【解析版】北京五十六中2022学年八年级上期中数学试卷

北京五十六中2022学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为0.00000156m，数字0.00000156用科学记数法表示为（）

 A． 0.156×10﹣5 B． 1.56×10﹣6 C． 1.56×10﹣7 D． 15.6×10﹣7

2．（4分）计算4﹣2的结果是（）

 A． ﹣8 B． ﹣ C． ﹣ D． 

3．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

 A． 3x+3y﹣5=3（x+y）﹣5 B． （x+1）（x﹣1）=x2﹣1

 C． 4x2+4x=4x（x+1） D． 6x7=3x2•2x5

4．（4分）下列各式中，正确的是（）

 A．  B． 

 C． = D． 

5．（4分）一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（）

 A． ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B． ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D

 C． AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D． ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

6．（4分）若分式的值为0，则x的值为（）

 A． 1或﹣1 B． 0 C． ﹣1 D． 1

7．（4分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（）

 A． AC=A′C′ B． BC=B′C′ C． ∠B=∠B′ D． ∠C=∠C′

8．（4分）下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（）

 A．  B．  C．  D． 

9．（4分）某河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，船往返一次所用的时间为（）

 A．  B．  C． + D． +

10．（4分）如图：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AC=6cm，则DE+BD等于（）

 A． 5cm B． 4cm C． 6cm D． 7cm

二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）利用分式的基本性质填空：

（1）=，（a≠0）；（2）=．

12．（3分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为．

13．（3分）计算：（﹣ab﹣3）﹣2=．

14．（3分）如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是．

15．（3分）若关于x的方程的解是x=2，则a=．

16．（3分）已知a﹣b=2，那么a2﹣b2﹣4b的值为．

三、解答题

17．（6分）因式分解：

（1）x2﹣4y2                 （2）3a2+6ab+3b2．

18．（8分）化简计算：

（1）

（2）．

19．（4分）已知：如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠ACE=∠BCD．

求证：AD=BE．

20．（8分）解下列方程：

（1）

（2）．

21．（4分）小明是学校图书馆A书库的志愿者，小伟是学校图书馆B书库的志愿者，他们各自负责本书库读者当天还回图书的整理工作．已知某天图书馆A书库恰有120册图书需整理，而B书库恰有80册图书需整理，小明每小时整理图书的数量是小伟每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小伟比小明提前15分钟完成工作．求小明和小伟每小时分别可以整理多少册图书？

22．（4分）已知：如图，C、D在AB上，且AC=BD，AE∥FB，DE∥FC．

求证：AE=BF．

23．（4分）先化简，再求值：，其中x=5．

24．（4分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，DE，AD，BE的数量关系是，并请给出证明过程．

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE，AD，BE的数量关系是（直接写出结果）．

北京五十六中2022学年八年级上学期期中数学试卷

一、选择题（共10道小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为0.00000156m，数字0.00000156用科学记数法表示为（）

 A． 0.156×10﹣5 B． 1.56×10﹣6 C． 1.56×10﹣7 D． 15.6×10﹣7

考点： 科学记数法—表示较小的数．

分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解答： 解：0.00000156=1.56×10﹣6，

故选：B．

点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

2．（4分）计算4﹣2的结果是（）

 A． ﹣8 B． ﹣ C． ﹣ D． 

考点： 负整数指数幂．

分析： 根据负整数指数幂的运算法则进行计算，即可求出答案．

解答： 解：4﹣2==；

故选D．

点评： 此题考查了负整数指数幂；幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．

3．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

 A． 3x+3y﹣5=3（x+y）﹣5 B． （x+1）（x﹣1）=x2﹣1

 C． 4x2+4x=4x（x+1） D． 6x7=3x2•2x5

考点： 因式分解的意义．

分析： 根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答： 解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；

B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；

C、4x2+4x=4x（x+1），是因式分解，故本选项正确；

D、6x7=3x2•2x5，不是因式分解，故本选项错误．

故选C．

点评： 本题考查了因式分解的意义，熟记因式分解的定义是解题的关键．

4．（4分）下列各式中，正确的是（）

 A．  B． 

 C． = D． 

考点： 分式的基本性质．

专题： 计算题．

分析： 利用分式的基本性质对各式进行化简即可．

解答： 解：A、已经是最简分式，故本选项错误；

B、，故本选项错误；

C、=，故本选项错误；

D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以x+y即可得到，故本选项正确；

故选D．

点评： 本题考查了分式的基本性质，解题的关键是在进行分式的运算时要同时乘除．

5．（4分）一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（）

 A． ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E B． ∠A=∠E，AB=EF，∠B=∠D

 C． AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D． ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

考点： 全等三角形的判定．

分析： 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看每个选项是否符合定理即可．

解答： 解：

A、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；

B、根据∠A=∠E，∠B=∠D，AB=DE才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

C、根据AB=DE，BC=EF，∠B=∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、根据AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

