北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元检测（1）

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北师大版数学九年级上册第四章 图形的相似 单元检测（1）
第I卷（选择题）
评卷人
得分



一、单选题
1．如果4a＝5b(ab≠0)，那么下列比例式变形正确的是（       ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，如果AD=2cm，DB=1cm，AE=1.8cm，则EC=（　　）

A．0.9cm B．1cm C．3.6cm D．0.2cm
3．下列各组图形不一定相似的是（　　）
A．两个等边三角形                                                   B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个正方形                                                          D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
4．已知线段a，b，c，求作线段x，使ax＝bc，下列每个图中的两条虚线都是平行线，则作法正确的是（       ）
A． B．
C． D．
5．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，，．若S=3，则的值为（ ）

A．24 B．12 C．6 D．3
6．如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5m．已知小明的身高为1.5m，则这棵槟榔树的高是（       ）

A．3m B．4.5m C．5m D．7.5m
7．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C的相似比是1：2．已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（       ）
A．3 B．6 C．9 D．12
8．有同一个四边形地块的甲乙两张地图，比例尺分别为与，则甲地图与乙地图的相似比等于（ ）
A． B． C． D．
9．下面四组线段中不能成比例线段的是（ ）
A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、
10．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（       ）．

A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
评卷人
得分



二、填空题
11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O与AD上的一点E作直线OE，交BA的延长线于点F．若AD＝4，DC＝3，AF＝2，则AE的长是______．

12．已知，那么=_____
13．如果线段AB=10，点C是AB上靠近点B的黄金分割点，则 AC 的值约是____________．
14．如图，在ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是____．

15．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米．

16．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为(1，1)，点C的坐标为(4，2)，则这两个正方形位似中心的坐标是______

17．如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则第4个正方形的边长是_____，S3的值为_____．

评卷人
得分



三、解答题
18．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
19．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．

20．如图，已知△ABC中，AB=20，BC=14，AC=12，△ADE与△ACB相似，∠AED=∠B，DE=5．求AD，AE的长．

21．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3．若∠B＋∠B′＝90°，求△ABC与△A′B′C′的面积比．

22．如图，AC//BD，AD和BC相交于点E，EF//AC交AB于点F，且AC＝p，BD＝q，EF＝r．

(1)求证：；
(2)若AC＝20，BD＝80，试求EF的值．
23．小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．请你求出松树的高．

24．如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3，-1)，(2，1)．

(1)以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍(即新三角形与原三角形的相似比为2)，画出图形；
(2)分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为(x，y)，写出点M的对应点M′的坐标．
25．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC于点O，点F是线段AO上的点(与A，O不重合)，∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF．
(1)求证：BE＝BF；
(2)如图②，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．求证：△AGC∽△KGB．


参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据等式的性质：两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．
【详解】
解：两边都除以20，得，故A正确；
B、两边都除以20，得，故B错误；
C、两边都除以4b，得，故C错误；
D、两边都除以5a，得，故D错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变是解题关键．
2．A
【解析】
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求EC的长．
【详解】
解：∵DE∥BC，
∴，即，
∴EC=0.9（cm）．
故选A．
【点睛】
考点：平行线分线段成比例．
3．D
【解析】
【详解】
解：A．两个等边三角形，对应边的比相等，角都是60°，相等，所以一定相似；
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；
C．两个正方形，对应边的比相等，角都是90°，相等，所以一定相似；
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是45°，而另一个等腰三角形的顶角是45°，则两个三角形一定不相似．
故选D．
4．A
【解析】
【分析】
结合题中线段的平行关系，得出对应边成比例，进而满足结论ax＝bc即可．
【详解】
解：A．由题意可得，，即ax＝bc，故选项正确，符合题意；
B．由题意可得，，即ac＝bx，故选项错误，不符合题意；
C．由题意可得，，即ac＝bx，故选项错误，不符合题意；
D．由题意可得，，即ac＝bx，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
5．B
【解析】
【详解】
过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=3，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP==12．
故选B．

