，则单价为180元.根据以上信息，为完成该订单，在购买至少需要花费（    ）

A．180000元 B．180500元 C．185000元 D．190000元

【答案】A

【分析】由购买的件数与相应的花费的关系得出的解析式，根据单调性得出最值.

【详解】设在购买的件数为，相应的花费为（单位：元），由题意知，为完成订单需满足，故，显然在及两个集合内，都是随着的增大而增大的，因此函数的最小值只可能是或，而，为完成该订单，在购买至少需要花费180000元.

故选：A

7．若幂函数的图像经过点，则函数的最小值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】B

【分析】根据题意求出幂函数的解析式得到，进而求出，换元法即可求出函数的最值.

【详解】设函数，由题意可知：，故，

于是，

令，则：，且，

故

易知函数在上单调递增，

因此当即时，函数取得最小值3，

故选：B.

8．单利和复利是银行常用的两种计息方式：如果按单利计算，则本金不会发生任何变化；如果按复利计算，则前一期的利息和本金可以加在一起算作下一期的本金.已知银行甲与银行乙定期储蓄的年利率分别是和.某同学有压岁钱1000元，现计划按某种计息方式存入银行甲或银行乙，则存满5年后，利息的最大值与最小值的差是（    ）

（参考数据：）

A．元 B．15元 C．16元 D．元

【答案】D

【分析】根据单利和复利的计算方法求解即可.

【详解】不同的选择方案共4种：

（1）选择单利，存人银行甲，则利息为元，

（2）选择复利，存人银行甲，则利息为元，

（3）选择单利，存人银行乙，则利息为元，

（4）选择复利，存人银行乙，则利息为元，

其中方案（4）的利息最大，方案（1）的利息最小，

差值为（元）.

故选：D.

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】CD

【分析】根据不等式的性质解决.

【详解】对于A ,时不成立，故A错误；

对于B ,则，因此，于是，故B错误；

对于C，由知，

故，即，故C正确.

对于D ，则，所以，故D正确.

故选：CD

10．下列命题中，正确的是（    ）

A．函数的最小值为2

B．若，则的最大值为

C．若，则的最小值为2

D．若正实数满足，则的最小值为9

【答案】ABD

【分析】对于A，由于且，由基本不等式可得，当时取“”，从而即可判断；

对于B，由于，所以，所以，由基本不等式的性质求解即可；

对于C，由于，所以，当时取“”，即可判断为错误；

对于D，由于，所以，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：对于，因为且，所以，当且仅当，即时取“”，故正确；

对于，因为，所以，

则，

当且仅当即时取“正确；

对于，因为，所以，当且仅当即时取“”，显然“”不可能成立，C错误；

对于，因为均为正数，且，

所以，当且仅当即时取“正确.

故选：ABD.

11．若函数在其定义域内是奇函数或偶函数，则称具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BCD

【分析】选项A，因为定义域不关于原点对称，所以很容易识别；选项B、C，先看看函数定义域是否关于原点对称，然后再求解与的关系，选项D，可以根据图像来识别.

【详解】选项A，令，则，解得.

所以函数的定义域是，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；

选项B，为使函数的分子有意义，，于是恒成立，

故，

因为，

故是奇函数；

选项C，函数的定义域是，，

，

故为奇函数；

选项D，画出的图象，如图，图象关于y轴对称，

故为偶函数.

故选：BCD．

12．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部正在研究如何定价.进一步调研了解到销售单价与日均销售量的关系如表：

已知该经营部每天的房租，人工工资等固定成本为300元，每桶水的进价是5元，销售单价必须是整数.根据以上信息，下列说法正确的是（    ）A．为使该经营部盈利，每桶水的售价不应低于7元

B．为使该经营部每天获得的利润不少于100元，每桶水的售价不应低于8元

C．为使该经营部获得的利润最大，每桶水的售价应该定为12元或13元

D．通过合理定价，该经营部每日获得的利润可达800元以上

【答案】ACD

【分析】根据题意，列出公司日利润为，利用二次函数的性质，结合实际情况，逐个选项进行判断即可求解.

【详解】根据表格可知：销售单价每增加1元，日均销售量就减少20桶.

设每桶水的价格为元，公司日利润为元，

则，

显然，二次函数在时单调递增，

当每桶水定价低于7元，即时，有

故，于A是正确，

当每桶水定价为7元，即时，，故错误；

是的对称轴，距离最近的整数是4和5，此时每桶水的售价是12元或13元，故正确.

由知D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．已知集合，若，则实数值为___________.

【答案】-1

【分析】由题意分析元素与集合的关系，分别讨论和再根据元素互异性排除从而求得值.

【详解】由题意可知或，当时，.与互异性矛盾，当时，符合题意（舍）.

故答案为：-1.

14．命题“有的正整数，它的算术平方根不是有理数”的否定是___________.

【答案】所有正整数的算术平方根都是有理数

【分析】依据特称命题的否定去完成该命题的否定.

