新人教B版高中数学选择性必修第一册第二章平面解析几何章末检测含解析

章末检测（二)  平面解析几何

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值是(　　)

A．－3　　　　　　　　  B．2

C．－3或2     D．3或－2

解析：选A　由直线l1与l2平行，可得解得a＝－3.

2．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为(　　)

A．x2－y2＝1     B．x2－y2＝2

C．x2－y2＝     D．x2－y2＝

解析：选B　设双曲线方程为－＝1(a＞0)，则c＝a，渐近线方程为y＝±x，∴＝，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.

3．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　)

A．＋＝1     B．＋y2＝1

C．＋y2＝1     D．＋y2＝1

解析：选A　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，

∴a＝2，c＝1，∴b＝.∴椭圆的方程为＋＝1.

4．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为(　　)

A．(x－4)2＋(y－6)2＝6     B．(x±4)2＋(y－6)2＝6

C．(x－4)2＋(y－6)2＝36     D．(x±4)2＋(y－6)2＝36

解析：选D　∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6.再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.

5．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝(　　)

A．1或5     B．6

C．7     D．8

解析：选C　双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2.又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7.

6．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－4，0)作抛物线的两条切线CA，CB，A，B为切点，若直线AB经过抛物线y2＝2px的焦点，△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝4x     B．y2＝－4x

C．y2＝8x     D．y2＝－8x

解析：选D　由抛物线的对称性知A，B，则S△CAB＝×2p＝24，解得p＝4，直线AB的方程为x＝2，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－8x.

7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是(　　)

A．y2＝x     B．y2＝x

C．x2＝－y     D．x2＝－y

解析：选C　如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40，30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．

8．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)

A．5－4     B．－1

C．6－2     D．

解析：选A　圆C1，C2的图像如图所示．

设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|＝＝5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－4.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

9．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线可能是(　　)

A．椭圆     B．双曲线

C．抛物线     D．圆

解析：选ABD　由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．

sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．

10．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0可能是(　　)

解析：选AB　由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，l1与l2的斜率与截距都小于0，A正确；当a＜0，b＜0时，l1与l2的斜率与截距都大于0，C错误；当a＞0，b＜0时，则l1的斜率小于0，截距大于0，l2的斜率大于0，截距小于0，B正确；当a＜0，b＞0时，l1的斜率大于0，截距小于0，D错误．

11．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则(　　)

A．|AB|＝12     B．·＝－

C．yAyB＝－3     D．xAxB＝3

解析：选AB　抛物线C：y2＝3x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y＝.

将y＝代入y2＝3x，

整理得x2－x＋＝0.

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由韦达定理得xA＋xB＝，xAxB＝，故D错误，yy＝3xA·3xB＝9xAxB＝，

所以yAyB＝－，故C错误．

·＝xAxB＋yAyB＝－＝－.B正确．

由抛物线的定义可得|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，故选A、B.

12．已知点P在双曲线－y2＝1上，且△PF1F2为直角三角形，则(　　)

A．e＝

B．S△PF1F2＝1

C．S＝1

D．△PF1F2的周长为2(＋)

解析：选ABD　∵a＝2，b＝1，c＝，则e＝.

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2＋n2＝4c2，|m－n|＝2a.

解得mn＝2，m＋n＝2，

∴S＝mn＝1，S＝.

△PF1F2的周长为2(＋)，故选A、B、D.

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．直线l过点(－3，0)，且与直线y＝2x－3垂直，则直线l的方程为________．

解析：因为直线y＝2x－3的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－3，0)，故所求直线的方程为y＝－(x＋3)，即x＋2y＋3＝0.

答案：x＋2y＋3＝0

14．已知圆锥曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．

解析：∵m∈[－2，－1]，

∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，

∴e＝.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤.

答案：

15．抛物线y2＝8x的焦点到双曲线－＝1渐近线的距离为________，双曲线右焦点到抛物线准线的距离为________．

解析：抛物线y2＝8x的焦点F(2，0)，双曲线－＝1的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，则点F(2，0)到渐近线3x－4y＝0的距离为＝.双曲线右焦点的坐标为(5，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，所以双曲线右焦点到抛物线准线的距离为7.

答案：　7

16．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．

解析：因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝＝，所以圆C的最小半径为，所以圆C面积的最小值为π＝π.

答案：π

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线．

(1)若命题p为真命题，求m的取值范围；

(2)若命题q为假命题，求m的取值范围．

解：(1)根据题意，得

解得0＜m＜2，

故命题p为真命题时，m的取值范围为(0，2).

(2)若命题q为真命题，则(m＋1)(m－1)＜0，解得－1＜m＜1，故命题q为假命题时，m的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞).

18．(本小题满分12分)已知△ABC的三个顶点A(－1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆为圆H.

(1)求圆H的标准方程；

(2)若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程．

解：(1)设圆H的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

则由题意，可知解得

所以圆H的标准方程为x2＋(y－3)2＝10.

(2)设圆心到直线l的距离为d，则1＋d2＝10，所以d＝3.

若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，则直线方程为x＝3，满足题意；

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋2，

圆心到直线l的距离为d＝＝3，解得k＝，

所以直线l的方程为4x－3y－6＝0.

综上可知，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.

19．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．

解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，

∵点P在抛物线上，∴6＝2p×.∴p＝2，

∴所求抛物线的方程为y2＝4x.

∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，

∴c＝1，即a2＋b2＝1，

又点P在双曲线上，∴－＝1，

解方程组

得或(舍去).

∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1.

20．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M.

(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；

(2)若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积．

解：(1)因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M(0，1).

①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，满足题意．

②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝1；当k≠0时，令Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.综上，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.

(2)结合(1)知抛物线C的方程为y2＝4x，

直线MF的方程为y＝－x＋1.

联立得y2＋4y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝4，

所以S△OAB＝|OF|·|y1－y2|＝2.

21．(本小题满分12分)给定椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆的离心率e＝，其“准圆”的方程为x2＋y2＝4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2，交“准圆”于点M，N.当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2.

解：(1)由准圆方程为x2＋y2＝4，得a2＋b2＝4，

椭圆的离心率e＝＝＝，解得a＝，b＝1，

∴椭圆的标准方程：＋y2＝1.

(2)∵准圆x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为P(0，2)，

设过点P(0，2)且与椭圆相切的直线为y＝kx＋2，

联立，得消去y，得

(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0.

∵直线y＝kx＋2与椭圆相切，

∴Δ＝144k2－4×9(1＋3k2)＝0，解得k＝±1，

∴l1，l2的方程分别为y＝x＋2，y＝－x＋2.

∵k＝1，k＝－1，

∴k·k＝－1，则l1⊥l2.

22．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以两焦点为端点的线段为直径的圆的内接正方形面积为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD＋kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由．

解：(1)由已知可得

解得a2＝2，b2＝c2＝1，

所以椭圆方程为＋y2＝1.

(2)由得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，

由Δ＝64k2－24(1＋2k2)＝16k2－24＞0，

解得k＜－或k＞.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

设存在点D(0，m)，

则kAD＝，kBD＝，

所以kAD＋kBD＝

＝

＝.

要使kAD＋kBD为定值，只需6k－4k·(2－m)＝6k－8k＋4km＝2(2m－1)k的值与参数k无关，故2m－1＝0，解得m＝，

当m＝时，kAD＋kBD＝0.

综上所述，存在点D，使得kAD＋kBD为定值，且定值为0.