6．D
【解析】
【分析】
设这棵槟榔树的高是x米，根据同一时刻物高与影长成正比求出x的值即可．
【详解】
解：设这棵槟榔树的高是x米，
∵小明的身高为1.5米，他的影长为1米，槟榔树的影长为5米，
∴ ，
解得x＝7.5（米）．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
7．D
【解析】
【分析】
根据位似图形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】
解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1：2，
∴△ABC的面积与△A′B′C′的面积比是1：4，
∵△ABC的面积是3，
∴△A′B′C′的面积是12，
故选：D．
【点睛】
本题考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于相似比的平方是解答的关键．
8．B
【解析】
【分析】
根据相似多边形的相似比等于对应边的比，用两个地图的比例尺相比求解即可．
【详解】
解：甲地图与乙地图的相似比=
故选B．
9．B
【解析】
【分析】
根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案．
【详解】
A．2×6=3×4，能成比例；
B．4×10≠5×6，不能成比例；
C．1×=×，能成比例；
D．2×=×，能成比例．
故选B．
【点睛】
本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．
10．D
【解析】
【分析】
过点B作轴于E，过点作轴于F，根据位似变换的性质得出的边长放大到原来的2倍，，，，进而得出点B的横坐标．
【详解】
解：如图，过点B作轴于E，过点作轴于F，

点C的坐标是，
以点C为位似中心，在x轴的下方作把的边长放大到原来的2倍的位似图形，
点B的对应点的横坐标是a，
，，
，
点B的横坐标是：．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出FO＝a，CF＝a＋1，CE＝，是解决问题的关键．
11．
【解析】
【分析】
延长FO，交BC于点G．由平行四边形的性质得出OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，根据ASA证明△DOE≌△BOG，得出DE=BG．再由AE∥BG，得出△AEF∽△BGF，根据相似三角形对应边成比例得出，设AE=2x，则BG=5x，DE=BG=5x，根据AE+DE=AD=4，求出x的值，再求出AE的长．
【详解】
：如图，延长FO，交BC于点G．


∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，
∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA）．
∴DE=BG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，
∴，即，
设AE=2x，则BG=5x，
∴DE=BG=5x，
∵AE+DE=AD=4，
∴2x+5x=4，
∴x=，
∴AE=2x=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
12．
【解析】
【详解】
解：∵，
∴y=3x，
∴．
故答案为．
13．6.18
【解析】
【详解】
解：∵点C是AB上靠近点B的黄金分割点，
∴AC＞BC，AC为较长线段，
∴AC=AB≈0.618AB=0.618×10=6.18．
故答案为：6.18．
14．6
【解析】
【详解】
∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得：BC=6．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例．根据平行线和其所截线段得出比例式是解题关键．
15．5
【解析】
【分析】
由已知易得：△MBA∽△MCO，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【详解】
根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知，
即，
解得AM=5．
∴小明的影长为5米．
【点睛】
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长
16．(−2,0)或
【解析】
【分析】
根据已知可知需分当位似中心在两个正方形同旁和位似中心在两个正方形之间进行讨论；
【详解】
两个图形位似时，位似中心就是CF与x轴的交点，

设直线CF解析式为y=kx+b,将C(4,2),F(1,1)代入，得
,解得,即
令y=0得x=−2，
∴O′坐标是(−2,0).
当OC是对应点时，BG是对应点，则OC和NG的交点就是对称中心，

设OC的解析式是y=mx，则4m=3，
解得：,则OC的解析式是
设BG的解析式是y=nx+d，
则
解得：
则直线BG的解析式是
则   
解得：   
则交点是
故答案为(−2,0)或
【点睛】
考查位似变换，两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行．则位似中心就是两对对应点的延长线的交点．
17．         
【解析】
【分析】
先求A的坐标为（27，9），再求第4个正方形的边长是，同理可得第五个正方形的边长为 ，第六个正方形的边长为 ，，然后找出规律即可．
【详解】
正比例函数y=x的图象与x轴交角的正切值为，已知A的坐标为（27，9），即可得第4个正方形的边长是，同理可得第五个正方形的边长为 ，第六个正方形的边长为 ，然后根据阴影部分的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角三角形的面积可得S3= ．
【点睛】
本题考查规律探究题，掌握规律探究方法是解题关键．
18．△ABC是直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】
根据，可以设=k，然后根据a+b+c=12，可以求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断△ABC的形状．
【详解】
解：令=k，
∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，
∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8，
又∵a+b+c=12，
∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，
∴k=3，
∴a=5，b=3，c=4，
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答此类问题的关键是明确题意，求出a、b、c的值．
19．证明见解析．
【解析】
【分析】
先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．
【详解】
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵点E为AC的中点，
∴ED＝EC，
∴△ECD是等腰三角形，
∴∠EDC＝∠C，
∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，
∵∠ABC＝2∠C，
∴∠ABC＝∠AEF，
∵∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
20．
【解析】
【分析】
根据题意△ADE与△ACB相似，再利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD，AE．
【详解】
∵△ADE与△ACB相似，
∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴，
∴
∴AD=
∵
∴
∴AE= .
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的性质与应用.
21．S△ABC：S△A′B′C′＝25：9
【解析】
【分析】
分别作AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，则∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，由∠B＋∠B′＝90°，可得∠BAD＝∠B′，继而可证△ABD∽△B′A′D′，然后根据相似三角形的性质可得S△ABD∶S△B′A′D′＝()2＝25∶9，然后根据等腰三角形的性质即可求得答案.
【详解】
解：分别作AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，如图，
则∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．

