2022北京六十六中初三（上）期中数学

这是一份2022北京六十六中初三（上）期中数学，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京六十六中初三（上）期中
数 学
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，5 B. 2，1，－5 C. 2，0，－5 D. 2，0，5
2. 下列四个图形中，为中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
3. 将抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线是（　　）
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. （2，－3） B. （－2，3） C. （3，2） D. （－2，－3）
5. 用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A. (x＋2)2＝5 B. (x＋2)2＝2 C. (x－2)2＝5 D. (x－2)2＝2
6. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数的图像如图所示，则函数的图像是（ ）．

A. B.
C D.
8. 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数y2＝kx＋n(k≠0)的图象如图所示，下面有四个推断：
①二次函数y1有最大值
②二次函数y1的图象关于直线对称
③当时，二次函数y1的值大于0
④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜-3或m＞-1．
其中正确的是( )

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 抛物线的顶点坐标是_________．
10. 若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为1，则m的值为_______．
11. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．
12. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：________（填“＞”，“=”或“＜”）．
13. 若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为__________．
14. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为________．

15. 抛物线的对称轴及部分图象如图所示，直线，则的解集为___________．

16. 如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____．

三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 解方程：
18. 解方程：.
19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向___________平移___________个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
20. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．求参观人数的月平均增长率．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣3，3）．△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1；
（2）BC与B1C1的位置关系是　 　，AA1的长为　 　；
（3）若点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，则点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为　 　．

22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．

23. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．
24. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
x
…


0
1
2
…
y
…
3
4
3
0

…
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线有两个交点A，B，若，直接写出n的取值范围．
25. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．

（1）求抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
26. 有这样一个问题：探究函数y＝的图象与性质．小彤根据学习函数的经验，对函数y＝的图象与性质进行了探究．
下面是小彤探究过程，请补充完整：
(1)函数y＝的自变量x的取值范围是　 　；
(2)下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
4
5
6
7
8
…
y
…

m

0
﹣1
3
2



…
则m值为　 　；
(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；

(4)观察图象，写出该函数一条性质　 　；
(5)若函数y＝的图象上有三个点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，且x1＜3＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为　 　；
27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A（3，0），B两点．
（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；
（2）当﹣2＜x＜3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C（4.2）的直线y=kx+b（k≠0）与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．
28. 如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M．
（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；
（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明．


参考答案
一、选择题（每小题2分，共16分）
1. 【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
2. 【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即可；
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3. 【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度得到的抛物线是．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．
4. 【答案】D
【解析】
【分析】根据“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”即可求得．
【详解】解：点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是
故选D
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．
5. 【答案】A
【解析】
【分析】方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．
【详解】解：x2＋4x＝1

即
故选A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
6. 【答案】A
【解析】
【分析】由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案.
【详解】解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，
由题意得：.
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
7. 【答案】B
【解析】
【详解】解：由图象，得，，∴过一、二、四象限．故选B．
8. 【答案】D
【解析】
【详解】解：∵二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的开口向上，
∴二次函数y1有最小值，故①错误；
观察函数图象可知二次函数y1的图象关于直线x=﹣1对称，故②正确；
当x=﹣2时，二次函数y1的值小于0，故③错误；
当x＜﹣3或x＞﹣1时，抛物线在直线的上方，
∴m的取值范围为：m＜﹣3或m＞﹣1，故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及函数图象，熟练运用二次函数图象上点的坐标特征求出二次函数解析式是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共16分）
9. 【答案】（1，2）
【解析】
【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案．
【详解】∵是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点．
10. 【答案】
【解析】
【分析】根据关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，将x=1代入可以得到m的值，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，
∴1-2+m=0，
解得m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
11. 【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，写出一个的解析式即可
【详解】解：根据题意，
故符合题意
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
12. 【答案】＜
【解析】
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出y1，y2的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，
y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，
∵2＜8，
∴y1﹤y2．
故答案为：﹤.
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．
13. 【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知一元二次方程根的判别式大于0，解不等式即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
14. 【答案】
【解析】
【分析】先根据旋转的性质求得，再运用三角形内角和定理求解即可．
详解】解：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，∠DAE=110°
，
，
．
故答案是：30°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．
15. 【答案】
【解析】
【分析】首先确定抛物线和x轴的另一个交点，然后画出直线的图象，然后根据直线在抛物线下方的图象部分求解即可．
【详解】解：由图象可得，抛物线的对称轴为，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，，当时，，
∴直线经过点和点，
如图画出直线的图象和补全抛物线图象，