故选A．

点评： 本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

6．（4分）若分式的值为0，则x的值为（）

 A． 1或﹣1 B． 0 C． ﹣1 D． 1

考点： 分式的值为零的条件．

专题： 计算题．

分析： 根据分式的值为零的条件列出方程组，求出x的值即可．

解答： 解：∵=0，

∴，

解得，x=﹣1．

故选C．

点评： 解答此题的关键是熟知分式的值为零应同时具备两个条件：

（1）分子为0；

（2）分母不为0．

这两个条件缺一不可．

7．（4分）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（）

 A． AC=A′C′ B． BC=B′C′ C． ∠B=∠B′ D． ∠C=∠C′

考点： 全等三角形的判定．

专题： 证明题．

分析： 全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．

解答： 解：

A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；

B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；

C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；

D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．

故选：B．

点评： 本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．

8．（4分）下列分式中，无论x取何值，分式总有意义的是（）

 A．  B．  C．  D． 

考点： 分式有意义的条件．

分析： 分式有意义，分母不等于零．

解答： 解：A、无论x取何值，x2+1＞0，故该分式总有意义，故本选项正确；

B、当x=﹣时，该分式的分母等于0，分式无意义，故本选项错误；

C、当x=1时，该分式的分母等于0，分式无意义，故本选项错误；

D、当x=时，该分式的分母等于0，分式无意义，故本选项错误；

故选：A．

点评： 本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

9．（4分）某河两地相距s千米，船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，船往返一次所用的时间为（）

 A．  B．  C． + D． +

考点： 列代数式（分式）．

分析： 先分别表示出船顺流航行的速度和船逆流航行的速度，再根据时间=列出式子，求出船顺流航行的时间和船逆流航行的时间，即可得出答案．

解答： 解：∵船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，

∴船顺流航行的速度是：（a+b）千米/时，船逆流航行的速度是：（a﹣b）千米/时，

∵两地相距s千米，

∴船顺流航行的时间是小时，船逆流航行的时间是小时，

∴船往返一次所用的时间为+小时；

故选D．

点评： 此题考查了列代数式，关键是求出船顺流航行的时间和船逆流航行的时间，掌握时间=．

10．（4分）如图：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AC=6cm，则DE+BD等于（）

 A． 5cm B． 4cm C． 6cm D． 7cm

考点： 角平分线的性质．

分析： 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后求出DE+BD=AC．

解答： 解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB，

∴CD=DE，

∴DE+BD=CD+BD=BC，

∵AC=BC，

∴DE+BD=AC=6cm．

故选C．

点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并求出DE+BD=AC是解题的关键．

二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）利用分式的基本性质填空：

（1）=，（a≠0）；（2）=．

考点： 分式的基本性质．

分析： 根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．

解答： 解：（1）=（a≠0）；

（2）=．

故答案为：6a2，a﹣2．

点评： 本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．

12．（3分）如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为3．

考点： 全等三角形的性质．

分析： 已知△ABE≌△ACF，就可以根据全等三角形的对应边的比相等，即可求得AC、AE的长，即可得到EC的长．

解答： 解：∵△ABE≌△ACF

∴AC=AB=5

∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，

故答案为：3．

点评： 本题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．

13．（3分）计算：（﹣ab﹣3）﹣2=．

考点： 负整数指数幂．

分析： 利用负整数指数幂的定义求解即可．

解答： 解：（﹣ab﹣3）﹣2=a﹣2•b6=，

故答案为：．

点评： 本题主要考查了负整数指数幂，解题的关键是负整数指数幂的定义．

14．（3分）如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是±20．

考点： 完全平方式．

分析： 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．

解答： 解：∵4x2+kxy+25y2=（2x）2+kxy+（5y）2，

∴kxy=±2×2x×5y，

解得k=±20．

故答案为：±20．

点评： 本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

15．（3分）若关于x的方程的解是x=2，则a=．

考点： 分式方程的解．

分析： 根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解，可得a的值．

解答： 解：方程两边都乘以2（ax﹣1），得

2（x﹣a）=ax﹣1，

x==2，

a=，

故答案为：．

点评： 本题考查了分式方程的解，先用a表示出分式方程的解，再求出a的值．

16．（3分）已知a﹣b=2，那么a2﹣b2﹣4b的值为4．

考点： 完全平方公式．

分析： 求出a=2+b，代入a2﹣b2﹣4b，再进行计算即可．

解答： 解：∵a﹣b=2，

∴a=2+b，

∴那么a2﹣b2﹣4b的

=（2+b）2﹣b2﹣4b

=4+4b+b2﹣b2﹣4b

=4，

故答案为：4．

点评： 本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的化简能力．

三、解答题

17．（6分）因式分解：

（1）x2﹣4y2                 （2）3a2+6ab+3b2．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

