2022年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学一模试卷（含解析）

2022年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的绝对值是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列所给的汽车标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是

A.
B.
C.
D.

5. 方程的解为

A.  B.  C.  D.

6. 把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的顶点坐标是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，为的直径，点在的延长线上，过点作的切线，点为切点，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，将绕点逆时针旋转得，点，分别为点，的对应顶点，连接，若，则为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，点，分别在，上，，：：，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，，两地之间有一平直马路，小明从地步行前往地，在地停留一段时间后，小明骑自行车返回地，小明与地的距离单位：与离开地的时间单位：之间的对应关系如图所示，下列选项不正确的是

A. 小明从地步行前往地的平均速度为
B. 小明在地停留分钟
C. 小明骑自行车返回的平均速度为
D. 小明从地出发到返回地共用

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 将数用科学记数法表示为______．
12. 在函数中，自变量的取值范围是______．
13. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为______．
14. 计算的结果是______．
15. 多项式分解因式的结果是______ ．
16. 不等式组的解集是______．
17. 不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是黑球的概率是______．
18. 菱形的周长为，该菱形一组对边的距离为，则的长为______．
19. 已知扇形的弧长为，半径为，则此扇形的圆心角为______度．
20. 如图，矩形的对角线的垂直平分线交于点，交于点，连接，的面积为，，则的长为______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

21. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为，线段，的端点均在小正方形的顶点上．
    在图中确定点，点在小正方形的顶点上，请你连接，得到，使，；
    在确定点后，在网格内确定点，，点，都在小正方形的顶点上，请你连接，，，使四边形为面积为的平行四边形，请你连接，直接写出的长．

23. 老年人的生活受到全社会的广泛关注，“夕阳红”老年大学对部分学生就如何利用空闲时间，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，要求被抽查的学生在四种利用空闲时间的方式中选择唯一一种，绘制了如下尚不完整的条形统计图，且知在抽样调查中“看书”的同学占抽样调查人数的，请你根据提供的信息解答下
    列问题：
    接受问卷调查的学生共有多少名？
    请通过计算补全条形统计图；
    若“夕阳红”大学共有名学生，请你估计该校学生在利用空闲时间“运动”的有多少名？

24. 在正方形中，点在上、点在的延长线上，，连接．
    如图，求证：；
    如图，设，交于点，延长交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰直角三角形．

25. “高远”中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球，相同的足球若干个．若购进篮球个，足球个共需元；若购进篮球个，足球个共需元．
    求每个篮球、足球分别为多少元？
    高远中学购进篮球、足球共个，若购进篮球、足球的总费用不超过元，求至少购进足球多少个？
    
    
    
    
    
    
     
26. 四边形为的内接四边形，．
    如图，求证：；
    如图，为的直径，连接，过点作的垂线，点为垂足，求证：；
    如图，在的条件下，过点作的垂线，点为垂足，若，，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     

在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，，．

如图，求抛物线解析式；
如图，点在第一象限，点在抛物线上，点的横坐标为，连接，，，的面积为，求与之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围；
如图，在的条件下，连接并延长交直线于点，点在第二象限，连接，，，，点在上，连接，若，，求值．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
直接根据绝对值的意义求解．
本题考查了绝对值：若，则；若，则；若，则．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
A.根据幂的乘方运算法则判断；
B.根据合并同类项法则判断；
C.根据同底数幂的乘法法则判断；
D.根据完全平方公式判断．
本题考查了合并同类项，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】
 

【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
解得：，
检验：把代入得：，
则分式方程的解为．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

6.【答案】
 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，
平移后的抛物线的解析式为：，即．
则平移后的抛物线的顶点坐标为：．
故选：．
直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．
此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：连接，

是的切线，
，
，
，
设圆的半径，
，
，
，
，即，
解得，不合题意，舍去，
，
．
故选：．
连接，根据切线的性质及三角三角函数的定义可得，设圆的半径，利用勾股定理可得方程，求解即可得到答案．
此题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：将绕点逆时针旋转得，
，，，
，
，
，
，
故选B．
由旋转的性质和等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可求．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
∽，
，
，
，
，
，
故选：．
由可得∽，再根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：根据图象可知，小明从地步行前往地的平均速度：，
选项不符合题意，
根据图象可知，，
选项符合题意；
，
选项不符合题意；
根据图象可知，小明从地出发到返回地共用，
选项不符合题意，
故选：．
根据“路程时间速度”，求出小明从地步行前往地的平均速度以及返回的速度，根据图象即可进行判断
本题考查了一次函数的实际应用，理解图象并根据题意求出速度是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
，
故答案为．
根据分式有意义的条件：分母不为进行解答即可．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件：分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：将点代入反比例函数，
得，
解得，
故答案为：．
将点代入解析式，即可求出的值．
本题考查了反比例函数的解析式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，
解不等式，得．
解不等式，得．
原不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：从袋中任意摸出一个球，共有种等可能结果，其中是黑球的有种结果，
从袋中任意摸出一个球，是黑球的概率为，
故答案为：．
从袋中任意摸出一个球，共有种等可能结果，其中是黑球的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