∴由图象可得，直线在抛物线下方的图象部分为．
∴的解集为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的图象综合问题，解题的关键是根据题意正确画出一次函数和二次函数的图象．
16. 【答案】-3或6
【解析】
【分析】到A、B、C、D四个点距离都相等的点为AC、BD的交点点E，求出点E的坐标，将点E的坐标代入二次函数解析式，求出n的值即可.
【详解】连接AC、BD交于点E，作EF⊥AB交AB于点F，
由题意得，抛物线必经过点E，
∵A（﹣4，0），B（﹣2，0），
∴AB=2，BO=2，
∵正方形ABCD，
∴∠ABE=45°，AE⊥BE，AE=BE，
∴AF=BF=EF=1，
∴E（﹣3，﹣1），
∴﹣1=2×9+3n﹣n2﹣1，
解得n=﹣3或6

故答案为﹣3或6.
【点睛】确定出到A、B、C、D四个点距离相等的点的位置是解题的关键.
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 【答案】x1＝4，x2＝2
【解析】
【分析】原方程运用因式分解法求解即可
【详解】解：
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0
∴x1＝4，x2＝2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用方法是解答本题的关键
18. 【答案】，.
【解析】
【分析】先把方程化成一元二次方程的一般形式，然后运用公式法求解即可.
【详解】解：原方程可化为：
，
，
，，.
∵.
∴.
∴，.
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，解答的关键是先把方程化成一般式，另外运用公式前用根的判别式判定根是否存在是此类题的易错点.
19. 【答案】（1）
（2）上，1
【解析】
【分析】（1）首先设出抛物线表达式为，然后将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式；
（2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．
小问1详解】
∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线表达式为，
∵经过点（2，1），
∴ ．
解得：．
∴ 该抛物线的表达式为．
【小问2详解】
∵抛物线的顶点为，
∴ 若抛物线与轴只有一个公共点，则只需向上平移1个单位，顶点变为（3，0），此时满足题意．
故答案为：上，1．
【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式以及函数图像的平移，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图像整体平移的情况，是解决该题的关键．
20. 【答案】
【解析】
【分析】根据公式：（其中a表示增长前的量，b表示增长后的量，x表示月平均增长率，n表示月数），列式即可．
【详解】解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
根据题意，得：，
解得：或（舍去）
，
答：这两个月参观人数的月平均增长率为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握关于增长率的公式是解答此题的关键．
21. 【答案】（1）见解析；（2）BCB1C1，；（3）（-a，-b））
【解析】
【分析】（1）根据中心对的两个图形对应点的坐标互为相反数画出图形即可；
（2）根据图形可得出BCB1C1，根据勾股定理得出AA1的长为；
（3）根据中心对的两个图形对应点的坐标互为相反数得出P1的坐标．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）∵B（-4,1），C（-3,3），，
∴BCB1C1，
＝；
故答案为BCB1C1，；
（3）∵点P（a，b）是△ABC一边上的任意一点，△ABC关于原点O对称的图形是△A1B1C1．
∴点P经过上述变换后的对应点P1的坐标可表示为，
故答案为．
22. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出，然后连接AD，BD即可得；
（2）根据角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由旋转的性质可得是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）根据线段旋转方法，，如图所示即为所求；


（2）∵ ，，，
∴ ，
∴ ，
∵ 线段CA绕点C逆时针旋转60°得到线段CD，
∴且，
∴是等边三角形，
∴ ，，
∴ ，
∴ 在中，
．
【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．
23. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
详解】（1）证明：∵一元二次方程，
∴
==．
∵，
∴．
∴ 该方程总有两个实数根．　　　 　
（2）解：∵一元二次方程，
解方程，得，．
∵ ，
∴ ．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴ ．
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
24. 【答案】（1）y=-（x+1）2+4；（2）n<-5．
【解析】
【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y=a（x+1）2+4，然后把（1，0）代入求出a即可；
（2）根据抛物线与一次函数有公共点，联系根的判别式求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点（-2，3），（0，3），（-1，4），
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，顶点坐标为（-1，4），
设抛物线解析式为y=a（x+1）2+4，
把（1，0）代入得a（1+1）2+4=0，解得a=-1，
∴抛物线解析式为y=-（x+1）2+4；
（2）∵二次函数的图象与直线有两个交点，
∴-（x+1）2+4=n，即，
∴△=，解得n<4，
∴n的取值范围为n<4，
∵AB=，
∴>6，解得n<-5，
综上n的取值范围为n<-5．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
25. 【答案】（1）
（2）水面上涨的高度为m
【解析】
【分析】（1）先建立适当的平面直角坐标系，然后根据题意确定函数解析式；
（2）根据题意将代入求解即可．
【小问1详解】
如图：