专题： 计算题．

分析： （1）根据平方差公式进行因式分解；

（2）先提前公因式3，然后利用完全平方和公式进行二次分解．

解答： 解：（1）原式=（x+2y）（x﹣2y）；

（2）原式=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2．

点评： 本题综合考查了提取公因式法、公式法分解因式．利用公式法分解因式时，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

18．（8分）化简计算：

（1）

（2）．

考点： 分式的混合运算．

分析： （1）首先对分式进行通分，然后利用分式加法法则求解；

（2）首先化简分式，把除法转化为乘法，即可化简．

解答： 解：（1）原式=+

=+

=

=；

（2）原式=（x﹣1）•

=x．

点评： 本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．

19．（4分）已知：如图，C是线段AB的中点，∠A=∠B，∠ACE=∠BCD．

求证：AD=BE．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 根据题意得出∠ACD=∠BCE，AC=BC，进而得出△ADC≌△BEC即可得出答案．

解答： 证明：∵C是线段AB的中点，

∴AC=BC．                     

∵∠ACE=∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ADC和△BEC中，

，

∴△ADC≌△BEC（ASA）．                            

∴AD=BE．

点评： 本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

20．（8分）解下列方程：

（1）

（2）．

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： （1）方程两边都乘以2x（x+3）得到x+3=4x，解得x=1，然后进行检验确定分式方程的解；

（2）方程两边都乘以3（x+1）得到3x=2+3x+3，由于此方程无解，于是得到原方程无解．

解答： 解：（1）去分母得x+3=4x，

解得x=1，

检验：当x=1时，2x（x+3）≠0，

所以原方程的解为x=1；

（2）去分母得3x=2+3x+3，

此方程无解，

所以原方程无解．

点评： 本题考查了解分式方程：先去分母，把方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．

21．（4分）小明是学校图书馆A书库的志愿者，小伟是学校图书馆B书库的志愿者，他们各自负责本书库读者当天还回图书的整理工作．已知某天图书馆A书库恰有120册图书需整理，而B书库恰有80册图书需整理，小明每小时整理图书的数量是小伟每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小伟比小明提前15分钟完成工作．求小明和小伟每小时分别可以整理多少册图书？

考点： 分式方程的应用．

分析： 设小伟每小时可以整理x册图书，则小明每小时可以整理1.2x册图书，根据同时开始工作，小伟比小明提前15分钟完成工作．列方程求解．

解答： 解：设小伟每小时可以整理x册图书，则小明每小时可以整理1.2x册图书．

由题意得，=+，

解得：x=80，

经检验：x=80是原方程的解且符合实际，

则1.2x=1.2×80=96（册），

答：小伟每小时可以整理80册图书，小明每小时可以整理96册图书．

点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．

22．（4分）已知：如图，C、D在AB上，且AC=BD，AE∥FB，DE∥FC．

求证：AE=BF．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 求出AD=BC，根据平行线性质求出∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，根据ASA推出△AED≌△BFC即可．

解答： 证明：∵AC=BD，

∴AC+CD=BD+CD，

即AD=BC，

∵AE∥FB，DE∥FC，

∴∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，

∵在△AED和△BFC中

，

∴△AED≌△BFC（ASA），

∴AE=BF．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，解此题的关键是推出△AED≌△BFC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．

23．（4分）先化简，再求值：，其中x=5．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 把原式的第二项被除式分母及除式分母都分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数把除法运算化为乘法运算，约分后，再与第一项通分，利用同分母分式的减法运算计算，可化为最简，最后把x的值代入化简的式子中即可求出值．

解答： 解：

=

=﹣（3分）

=﹣

=

=

=，（4分）

当x=5时，原式==．（5分）

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的化简求值时，加减的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，分式的乘除关键是约分，约分的关键是找出公因式，本题属于化简求值题，解答此类题要先将原式化为最简，再代值，同时注意有时计算后还能约分，比如本题倒数第二步约去公因式x+1．

24．（4分）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，DE，AD，BE的数量关系是AD+BE=DE，并请给出证明过程．

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DE，AD，BE的数量关系是DE=AD﹣BE（直接写出结果）．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

分析： （1）根据余角和补角的性质易证得∠DAC=∠ECB，已知∠ADC=∠CEB=90°，AC=CB，根据全等三角形的判定AAS即可证明△ADC≌△CEB，根据各边的相等关系即可得DE=AD+BE．

（2）同理可证得△ADC≌△CEB，再根据各边的相等关系可得DE=AD﹣BE．

解答： 解：（1）AD+BE=DE，证明如下：

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，CD=BE，

∵DC+CE=DE，

∴AD+BE=DE．

（2）DE=AD﹣BE．证明如下：

∵BE⊥EC，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ADC和△CEB中

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=EC﹣CD=AD﹣BE．

点评： 本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．