2022-2023学年北京九中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京九中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列分式化简正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，作出边上的高，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知三条线段的长分别是，，，若它们能构成三角形，则整数的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图是一个平分角的仪器，其中，将点放在一个角的顶点，和沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线是这个角的平分线，这里判定和是全等三角形的依据是(    )
    

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题中正确的有个(    )
   三个内角对应相等的两个三角形全等；
   三条边对应相等的两个三角形全等；
   有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；
   等底等高的两个三角形全等．

A.  B.  C.  D.

8. 某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过元时，每本便宜元．已知王老师花费元比花费元多买了本笔记本，求他花费元买了多少本笔记本．设他花费元买了本笔记本，根据题意可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 若分式有意义，则的取值范围为          ．
10. 已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是______边形．
11. 如果分式的值为零，那么的值是______．
12. 若是关于的方程的解，则的值为          ．
13. 如图，和相交于点，，请添加一个条件，使≌只添一个即可，你所添加的条件是______．

14. 方程无解，那么的值为______．
15. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中          ．

16. 如图，已知中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为______ 厘米秒时，能够在某一时刻使与全等．

三、解答题（本大题共13小题，共76分）

17. 计算：．
18. 计算：．
19. 计算：．
20. 解方程：．
21. 解方程：．
22. 已知，如图，，，求证：．
    证明：，______，
    又已知，
    ______
    在和中，
    已知，
    已知，
    ______，
    ≌______
    ______

23. 如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：．

24. 通过使用手机购票，智能闸机、手持验票机验票的方式，能够大大缩短游客排队购票、验票的等待时间，且操作极其简单，已知某公园采用新的售票、验票方式后，平均每分钟接待游客的人数是原来的倍，且接待名游客的入园时间比原来接待名游客的入园时间还少分钟，求该公园原来平均每分钟接待游客的人数．
25. 已知，求代数式的值．
26. 在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
    在图中计算格点三角形的面积是______ ；每个小正方形的边长为
    是格点三角形．
    在图中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形；
    在图中画出一个与全等且有一个公共点的格点三角形．
     
27. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点．
    证明：≌；
    若，，，求的长．

28. 在分式中，若，为整式，分母的次数为，分子的次数为当为常数时，，则称分式为次分式．例如，为三次分式．
    请写出一个只含有字母的二次分式______；
    已知，其中，为常数．
    若，，则，，，中，化简后是二次分式的为______；
    若与的和化简后是一次分式，且分母的次数为，求的值．
29. 如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点，，都是格点．请按要求解答下列问题：
    
    平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，
    请在图中画出平面直角坐标系；
    点的坐标是______，点关于轴的对称点的坐标是______．
    设是过点且平行于轴的直线，
    点关于直线的对称点的坐标是______；
    在直线上找一点，使最小，在图中标出此时点的位置；
    若为网格中任一格点，直接写出点关于直线的对称点的坐标用含，的式子表示．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根为．
故选：．
直接根据平方根的定义求解即可．
本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于，那么这个数叫的平方根，记作．
 

2.【答案】 

【解析】解：当，时，，，
不成立
，
不成立．
．
不成立．
故选：．
利用分式性质依次判断．
本题考查分式性质，掌握分式性质，正确对分式进行化简是求解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：中与不垂直，故A不正确；
中未过顶点，故B不正确；
中与的延长线不垂直，故C不正确；
中与的延长线垂直，点为垂足，所以是边上的高，故D正确；
故选：．
根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，
垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟练掌握概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值．
此题考查了分式的乘除法，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据三角形的三边关系，得，
即，
因为是整数，
则的最大值为，
故选：．
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
本题考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．
 

6.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
所以≌，
所以，
所以就是的平分线．
所以这里判定和是全等三角形的依据是．
故选：．
根据题目所给条件可利用定理判定≌，进而得到．
本题考查了三角形全等的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，
直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等．
 

7.【答案】 

【解析】解：三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；
三条边对应相等的两个三角形全等，正确；
有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；
等底等高的两个三角形不一定全等，错误；
故选B．
根据三角形全等的判定定理、、、、可得出正确结论．
主要考查全等三角形的判定定理判定定理有、、、、做题时要按判定全等的方法逐个验证．
 

8.【答案】 

【解析】解：设他花费元买了本笔记本，
根据题意可列方程为，
故选：．
设他花费元买了本笔记本，根据购买同样的笔记本，当花费超过元时，每本便宜元列方程
即可得到结论．
此题考查了由实际问题抽象出分式方程．注意准确找到等量关系是关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
根据分母不为零，分式有意义，可得答案．
【解答】
解：由题意，得．
解得，
故答案为：．  