【详解】原命题为存在量词命题，等价于“存在一个正整数，其算术平方根不是有理数”

故其否定为“对所有的正整数，其算术平方根都是有理数”

另外，也可以采用符号语言表达，原命题的充要条件是“”

故其否定形式为“”

故答案为：对所有的正整数，其算术平方根都是有理数

15．高斯，德国著名数学家，物理学家和天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子"之美称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：，当时，函数的值域为___________.

【答案】

【分析】根据定义域，求得的范围，根据所给定义，逐步分析，即可得答案.

【详解】由，则，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，.

所以函数值域为.

故答案为：

16．已知函数．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．

【答案】

【分析】由题意是上的奇函数，也是上的增函数．由函数的奇偶性将不等式化为，再由函数的单调性变形为，分离参数为，令，，求得的最大值，即可得结论．

【详解】因为，所以是上的奇函数，

因为均是上的增函数，所以是上的增函数，

因为，

所以，即

所以，

由知，故，

令，

设，

由，得，，

则，即，

所以在上单调递增，

当时，取得最大值6，

故．

故答案为：．

四、解答题

17．计算：

(1)计算：；

(2)化简：（其中）.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据根式、指数运算求得正确答案.

（2）根据根式、指数运算求得正确答案.

【详解】（1）原式.

（2）原式

.

18．已知函数的值域为的定义域为.

(1)求集合和；

(2)已知“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】根据函数的单调性求出 的值域，根据平方根和分母的意义求出 的定义域；

根据“充分不必要”的定义可得A是B的真子集，据此推算出m的取值范围.

【详解】（1）易知在上单调递减，在上单调递增.

故时取得最小值.

又，

故时取得最大值3，

于是集合，

为使有意义，需，

得或，

所以集合 ；

（2）已知“”是“”的充分不必要条件，

所以集合是集合的真子集，

于是或，

即或，

故的取值范围是或；

综上，，，的取值范围是或.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)根据定义，判断并证明函数在区间上的单调性.

【答案】(1)

(2)函数在上是单调增函数，证明见解析

【分析】（1）由在R上为奇函数，则，联立已知列方程组可得a、b、c的值，可得结果.

（2）由单调性的定义证明，任取、作差、变形、断号、写结论可证得结果.

【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，

则，则，

又由，得 解得

,满足函数为奇函数，

故.

（2）函数在上是单调增函数，

证明：任取，

则

由，知，

故有，

因此函数在上为增函数.

20．已知函数与分别是定义在上的偶函数与奇函数，且对于，都有成立.

(1)求函数的解析式；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出，根据函数的奇偶性化简后，与已知联立即可得到；

（2）整理可得.令，换元得，解出的范围，即可解出.

【详解】（1）①

所以，

又是偶函数，是奇函数，

故②

得，.

（2）由（1）知，，即，

整理得，.

令，则，则有，

解得，即，即，

解得，所以原不等式的解集为.

21．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税按照新的标准执行（简称“税改”）.税改后个税税额根据应纳税所得额､税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额综合所得收入基本减除费用专项扣除数等多种扣除数的总和.其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元.税率与速算扣除数见表1.

表1

(1)小王从2019年1月1日人职，月收入预估为6000~10000元（含边界值），且每年专项扣除数等多种扣除数的总和为12000，写出他全年缴纳的个税（单位：元）与月收入（单位：元）的函数关系式；

(2)2019年税改前的个税计算方法与税改后的新方法相比，主要有三个方面的差异：第一､税改前的个税起征点（免征额）为每年42000元；二､税率表前4级的各级“全年应纳税所得额所在区间”与“各级速算扣除数”不同（见表2）；三､税改前没有“专项扣除”等各种扣除项目的设置.小李2018年及2019年每月收入均为10000元，且2019年全年专项扣除数等多种扣除数的总和为20000，则2019年税改后，他每年缴纳的个税比税改前增加了还是减少了？具体差量是多少？

表2

【答案】(1)

(2)税改后，小李每年缴纳的个税比税改前减少了，差量是7460元

【分析】（1）利用分段函数去写出他全年缴纳的个税与月收入的函数关系式；

（2）分别计算出小李税改前后缴纳的个税，比较后即可得到税改后，小李每年缴纳的个税比税改前减少了，差量是7460元

【详解】（1）由题意知，

小王每年的应纳税所得额为，

由题意可知，当即时，

他缴纳个税的最高级别为1级，

当，即时，

他缴纳个税的最高级别为2级，

于是

整理得

（2）根据题意，税改后，小李全年的应纳税所得额为，

对应个税税率的最高级别为2级，故税额为，

而税改前，小李全年的应纳税所得额为

对应个税税率的最高级别为3级，故税额为，

而，

故税改后，小李每年缴纳的个税比税改前减少了，差量是7460元.

22．已知二次函数.

(1)若关于的不等式的解集为，解关于的不等式；

(2)若不等式对恒成立，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）可知且方程的解为或，后可由韦达定理知关系，继而可得答案;

（2）由对恒成立，可得且，继而可得

，后分和两种情况讨论得答案.

【详解】（1）因为的解集为，

得且方程的解为或，则由韦达定理有：

.故.

故，又，从而，

解得.

（2）因为，即恒成立，

则.

则.①当时，，则；

②当时，

当且仅当，即时取等号.

故的最大值为.