2022-2023学年北京四中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京四中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1.    下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.    下列各组线段能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.    如图，在中，，是的边上的中线，那么可以证明≌，这里证明全等所使用的判定方法是(    )

A.
B.
C.
D.

4.    如图所示，，，，，，则(    )
    

A.  B.  C.  D. 无法计算

5.    如图是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6.    若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.    在中，，，延长至，使，连接，则的长度的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，在中，，，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9.    在中，，，则 ______
10. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______．
11. 已知等腰三角形的周长为，其中一边的长为，则底边的长为______．
12. 的一个内角大小是，，那么外角大小是______．
13. 若是一个完全平方式，则常数           ．
14. 若与的乘积中不含的二次项，则实数的值为______．
15. 如图，在中，，，、、三点在一条直线上，且，过点作，且若，则______用含的式子表示

16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，是两个动点，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按照的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按照的路线运动，运动过程中点和同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为秒，直线经过原点，且，过点，分别作的垂线段，垂足为，，当与全等时，的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

17. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ；
    ；
    ．
18. 已知，求代数式的值．
19. 要求：铅笔作图可以借助带刻度的直尺、三角板和量角器：
    已知如图，求作：
    的中线；
    的角平分线；
    的高线；
    若其中表示周长，且，则______．

20. 如图，点，，，在一条直线上，．
    在下列条件；；；中，只添加一个条件就可以证得≌，则所有正确条件的序号是______．
    根据已知及中添加的一个条件证明．

21. 如图，在中，，于点，点为上的一点，且，连接并延长交于点．
    请补全图形；
    写出与的数量关系和位置关系并证明．

22. 在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：
    
    如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______；
    将图中边长为和的正方形拼在一起，，，三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积；
    若图中每块小长方形的面积为，四个正方形的面积之和为，请直接写出图中所有裁剪线虚线部分的长度之和．
23. 如图，在中，，为边上一点，平分，且，若，，求的长．

24. 喜欢动手的小马同学收集了很多套三角板，以下是他利用三角板进行的数学探究：
    
    小马同学将两个大小相同的含有，的三角板如图所示放置，即，，，，连接、交于点，小马同学发现，请给出证明；
    小马同学将两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，即，，，连接、交于点当时，请写出与之间的数量关系，并证明．
25. 阅读材料：
    我们已经学习过完全平方公式对于多项式，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成，即一个含的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为的二次三项式，它总是可以化为的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题：
    代数式经配方可化为______．
    已知，那么的值为______．
26. 小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：
    问题：如图，中，，，是的角平分线，求：的值．
    小聪同学经过思考，发现可以过作于，于，利用与的面积比来解决这个问题．
    问题：如图，为等边三角形，点为外一点，，连接，探究，，三者之间的数量关系．
    小明同学经过思考，发现可以在上截取，构造等边三角形，从而解决这个问题．
    
    根据两位同学的思考，完成问题、的解答直接写出结果．
    根据问题、的结论，解决下面问题：如图，和都是等边三角形，且、、三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故本项正确；
B、，故本项错误；
C、，故本项错误；
D、，故本项错误，
故选：．
根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂相除的法则计算即可．
本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂相除的法则，熟练运用法则是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，能构成三角形，故此选项正确；
B、，不能构成三角形，故此选项错误；
C、，不能构成三角形，故此选项错误；
D、，不能构成三角形，故此选项错误；
故选：．
根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边可判断出答案．
此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
 

3.【答案】 

【解析】证明：是的边上的中线，
，
在和中，
，
≌，
故选：．
运用全等三角形的判定可求解．
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，能求出≌是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．求出，根据推出≌，根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和为及邻补角性质，求出即可．
【解答】
解：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．  

5.【答案】 

【解析】解：由图可知，，
又，
．
又，
．
又，
，
故选C．
本题主要考查了三角形外角性质的知识，解答本题的关键是求出，此题难度不大．首先求出，然后证明出，最后结合题干求出的度数．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据完全平方公式将题目中的式子变形，然后整理即可得到所求式子的值．
本题考查分式的化简求值、完全平方公式，解答本题的关键是会用完全平方公式计算．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，延长到使，连接．
，，，
≌，
．
在中，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
，，．
．
故选：．
延长到使，连接，在中，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求出的范围．
本题考查了全等三角形的判定；通过作辅助线，把转移到三角形中，利用三角形中三边的关系求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
故选：．
由“”证≌，得，再由三角形的外角性质得，然后由三角形内角和定理即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，证明≌是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
故答案为：．
直接根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知“三角形内角和是”是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据边形的内角和为解答．
根据内角和定理即可求得．
【解答】
解：多边形的内角和公式为，
，
解得，
这个多边形的边数是．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：当腰为时，另一腰也为，则底为，
，
三边能构成三角形．
当底为时，腰为，
，
三边能构成三角形．
故答案为：．
由于长为的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：若，则，，的外角为．
若，则的外角为．
故答案为或．
分两种情况进行分析，从而确定的外角的大小．
此题主要考查三角形的外角性质及三角形内角和定理的综合运用．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．
此题解题的关键是利用平方项求出这两个数．
先根据平方项确定出这两个数是和，再根据完全平方公式：的乘积二倍项
列式求解即可．
【解答】
解：因为是一个完全平方式，
所以，
解得；
故答案是：．  

