2022-2023学年北京交大附中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京交大附中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列图标中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列命题是真命题的是(    )

A. 同位角相等 B. 内错角相等 C. 同旁内角互补 D. 邻补角互补

3.    如图，≌，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.    已知：是等腰三角形，，是底边上的高，下面结论不一定成立的是(    )

A.  B.  C. 平分 D.

5.    现有两根木条，它们的长分别为，，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取(    )

A. 长的木条 B. 长的木条 C. 长的木条 D. 长的木条

6.    如图，，，，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，要用“”证≌，若已知，，则还需条件(    )

A.
B.
C.
D.

8.    如图，，，，垂足分别为、，则下列结论中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，，为中点，把纸片沿对折得到，如图，点和点分别为，上的动点，把纸片沿折叠，使得点落在的外部，如图所示．设，则下列等式成立的是(    )
     

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若等腰三角形的一个底角为，则此等腰三角形的顶角为______．
12. 一个多边形的内角和等于外角和的倍，则它的边数是______ ．
13. 要测量河岸相对两点，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点，，在一条直线上，如图，测出米，则的长是______米．

14. 如图，在中，，，则边上的中线的取值范围是______．

15. 如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的任意一点，则的最小值是______．

16. 在平面直角坐标系内点，点的坐标是分别为，，在坐标轴上找一点，使是等腰三角形，则符合条件的点的个数是______．

三、解答题（本大题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，点，，．
    在图中画出关于轴对称的，并直接写出点和点的坐标；不写画法，保留画图痕迹
    求的面积．

18. 本小题分
    数学课上，王老师布置如下任务：
    如图，中，，在边上取一点，使．
    小路的作法如下：
    作边的垂直平分线，交于点，交于点；
    连结．
    请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图保留作图痕迹；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：
    是的垂直平分线
    ______，依据：______；
    ______，依据：______
    ．

19. 本小题分
    如图，是的中点，，且求证：≌．

20. 本小题分
    已知；如图，，，求证：．

21. 本小题分
    如图，四边形中，，求证：．

22. 本小题分
    如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．
    ≌；
    求证：；
    若，则的度数为______．

23. 本小题分
    如图，在中，是的角平分线，，分别是边，上一点，并且有，试判断和的数量关系，并证明．

24. 本小题分
    如图，在等腰直角中，，是线段上一点，连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点若，则______
    判断与的数量关系，并证明．

25. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于轴给出如下定义：点先关于轴对称得点，再将点关于直线对称得点，则称点是点关于轴和直线的二次反射点．
    已知，，，则它们关于轴和直线的二次反射点，，的坐标分别是______ ；
    若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是点，求线段的长；
    已知点，点，以线段为边在轴上方作正方形，若点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边有公共点，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：四个图标中只有是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、两直线平行，同位角相等，故本选项错误；
B、两直线平行，内错角相等，故本选项错误；
C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误；
D、邻补角互补，故本选项正确．
故选：．

根据同位角，内错角，同旁内角，邻补角的定义进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．要注意、、选项只有在两直线平行题设下才成立．
 

3.【答案】 

【解析】解：≌，
，
故选：．
根据全等三角形的对应角相等解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
是底边上的高，
，平分，
、、都是正确的，一定成立，不符合题意，
不一定成立，符合题意，
故选：．
利用等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合进行判断即可．
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线相互重合是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题从边的方面考查三角形形成的条件，应满足三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
本题考查三角形的三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【解答】
解：，．
设三角形的第三边长为，由题意得：
，
解得：
故选D．  

6.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
故选：．
证明≌，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出的度数，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，证明≌是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：，，，．
根据题目中给出的条件，，要用“”还缺少条件是夹角：，筛选答案可选出．
【解答】
解：还需条件，
，
，
即：，
在和中：
，
≌．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，，
，
在和中，，
≌，
，，
故A、、选项结论都正确，
只有时，，
所以，选项结论错误．
故选：．
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再利用“”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等解答．
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形全等的判定与性质，熟记性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
在和中，
，
，
，
，
．
故选B．
根据平行线的性质，得出，，再根据全等三角形的判定证明，得出，根据，，即可求线段的长．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，

