2021-2022学年湖南省常德市汉寿县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南省常德市汉寿县八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 在平面直角坐标系中，点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 在中，，，，则该三角形为

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形

3. 六边形的内角和为

A.  B.  C.  D.

4. 下列说法正确的是

A. 正方形的对角线互相垂直且相等
B. 矩形的对角线互相垂直且相等
C. 菱形的对角线互相垂直且相等
D. 平行四边形的对角线互相平分且相等

5. 如图所示，▱的顶点坐标是，顶点坐标的是，则顶点坐标是

A.
B.
C.
D.

6. 中，，，，点、、分别是三边的中点，则的周长为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在▱中，，，，则的长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，若四边形是菱形，且，则边的长为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值是______．
10. 如图，已知中，，，如果，那么______．
    
     

11. 在▱中，若，则______．
12. 如图，与关于点成中心对称，，，，则______．

13. 如图，在中，，平分交于点，，垂足为，若，，则______．
     

14. 如图，在中，，是线段的垂直平分线，已知，则______．

15. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为点，则______．
     

16. 如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，，分别是两个正方形的中心，则阴影重叠部分的面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共52.0分）

17. 一个多边形的内角和比它的外角和的倍还多度，求这个多边形的边数．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，，是上的一点，且，．
    求证：≌；
    是不是直角三角形？并说明理由．
    
     

19. 如图，在边长为的正方形中，为的中点，是上一点，且．
    求，的长；
    求证：是直角三角形．
    
     

20. 如图，四边形中，，将对角线向两端分别延长至点，，使连接，，若证明：四边形是平行四边形．

21. 如图，点、分别在、上，分别交、于点、，，．
    求证：四边形是平行四边形；
    已知，连接，若平分，求的长．

22. 如图，在中，，垂足为，，分别为边，的中点，连接，．
    若，，求的度数；
    若，，，求的周长．

23. 如图，在中，是的角平分线，过点作交于点，过点作交于点．
    求证：四边形为菱形；
    若，，，求线段的长．

24. 如图，在▱中，对角线与相交于点，点，在上，且，连接并延长至点，使，连接，，．
    当时，证明：四边形是矩形；
    当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特点是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限。
【解答】
解：点中，横坐标，纵坐标，
点在第二象限。
故选B。  

2.【答案】
 

【解析】解：，，
，
，
是直角三角形，．
故选：．
，，正好是一组勾股数，根据勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，从而求解．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形．对于常见的勾股数如：，，或，，等要注意记忆．
 

3.【答案】
 

【解析】解：根据多边形的内角和可得：
．
故选：．
利用多边形的内角和即可解决问题．
本题考查了对于多边形内角和定理的识记．边形的内角和为．
 

4.【答案】
 

【解析】解：正方形的对角线互相垂直且相等，所以选项符合题意；
矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，所以选项不符合题意；
菱形的对角线互相垂直，但不一定相等，所以选项不符合题意；
平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等，所以选项不符合题意，
故选：．
根据正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质依次进行判断即可．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：过作，过点作，
顶点的坐标是，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
点的坐标为．
故选：．
此题可过作，过点作，根据勾股定理求出的长度，则点坐标便不难求出．
此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质和点的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
 

6.【答案】
 

【解析】解：点，分别、的中点，，
，
同理，，，
的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理分别求出、、，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，，
，
．
故选：．
由平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得，，又由，根据勾股定理，即可求得的长．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用．
 

8.【答案】
 

【解析】解：四边形是矩形，四边形是菱形，
，，，，，，
．
又，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质和菱形的性质得，，因为四边形是菱形，所以可求出，，进而可求出的长．
本题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；解题的关键是求出．
 

9.【答案】
 

【解析】解：点在轴上，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用轴上点的坐标特点得出，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，熟知轴上的点的横坐标为零是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：中，，，
，
又，
．
故答案为：．
由中，，，则可得，即可求出的长；
本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，知道度角所对的直角边等于斜边的一半．
 

11.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质，对角相等解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，灵活的应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：与关于点成中心对称，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据中心对称得出，，根据勾股定理求出即可得出的长度．
本题主要考查中心对称的知识，熟练掌握中心对称的性质及勾股定理是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：平分交于点，，，
，
，
在中，．
故答案为：．
先根据角平分线的性质得到，则，然后利用勾股定理计算的长．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了勾股定理．
 

14.【答案】
 

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得，，
．
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据直角三角形的两锐角互余列式计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，
矩形的面积为，，
，
对角线，交于点，
的面积为，
，，
，即，
，
，
，
故答案为：．
依据矩形的性质即可得到的面积为，再根据，即可得到的值．
本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接B、，如图：
，，
，
四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，
、两个正方形阴影部分的面积是，
同理另外两个正方形阴影部分的面积也是，
．
故答案为：．
根据题意作图，连接，，可得≌，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案．
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转移．
 

17.【答案】解：设这个多边形的边数为，则内角和为，依题意得：
，
解得．
答：这个多边形的边数是．
 

【解析】设这个多边形的边数为，再根据多边形的内角和公式和多边形的外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．从边形一个顶点可以引条对角线．
 

18.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌；
解：是直角三角形，理由如下：
证明：由得≌，
，
，
，
，
，
为直角三角形．
 

【解析】根据证明和全等解答即可；
根据全等三角形的性质及平角的定义解答即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得，
；
在中，，，，
由勾股定理得，
；
证明：在中，，
由勾股定理得，；
在中，，
，
，
是直角三角形．
 

【解析】利用勾股定理可得和的长；
利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可证明结论．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，以及勾股定理逆定理等知识，熟练掌握勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
在和中，

≌，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】先根据证出≌，从而得到，根据等角的补角相等可得，从而得到，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证四边形是平行四边形．
本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键在于先通过全等三角形证出．
 

21.【答案】解：证明：，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形；
平分，
，
，
，
，
，
又，
．
 

【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
 

22.【答案】解：，，
，
，分别为边，的中点，
，
，
在中，为边的中点，
，
，
，
；
在中，，，
由勾股定理得：，
，分别为边，的中点，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，，
，
为边的中点，
，
，
的周长．
 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，进而得到，计算即可；
根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
是的角平分线，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形；

解：如图连接，交于，
，，
，
平分，
．
由知，平行四边形是菱形，
则，，
，
即：，
由勾股定理得到：，即，
解得：，
．
 

【解析】根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定解答即可；
根据菱形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理等知识；证明平行四边形是菱形是本题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形．
，且，
又，
，且，
四边形是平行四边形．
四边形是平行四边形，

，
，
在平行四边形中，，
四边形是矩形；
解：当满足，且时，四边形是正方形，
证明：由可知：当时，四边形是矩形，
在中，，点是斜边的中点，
，
即，
当满足，且时，四边形是正方形．
 

【解析】证明四边形是平行四边形．四边形是平行四边形．进而根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解决问题；
根据直角三角形斜边的中线等于斜边一半即可解决问题．
本题主要考查了正方形的判定，直角三角形斜边的中线性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，关键在于应用全等三角形和正方形的知识解题．