∴∠B＋∠BAD＝90°．
又∵∠B＋∠B′＝90°，
∴∠BAD＝∠B′．
∴△ABD∽△B′A′D′．
∴S△ABD∶S△B′A′D′＝()2＝25∶9．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴S△ABC＝2S△ABD．
同理可得S△A′B′C′＝2S△B′A′D′．
∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9．
【点睛】
本题主要考查了同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，根据相似三角形的判定与性质把三角形的面积比转化为对应边比的平方是解题的关键.
22．(1)证明见解析
(2)16
【解析】
【分析】
（1）由EF//AC，得到∠EFB＝∠BAC，∠BEF＝∠BCA，证得△BEF∽△BCA，得到，由EF//BD，得到∠AEF＝∠ADB，∠AFE＝∠ABD，可证△AFE∽△ABD，得到，两式相加得到＝＝1，即可得到结论；
（2）由（1）知，代入数据即可得到结果．
(1)
证明：∵EF//AC，
∴∠EFB＝∠BAC，∠BEF＝∠BCA，
∴△BEF∽△BCA，
∴
∵AC//BD，EF//AC，
∴EF//BD，
∴∠AEF＝∠ADB，∠AFE＝∠ABD，
∴△AFE∽△ABD．
∴．
∴＝＝1．
∴ ＝1．
∴．
(2)
解：由(1)知，，
∵AC＝20，BD＝80，
∴
∴EF＝16，经检验，符合题意；
∴EF的值为16．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
23．这棵古松的高约为10.2米.
【解析】
【分析】
根据反射定律可以推出∠ACB=∠ECF，∠ADB=∠DGH，所以可得△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH，再根据相似三角形的性质解答．
【详解】
解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDF，
设AB＝x，BC＝y
∴，
解得．
答；这棵古松的高约为10.2米
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
24．(1)见解析
(2)B′(-6，2)，C′(-4，-2)
(3)M′(-2x，-2y)
【解析】
【分析】
（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置即可；
（2）直接利用（1）中图形得出各点坐标即可；
（3）根据位似图形的特征及点的坐标特征解答即可．
(1)
解：如图，△OB′C′即为所求．

(2)
解：由（1）图可得：B′(-6，2)，C′(-4，-2)；
(3)
解：因为点M(x，y)在△OBC内部，则它的对应点M′的坐标是点M的坐标乘2，并改变符号，即M′(－2x，－2y)．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
25．（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】
（1）通过证明△EAB≌△FAB，即可得到BE=BF；
（2）首先证明△AEB≌△AFC，由相似三角形的性质可得：∠EBA=∠FCA，进而可证明△AGC∽△KGB．
【详解】
（1）证明：∵AB=AC，AO⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=45°，
∴∠EAB=∠EAF﹣∠BAF=45°，
∴∠EAB=∠BAF，
在△EAB和△FAB中，
∵AE=AF，∠FAB=∠BAF，AB=AB，
∴△EAB≌△FAB（SAS），
∴BE=BF；
（2）证明：∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，
∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠EBA=∠FCA，
又∵∠KGB=∠AGC，
∴△AGC∽△KGB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．题目的综合性很强，难度不小，对学生的解题能力要求很高．