2021-2022学年山西省大同市高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山西省大同市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在“3+1+2”模式的新高考方案中，“3”是指语文、数学、外语三科为必考科目，“1”指在物理和历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理中任选两科，某学生根据自己实际情况确认了要选生物，那么此同学可能的选课方式共有（       ）

A．2种 B．4种 C．6种 D．12种

【答案】C

【分析】利用分步乘法计数原理，列式计算作答.

【详解】计算可能的选课方式种数需2步：先从物理和历史中任选一门有2种方法，再从化学、政治、地理中任选一门有3种方法，

由分步乘法计数原理得：，

所以此同学可能的选课方式共有6种.

故选：C

2．已知随机变量服从正态分布．若，则等于（       ）

A．0.18 B．0.32 C．0.68 D．0.82

【答案】B

【分析】结合正态分布的对称性求得正确答案.

【详解】依题意随机变量服从正态分布，，，

所以.

故选：B

3．某地有四个信箱，现有三封信需要邮寄出去，所有邮寄方式一共有（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分步乘法计数原理计算出正确答案.

【详解】每封信都有钟选择，所以邮寄方式一共有种.

故选：D

4．2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，赢得了全球观众的好评．某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数有（       ）

A．24 B．48 C．144 D．240

【答案】C

【分析】结合捆绑法、插空法来求得不同的放置方式种数.

【详解】将“立春”和“春分”两块展板捆绑，与“雨水”、 “谷雨”一起排列，然后将“清明”与“惊蛰”两块展板插空，

所以不同的放置方式种数有种.

故选：C

5．袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（       ）

A．84种 B．504种 C．729种 D．39种

【答案】A

【分析】相同元素分组可以采用“隔板法”求解.

【详解】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，

即将个球分成了份：

个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份，

即：种.

故选：A.

6．已知箱子里面有6个大小形状完全相同的球，其中有4个白球，2个黑球，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件求得所求概率.

【详解】在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为.

故选：B

7．某次数学小测一共7道题，其中选择题4道，填空题3道，从中任意选3道题．下列事件中概率等于的是（       ）

A．有1道或2道填空题 B．有2道或3道填空题

C．至少有1道填空题 D．恰有2道填空题

【答案】A

【分析】利用古典概型的概率公式逐一计算即可判断

【详解】对于A，，故A正确

对于B，，故B错误

对于C，，故C错误

对于D，，故D错误

故选：A

8．已知随机变量X的分布列如下：

则的值是（       ）A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得，然后，再求得.

【详解】由解得，

所以，

.

故选：C

9．在1，2，3，4，5，6这六个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为10的三位数共有（       ）

A．18个 B．21个 C．24个 D．27个

【答案】D

【分析】根据和为“”进行分类讨论，由此求得正确答案.

【详解】和为包括：，

所以各个数字之和为10的三位数共有个.

故选：D

10．展开式中系数为（       ）

A．5 B．35 C．－5 D．－35

【答案】A

【分析】结合二项式展开式的知识求得正确答案.

【详解】展开式中系数为：.

故选：A

11．某高二年级在安排自习辅导时，将5位不同学科的老师分配到3个不同班级进行学科辅导，每个班级至少一位老师，则所有不同分配方案的种数为（       ）

A．60 B．150 C．180 D．240

【答案】B

【分析】按照先分组，再排序的方法求得正确答案.

【详解】位老师可按或进行分组，再安排给个班级，

所以不同分配方案的种数为：种.

故选：B

12．（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】结合导数以及二项式展开式的知识求得正确答案.

【详解】，

两边求导得，

令得，

再令得：

.

故选：D

二、填空题

13．已知随机变量，则______．

【答案】

【分析】利用二项分布的概率公式结合互斥事件的概率列式计算作答.

【详解】随机变量，则有，

所以，.

故答案为：

14．若，则______．

【答案】2或3

【分析】结合组合数的性质来求得的值.

【详解】由于，

所以或，

解得或.

故答案为：2或3

15．展开式中有理项共______项．

【答案】3

【分析】求出二项式展开式的通项公式，再分析通项公式中x的幂指数为整数的项即可作答.

【详解】展开式的通项公式为：，

当时，为整数，对应的项为有理项，因此，展开式中的有理项是，

所以展开式中有理项共有3项.

故答案为：3

16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱100件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．记10件产品中恰有2件不合格品的概率为，则取最大值时，______．

【答案】

【分析】结合独立重复试验概率计算公式列式，利用导数求得正确答案.