以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得A（5，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：，
把A（5，0）代入，得，
所以抛物线解析式为：，
【小问2详解】
当时，，
所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，建立适当的平面直角坐标系是解决本题的关键．
26. 【答案】(1)x≠3；(2)；(3)详见解析；(4)当x>3时y随x的增大而减小等(答案不唯一)；(5)<<
【解析】
【分析】（1）分式有意义,分母不等于零,
（2）将x=-1代入即可,
（3）图像见详解,
（4）根据增减性即可得出结论,见详解,
（5）在图像中找到满足<3<<的三个点比较纵坐标即可得到结论.
【详解】解：(1)因为分式有意义,分母不等于零，所以x-3≠0，即x≠3；
(2)将x=-1代入，解得 m=；
(3)如图所示；

(4)当x>3时y随x的增大而减小(答案不唯一)；
(5)当x＜3时，y＜1，当x>3时，y＞1且y随x的增大而减小，所以<<
【点睛】本题考查了反比例函数的简单应用,中等难度,熟悉反比例函数图像和性质是解题关键.
27. 【答案】（1）抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3，B点的坐标（﹣1，0）；
（2）y的取值范围是﹣4≤y＜5．
（3）b的取值范围是﹣＜b＜．
【解析】
【分析】(1)、将点A坐标代入求出m的值，然后根据二次函数的性质求出点B的坐标；(2)、将二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的增减性得出y的取值范围；(3)、根据函数经过(-1,0)、(4,2)和(0，-3)、(4,2)分别求出两个一次函数的解析式，从而得出b的取值范围.
【详解】（1）∵将A（3，0）代入，得m=1， ∴抛物线的表达式为y=-2x-3．
令-2x-3=0，解得：x=3或x=-1， ∴B点的坐标（-1，0）．
（2）y=-2x-3=-4．
∵当-2＜x＜1时，y随x增大而减小，当1≤x＜3时，y随x增大而增大，
∴当x=1，y最小=-4． 又∵当x=-2，y=5， ∴y的取值范围是-4≤y＜5．
（3）当直线y=kx+b经过B（-1，0）和点（4，2）时， 解析式为y=x+．
当直线y=kx+b经过（0，-3）和点（4，2）时，解析式为y=x-3．
由函数图象可知；b的取值范围是：-3＜b＜．
【点睛】本题主要考查的就是二次函数的性质、一次函数的性质以及函数的交点问题.在解决第二个问题的时候，我们首先必须要明确给出x的取值范围是否是在对称轴的一边还是两边，然后根据函数图形进行求解；对于第三问我们必须能够根据题意画出函数图象，然后根据函数图象求出取值范围.在解决二次函数的题目时，画图是非常关键的基本功.
28. 【答案】（1）DM=ME，见解析；（2），见解析
【解析】
【分析】（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM．
（2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到．
【详解】（1）补全图形如下图，

DM与ME之间的数量关系为DM=ME．
证明：连接AE，AD，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC，

∴ ∠ABC=∠ACB=45°．
∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°．
∵ 由旋转，∠BCD=90°，
∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．
∴ ∠ABE=∠ACD．
∵ AB=AC，BE=CD，
∴ △ABE ≌ △ACD．
∴ AE=AD．
∵ AM⊥DE于M，
∴ DM=EM．
（2）
证明：连接AD，AE，BM．
∵ AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 由（1）得DM=EM，
∴ BM是△CDE的中位线．
∴ ，BM∥CD．
∴ ∠EBM=∠ECD=90°．
∵ ∠ABE=135°，
∴ ∠ABM=135°=∠ABE．
∵ N为BE中点，
∴ ．
∴ BM=BN．
∵ AB=AB，
∴ △ABN ≌ △ABM．
∴ AN=AM．
∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD，
∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE．
∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，
∴ ∠EAD=90°．
∵ DM=EM，
∴ ．
∴ ．

【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．