2022-2023学年湖南省常德市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省常德市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在▱中，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，在中，，是的中点，若，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A. 对角线互相平分 B. 一组对边平行且相等
C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行，另一组对边相等

6.  “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列说法正确的是(    )

A. 平行四边形的对角线互相平分且相等 B. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形

8.  如图，在平行四边形中，，点为平行四边形内一点且，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  正十二边形的每一个外角等于______ 度

10.  如图，在中，，分别是边，的中点，若，则______．

11.  若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引条对角线，则它是______ 边形．

12.  如图，在菱形中，连接若，则的度数为______

13.  如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，若，，则的周长为______．

14.  如图，把矩形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则等于______．

15.  如图，在中，，，是的平分线，若，则的面积为______ ．

16.  如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为______．

三、解答题（本大题共10小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
一个多边形的内角和与外角和的和为，它是几边形？

18.  本小题分
如图，，，，，求的面积．

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，点是边上一点不与，重合，过点作，交边于点，且．

求证：四边形是矩形．

20.  本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，，，点为的中点．
求菱形的面积．
求的长．

21.  本小题分
如图，在中，是上的点，，，分别是，的中点，，求的长．

22.  本小题分
如图，已知点是▱对角线的中点，过点的直线分别交，于，两点．
求证：四边形是平行四边形．

23.  本小题分
如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，连接，且．
Ⅰ求证：；
Ⅱ若，，求的长．

24.  本小题分
如图，正方形的边长为，连接对角线，点为边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点恰好落在边上，过作于点．
求证：；
求的长度．

25.  本小题分
如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

26.  本小题分
在等腰中，，以为底角顶点作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接．
如图，当点在边上不与点、重合，且在外部时，求证：是等腰直角三角形；
如图，将图中绕点逆时针旋转，当点落在线段上时，连接，求证：；
如图，将绕点继续逆时针旋转，当平行四边形为菱形，且在的下方时，若，，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是，
故选：．
根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．
本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
．
故选：．
直接利用平行四边形的对角相等，进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确掌握平行四边形的对角相等是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在中，，是边的中点，，
则，
故选：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题主要考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
D、一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形；故本选项不能判定．
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别分析各选项，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定．熟记平行四边形的判定方法是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示，由题意，，，

大正方形的面积为，
，
，
，
，
，
，
小正方形的面积为，
故选：．
根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论．
本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，
故A不符合题意；
正方形的对角线相等且互相垂直平分，
故B符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
故C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，
故D不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质可判断，根据正方形的对角线的性质可判断，根据菱形的判定可判断，根据矩形的判定可判断，从而可得答案．
本题考查的是平行四边形的性质，菱形，矩形的判定，正方形的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，取，的中点，，连接，，，

则，
在平行四边形中，，，
，的中点为，，
，
，，
，，
，
过点作交于点，
，
，，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
．
故选：．
取，的中点，，连接，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，过点作交于点，根据平行线的性质证明为等腰直角三角形，进而可得结果．
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合以上知识的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：多边形的外角和为度，
每个外角度数为：．
根据多边形的外角和为度，再用度除以边数即可得到每一个外角的度数．
主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让度除以外角即可．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半．
由、分别是、的中点可知，是的中位线，利用三角形中位线定理可求出．
【解答】
解：、是、中点，
为的中位线，
．
故答案为：．  

11.【答案】六 

【解析】解：设多边形有条边，
则，解得．
故多边形的边数为，即它是六边形．
可根据边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：，列方程求解．
多边形有条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质求出的度数，可进而求出的度数．
本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的对边互相平行，对角线平分一组对角是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
是的垂直平分线，
，
的周长为：，
故答案为：．
由勾股定理先求解的长，再根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长为：，则可求得答案．
本题考查的是勾股定理，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
矩形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，
，
．
，
．
故答案为：．
根据平角的定义计算出，再根据折叠的性质得，所以，根据平行线的性质即可求解．
本题主要考查平行线的性质及折叠的性质，掌握两直线平行内错角相等是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
，平分，
，
的面积
故答案为：．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出边上的高是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，，
所以，
因为，
所以，
因为是的平分线，
所以，
所以，
在中，，
所以．
所以．
故答案为．
先利用三角形内角和定理与角平分线定义计算出，，则，再利用含度的直角三角形三边的关系得到，然后计算，即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
 

17.【答案】解：设多边形的边数为，由题意得：
，
解得 ，
这个多边形是十一边形． 

【解析】设多边形的边数为，可得：，再解方程可得答案．
本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理的综合应用，熟记公式是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，，，
，
在中，，，，
，
，
即为直角三角形，且，
的面积． 

【解析】先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，得出是直角三角形是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
，

       
       ，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形． 

【解析】根据垂直的定义得，从而得，则结合得，根据三角形内角和定理求出，再根据矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定，三角形内角和定理等，求出是解此题的关键．
 

20.【答案】解：四边形是菱形，，，
；
四边形是菱形，，，
，，，
，
，
点为的中点．
，
即的长为． 

【解析】直接由菱形面积公式列式计算即可；
由菱形的性质得，，，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接，

，
是等腰三角形，
又是的中点，
是的中线，
也是的高，
即
又是的中点，
是的中线，
，
又，
． 

【解析】连接，证明，可得是的中线，从而可得答案．
本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，熟记以上概念并灵活应用是解本题的关键．
 

22.【答案】证明：在▱中，，
，，
在与中，
，
≌，
，
四边形为平行四边形． 

【解析】在题中通过全等可证三角形和三角形全等，从而，再者，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可证．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】证明：Ⅰ，是的平分线，，
，，
在与中，
，
≌，
；
Ⅱ，，
，
，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】Ⅰ通过证明≌，即可得出结论；
Ⅱ通过证明≌，得，再进行等量代换即可．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟记全等三角形的判定定理及角平分线的性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
在和中，

，
；
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得；
由正方形的性质可得，，由可得，由此即可求解，由等腰直角三角形的判定与性质可得，由的结论可得，本题得解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
解：是的中点，
． 

【解析】可先证得≌，可求得，可证得四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得，可证得结论；
根据条件可证得，由三角形面积公式可求得答案．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
 

26.【答案】解：证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
如图，连接，设交于，

四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，
；
当时，四边形是菱形，设交于，

，，
垂直平分，
，
，
又，
，
． 

【解析】依据，，即可证明是等腰直角三角形；
连接，交于，先证明≌，再证明是等腰直角三角形即可得出结论；
设交于，当时，四边形是菱形，可证垂直平分，先求得，再求出即可得出长度．
本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等条件是难点．