，为中点，
，，
，
如图，与交于点，

把纸片沿折叠，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
由图可知，
．
故选：．
由等腰三角形的性质得出，如图，在四边形中，，可得出，则可得出答案．
本题考查了翻折变换的性质，四边形内角和，等腰三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的一个底角为，
顶角，
故答案为
根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其顶角的度数．
考查了三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质的运用；利用三角形的内角和求角度是常用的方法，注意掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，
依题意有，
解得，即它是八边形．
故答案为．
一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，而外角和是度，则内角和是度．边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角和定理．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．
由、均垂直于，即可得出，结合、即可证出≌，由此即可得出，此题得解．
【解答】
解：，，
，
在和中，
，
≌，
米．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：延长至，使，连接，如图所示
是边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
故答案为．
延长至，使，由证明≌，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围；
本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

是的垂直平分线，
，
根据两点之间线段最短，
，最小，
此时点与点重合．
所以的最小值即为的长，为．
所以的最小值为．
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，解决本题的关键是利用线段的垂直平分线的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图：

分三种情况：
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交轴于点，，
当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交坐标轴于点，，，，
当时，作的垂直平分线，交轴于点，
综上所述，符合条件的点有个，
分三种情况：当时，当时，当时，进行讨论即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，为所作；，；

的面积． 

【解析】利用关于轴对称的点的坐标特征得到点和点的坐标，然后描点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
 

18.【答案】  线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等    等边对等角 

【解析】解：如图，点为所作；

理由如下：
是的垂直平分线
，依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
，依据：等边对等角．
．
故答案为，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；，等边对等角．
作的垂直平分线交于点，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得，然后根据三角形外角性质得到．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

19.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据中点定义求出，根据两直线平行，同位角相等，求出，然后利用即可证明≌．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、直角三角形注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

20.【答案】证明；在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】首先利用定理证明≌，再根据全等三角形对应角相等可得，再根据等角对等边可得．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握证明三角形全等的方法．
 

21.【答案】证明：连接．
在和中，
，
≌，
 

【解析】根据直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边对应相等的两个三角形全等即可判定．
本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键，记住斜边、直角边对应相等的两个直角三角形全等，属于中考常考题型．
 

22.【答案】 

【解析】证明：，
，
在与中，
，
≌；
证明：延长交于点，如图所示：
≌，
，
，
，
，
；
解：，，
，
由得：≌，
，
．
故答案为：．
由证明≌，即可解决问题；
由全等三角形的性质可得出结论；
由等腰直角三角形得出，证明，即可解决问题．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】证明：过作于，于点，

，
平分，，，
角平分线性质，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】过作于，于点，证明≌，由全等三角形的性质得出结论．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】是等腰三角形，，
．
，
．
于点，
．
，
故答案为：．
解：，证明如下：
连接，如图所示：
，
．
又，
．
，
．
，
．
，
．
，，
．
，
．
．
．
由等腰直角三角形的性质得出，则，再由直角三角形的性质即可求解；
连接，由线段垂直平分线的性质得，则再证，，然后证，得，即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，；
点的坐标是，，
点关于轴对称的点的坐标为，
关于直线对称得点，
．
点，
点关于轴和直线的二次反射点为，
，
关于轴和直线的二次反射点为，

当与有公共点时，
，
，
当与有公共点时，
，
，
或． 

【解析】解：，
点关于轴对称的点的坐标为，
关于直线对称的点，
点关于轴和直线的二次反射点；
，
点关于轴对称的点的坐标为，
关于直线对称的点，
点关于轴和直线的二次反射点；
，
点关于轴对称的点的坐标为，
关于直线对称的点，
点关于轴和直线的二次反射点；
故答案为：，，；
见答案；
见答案．
根据二次反射点的定义直接得出答案；
根据二次反射点的定义得出，则可得出答案
根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．