14.【答案】 

【解析】解：

，
根据题意，得，
解得，
故答案为：．
先将多项式乘多项式展开，再根据乘积中不含的二次项，可得，进一步求解即可．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

，
，，
，
在和中
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
同法可证≌，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
如图，连接，利用全等三角形的性质分别证明，都是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

16.【答案】或或 

【解析】解：由题意，和是两直角三角形的斜边，当与全等时，，
Ⅰ、当点在上，点在上时，，，
，
，
Ⅱ、当点，都在上时，点，重合时，两三角形重合时，
，，
，
，
Ⅲ、当点在上，点在上且点与点重合时，
，，
，
，
即：满足题意的的值为或或．
判断出，再分三种情况讨论，表示出，建立方程求解即可．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质，解本题的关键是分情况表示出和，用方程的思想也是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式；
原式
；
原式；
原式

；
原式
． 

【解析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案；
直接利用单项式乘多项式计算得出答案；
直接利用多项式乘多项式计算得出答案；
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案；
直接利用平方差公式将原式变形，再利用完全平方公式计算得出答案；
直接利用完全平方公式将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：，即，
原式． 

【解析】原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，以及整体代入思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
由知，
，
，
又，
，
故答案为：．
根据中线的定义作图即可；
根据角平分线的定义作图即可；
根据三角形的高的定义求解即可；
由知，结合、可得答案．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握中线、角平分线和三角形的高的定义．
 

20.【答案】解：；
答案不唯一．添加条件，理由如下：
因为，
所以．
所以．
在和中，
，
所以≌；
所以． 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识．
由全等三角形的判定方法即可得出答案；
答案不唯一，添加条件，证明≌，即可得出．
【解答】
解：因为，
所以．
所以．
在和中，，，，
不能判定和全等；
在和中，
，
所以≌；
在和中，
，
所以≌；
因为，
所以，
在和中，
，
所以≌；
故答案为：；
见答案．  

21.【答案】解：如图所示：

，，理由如下：
，，
为等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据题意画出图形即可；
由“”可证≌，可得，，由余角的性质可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：大长方形的面积，
大长方形的面积，
，
故答案为：；
阴影部分的面积


．
答：阴影部分的面积为；
由题意得：，，
，
，
，
，
图中所有裁剪线虚线部分长之和．
答：图中所有裁剪线虚线部分长之和．
依据大长方形的面积，即可得到；
阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积；
依据，，即可得到，进而得出，据此可得所有裁剪线虚线部分长之和．
本题考查的是因式分解和整式的乘法．解题的关键是掌握因式分解的方法，掌握整式的乘法法则，读懂图形信息、熟记完全平方公式．
 

23.【答案】解：如图，过点作于，

，，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
和，
，
． 

【解析】由“”可证≌，可得，，由“”可证和，可得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

24.【答案】证明：如图，连接，

，，，三点共线，
和关于对称，
；
解：，

证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，证明和关于对称，即可解决问题；
证明≌，可得，，然后可得，所以，根据三角形的外角定义得，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是得到≌．
 

25.【答案】   

【解析】解：

．
故答案为：；
，
，
，
，，
解得，，
．
故答案为：．
原式变形后，利用完全平方公式配方即可；
已知等式整理后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出与的值，即可求出的值．
本题考查了配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质的灵活应用，要巧用公式进行灵活变形．
 

26.【答案】解：问题：过点作于，于，

是的角平分线，
，
，，，，
，
；

问题：在上截取，连接，

，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
≌，
，
；
由可知≌，
，，，
，
过点作于，于，
，
，
平分，
，
在上截取，

为等边三角形，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】问题：过点作于，于，根据三角形面积公式可得出答案；
问题：在上截取，连接，证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
过点作于，于，在上截取，证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．