18.【答案】或
 

【解析】解：分情况讨论：
如图，在菱形中，当边与边的距离为时，

菱形的周长为，
，
，
，
；
如图，在菱形中，当边与边的距离为时，

由可知，
，
．
，
综上，的长为或，
故答案为：或．
分情况讨论，当边与边的距离为时，利用两次勾股定理求解即可；当边与边的距离为时，利用菱形面积的不同求法列式计算即可．
本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用以及菱形的面积计算，注意分类讨论思想的应用，不要漏解．
 

19.【答案】
 

【解析】解：设此扇形的圆心角为，
由题意得，，
解得，，
故答案为：．
设此扇形的圆心角为，代入弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式是解题的关键．
 

20.【答案】
 

【解析】解：如图，设，交于点，

四边形是矩形，
，，
，
，
在中，，
设，则，，
是线段的垂直平分线，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
解得：或不合题意，舍去，
，
故答案为：．
设，交于点，由矩形的性质，三角形的正切的定义得出，设，则，，由线段的垂直平分线的性质得出，由∽，得出，代入计算求出，进而得出，由，得出，得出或不合题意，舍去，即可得出的长度．
本题考查了解直角三角形，线段的垂直平分线，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：


，


，
当时，原式．
 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示：

由勾股定理得，，，
，
是直角三角形，
；
如图所示：

．
 

【解析】根据勾股定理和逆定理解答即可；
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查勾股定理和平行四边形的性质，关键是根据勾股定理得出边长解答．
 

23.【答案】解：人，
答：接受问卷调查的学生共有人；
人，
补全条形统计图如下：

人，
答：“夕阳红”大学名学生中利用空闲时间“运动”的大约有名．
 

【解析】根据频率即可求出调查人数；
求出“聚会”的人数即可补全条形统计图；
求出样本中“运动”所占的百分比，即可估计总体中“运动”所占的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查条形统计图，掌握频率是解决问题的前提．
 

24.【答案】证明：过点作于点，如下图，

四边形是正方形，
，，
四边形为矩形，
，，
，
，
；
解：图中等腰直角三角形有：、、、．
理由如下：
，，
，
，
为等腰直角三角形；
，
，
，
是等腰直角三角形；
，，
，
，
为等腰直角三角形；
，，
，
，
为等腰直角三角形．
 

【解析】过点作于点，再证明便可；
证明，便可判断：、、、都是等腰直角三角形．
本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，第题关键在于构造等腰直角三角形．
 

25.【答案】解：设每个篮球需要元，每个足球需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要元，每个足球需要元．
设购进足球个，则购进篮球个，
依题意得：，
解得：．
答：至少购进足球个．
 

【解析】设每个篮球需要元，每个足球需要元，根据“若购进篮球个，足球个共需元；若购进篮球个，足球个共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进足球个，则购进篮球个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：，
，
，
，
；
证明：如图，连接，过点作于，

则，
，
，
，
，
，，

，
，
在与中，
，
≌，
，
，
即；
解：如图，连接，，延长交于，过点作于，

由得，
由得，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
在与中，
，
≌，
，
，
设，，则，
，
，
，，
四边形是矩形，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
在与中，根据勾股定理得，，
，
即，
，
整理得或舍去，
把代入得，
解得负值已舍，
．
 

【解析】根据，得，则，即可证明；
，连接，过点作于，利用垂径定理和三角形中位线定理可得，再利用证明≌，可得结论；
连接，，延长交于，过点作于，由得，证明≌，得，，设，，则，再利用勾股定理列出方程，从而解决问题．
本题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，圆周角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解决问题的关键．
 

27.【答案】解：令，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
将点、代入，
，
，
；
点的横坐标为，
，
过点作轴交于，
设直线的解析式为，
，
，
，
，
，
；
设，，
，，
，
，
，
或，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
延长交轴于点，过作轴交于，过作轴，交轴于点，
设，，则，，
，
，
在中，，
，
，，
轴，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
，，
是的中点，
，
，
，
，
由，可得直线的解析式为，
联立，
，
解得舍或，
，
．
 

【解析】利用已知求得，的坐标代入，利用待定系数法即可；
过点作轴交于，点在第一象限，点在抛物线上，点的横坐标为，故设，再设出直线的解析式为，求出直线解析式，求出的长，利用铅垂线法即可表示出的面积；
设，，利用两点间距离公式表示出求得的值，即求得点的坐标，再利用勾股定理求得的长，进而得，证得≌，根据全等三角形的性质得到，，最后证得≌，利用，求得的值，利用待定系数法求得直线的解析式与抛物线的解析式，联立组成方程组即可求得点的坐标，也就可以求得此时的值．
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式，直线与抛物线的交点问题，铅垂高求三角形的面积，平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解本题的关键．