【详解】依题意，

，

由于，所以在区间递增；

在区间递减，

所以取最大值时，.

故答案为：

三、解答题

17．已知的展开式中，第一项的系数与常数项之比为．

(1)求n的值；

(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和．

【答案】(1)4

(2)所有项的系数和为，二项式系数和为

【分析】（1）结合二项式展开式的通项公式以及已知条件列方程，化简求得的值.

（2）根据展开式中所有项的系数和、二项式系数和的知识求得正确答案.

【详解】(1)展开式的通项为，

∴展开式中第一项的系数为，常数项为，∴，∴．

(2)由（1）得二项式为，

令可得展开式中所有项的系数和为，

展开式中所有项的二项式系数和为．

18．学校某社团招收新成员，需要进行一些专业方面的测试．现有备选题5道，规定每次测试都从备选题中随机抽出2道题进行测试，至少答对1道题就被纳入．每位报名的人员能否被纳入是相互独立的．若甲能答对其中的3道题，乙能答对其中的2道题．求：

(1)甲、乙两人至少一人被纳入的概率；

(2)甲答对试题数X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）结合对立事件、相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

（2）结合超几何分布的知识求得的分布列和数学期望.

【详解】(1)设甲、乙两人被纳入分别为事件A，B，

则，，

则：甲、乙两人至少一人被纳入的概率为.

(2)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，

则，，，

则X的分布列为：

所以甲答对试题数X的数学期望.

19．“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2022届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

已知从这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．

(1)请将上述列联表补充完整；

(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联．

附：

【答案】(1)表格见解析

(2)能认为喜欢游泳与性别有关联

【分析】（1）根据抽到喜欢游泳的学生的概率求得喜欢游泳的学生人数，由此补全列联表.

（2）计算的值，由此作出判断.

【详解】(1)因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，

所以喜欢游泳的学生人数为．

其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：

(2)零假设为：喜欢游泳与性别无关联

根据列联表中的数据得：．

依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

所以，能认为喜欢游泳与性别有关联.

20．已知．

(1)若，求、、的值；

(2)若，求除以5的余数

【答案】(1)，，

(2)1

【分析】（1）赋值可以求出，，利用倒序相加以及二项式定理的性质可解得，进而可求（2）先求得，再将构造成，对其展开即可求出结果

【详解】(1)因为，所以，，

所以，

因为．

所以

，

∴

∴

(2)因为

除以5余数为1，所以除以5的余数为1．

21．某同学参加篮球投篮测试，罚球位上定位投篮投中的概率为，三步上篮投中的概率为，三分线外投篮投中的概率为，测试时规定：罚球位上定位投篮投中得1分，三步上篮投中得2分，三分线外投篮投中得3分，不中均得0分，每次投篮的结果相互独立，该同学罚球位上定位投篮1次，三步上篮1次，三分线外投篮1次．

(1)求该同学“三步上篮投中且另外两次投篮恰中1次”的概率；

(2)求该同学的总得分X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）定义基本事件后，把要求概率的事件拆分为两个互斥事件的和，再利用互斥的概率加法公式求解（2）按照求离散型随机变量分布列的步骤求解即可

【详解】(1)设该同学“罚球位上定位投篮投中”为事件，“三步上篮投中”为事件，

“三分线外投篮投中”为事件，该同学“三步上篮投中且另外两次投篮恰中1次”为事件．

(2)总得分的所有可能取值为：，，，，，，

所以X的分布列为：

所以

22．我国载人航天技术飞速发展，神州十三号于2021年10月16日发射成功．学生们对航天知识的渴望空前高涨．某学校举行了一次航天知识竞赛活动．经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩（满分100分）分成五组得到如下频率分布直方图．其中第三组的频数为40．

(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)根据样本数据，可认为学生的竞赛分数X近似服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差．若成绩在47.2以下，发纪念奖杯；若成绩在47.2到79.9之间发优秀奖杯；若成绩大于79.9发优胜奖杯试估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数（结果根据四舍五入保留到整数位）

参考数据：若，则，，．

【答案】(1)平均数为69；方差为119

(2)82人

【分析】（1）由频率分布直方图，根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）结合正态分布的对称性、原则来求得获得优秀奖杯的人数.

【详解】(1)由题意得各组的频率依次为0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，

则平均数；

方差．

(2)由（1）得，，故学生的竞赛分数X近似服从正态分布，

则

．

此次竞赛获得优秀奖杯的人数约为82人．