10.【答案】五 

【解析】解：根据多边形的内角和可得：，
解得：．
则这个多边形是五边形．
故答案为：五．
利用边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案．
此题考查多边形的内角和问题，关键是根据边形的内角和公式．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：且，
解得．
故答案为：．
根据分式的值为零的条件可以求出的值．
考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
即，
方程的解为，
，
．
故答案为：．
解方程可得，由题意可得，求出的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角形全等的几种判定定理．
由题意得，，对顶角，可选择利用、进行全等的判定，答案不唯一．
【解答】
解：添加，
在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．  

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
方程无解，
，
，
，
故答案为：．
先解方程得，再由方程无解，可得，求出的值即可．
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解时满足的条件是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
由，，即可求得的度数，又由，易得的度数．
本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质．
【解答】
解：，，是的一个外角，
，
，
．
故答案为：．  

16.【答案】或 

【解析】解：设经过秒后，使与全等，
厘米，点为的中点，
厘米，
，
要使与全等，必须或，
即或，
解得：或，
时，，；
时，，；
即点的运动速度是或，
故答案为：或
求出的长，要使与全等，必须或，得出方程或，求出方程的解即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，关键是能根据题意得出方程，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用零指数幂的性质、绝对值的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式


． 

【解析】直接将分式通分运算，进而化简得出答案．
此题主要考查了分式的加减，正确将分式通分运算是解题关键．
 

19.【答案】解：




． 

【解析】把能分解的因式进行分解，再约分，最后进行分式的加法即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

20.【答案】解；方程两边都乘以，得
．
解得，
经检验：是分式方程的解． 

【解析】根据等式的性质，可去分母转化成整式方程，根据解整式方程，可得答案．
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

21.【答案】解：最简公分母为，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是增根，
故原分式方程无解． 

【解析】找出分式方程的最简公分母为，去分母后转化为整式方程，求出方程的解得到的值，代入最简公分母中检验即可得到原分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

22.【答案】平角的定义  等角的补角相等  公共边    全等三角形的对应角相等 

【解析】解：，平角的定义，
又已知，
等角的补角相等．
在和中，
，
≌，
全等三角形的对应角相等．
故答案为：平角的定义，等角的补角相等，公共边，，全等三角形的对应角相等．
由平角的定义得，再证≌，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平角的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，即．
在与中，
，
≌，
，
． 

【解析】求出，证≌，推出即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．
 

24.【答案】解：设该公园原来平均每分钟接待游客的人数为人，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：该公园原来平均每分钟接待游客的人数为人． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
设该公园原来平均每分钟接待游客的人数为人，由“接待名游客的入园时间比原来接待名游客的入园时间还少分钟”列出方程可求解．
 

25.【答案】解：原式

，
因为，
所以，
所以原式． 

【解析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则，利用整体代入求值是关键．
 

26.【答案】解：；
如图中，即为所求作答案不唯一．
如图中，即为所求作答案不唯一．
 

【解析】

【分析】
本题考查作图应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
利用分割法求解即可．
根据三角形的判定，画出图形即可．
利用旋转法画出图形即可．
【解答】
解：如图中，
，
故答案为：．
见答案．  

27.【答案】证明：是边的中点，
．
又，
，，
在与中，
，
≌．

解：≌，，
，
，是边的中点，，
．
，
． 

【解析】由平行线的性质得出，，根据证明≌即可；
利用全等三角形的性质求出，即可解决问题；
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是证明≌．
 

28.【答案】解：答案不唯一；
，；
解：，
与的和化简后是一次分式，且分母的次数为，
，结果为，
，
；
由知：，时，也符合条件，此时；
综上，的值为或． 

【解析】解：根据新定义可得只含有字母的二次分式答案不唯一；
当，时，，
，
分母是次，分子是次，所以是二次分式；
，
分母是次，分子是常数，所以是一次分式，不是二次分式；
，
分母是次，分子是一次，所以是一次分式，不是二次分式；
，是二次分式；
故答案为：，；
见答案．
根据材料中的新定义求解；
把，代入可计算和的值，分别代入，，，中计算，并根据新定义判断是否是二次分式；
计算并根据一次分式的定义可得和的值，代入中计算求值即可．
本题考查了新定义和分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．
 

29.【答案】解：建立的直角坐标系如图所示；

，；
；
如上图，点即为所求；
设，
则有，，
所以，
所以． 

【解析】

【分析】
本题考查平面直角坐标系、轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据，两点坐标作出平面直角坐标系即可；
根据轴对称的性质解决问题即可；
利用轴对称的性质解决问题；
连接交直线于点，连接，点即为所求；
根据轴对称的性质即可解答．
【解答】
解：建立的直角坐标系见答案；
由图可知，点关于轴的对称点的坐标为．
故答案为：，；
因为，是过点且平行于轴的直线，
所以直线上所有点的横坐标均为，
因为点的坐标是，
所以设的横坐标是，
则，解得，
所以点关于直线的对称点的坐标是；
故答案为：；
见答案
见答案．