2021年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学三模试卷

这是一份2021年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学三模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学三模试卷
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）在3，0，﹣2，﹣四个数中，最小的数是（　　）
A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2m3+m3＝3m6 B．m3•m2＝m6
C．（﹣m4）3＝m7 D．（﹣2m2）2＝4m4
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
6．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
8．（3分）△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2＝c2，那么下列结论正确的是（　　）
A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b
9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2 B． C． D．
10．（3分）如图，点D，E在△ABC的边AB上，点F，G在AC上，AD＝BE，DF∥EG，EG∥BC，下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）为了响应中央号召，今年某市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到234000000元，将234000000用科学记数法可表示为 　 　．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
13．（3分）计算：﹣＝　 　．
14．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点E、F，如果∠1＝46°，那么∠EFD是 　 　度．

15．（3分）分式方程＝的解是　 　．
16．（3分）不等式组的解集为 　 　．
17．（3分）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有　 　个．
18．（3分）一个扇形所在圆的半径为3，扇形的面积是3π，则该扇形的圆心角为 　 　度．
19．（3分）△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，则∠BAC的余弦值为 　 　．
20．（3分）如图，点E在菱形ABCD的边BC上，连接AE，点F为AD的中点，FG⊥AE，点G为垂足，∠B＝60°，AE＝7，FG＝2，则AG的长为 　 　．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷（x﹣2﹣）的值，其中x＝4cos30°+2．
22．（7分）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A、点B和点C在小正方形的顶点上．
（1）在图中确定点D，点D在小正方形的顶点上，连接DC，DA，使得到的四边形ABCD为中心对称图形；
（2）在（1）确定点D后，在图中确定点E，点E（不与点C重合）在小正方形的顶点上，连接ED，EB得到凸四边形ABED，使∠EBA＝∠EDA，直接写出ED的长．

23．（8分）高远中学要了解全校学生对不同类别电视节目的喜爱情况，围绕“在体育、新闻、动画、娱乐四类电视节目中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中最喜欢动画类电视节目的人数占被抽取人数的36%．

请你根据以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果全校共有2500名学生，请你估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有多少名？
24．（8分）如图，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交AD于E，∠ABC的平分线交ED于点F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若∠A＝120°，BF＝8，EF＝3，求BC的长．

25．（10分）某商店准备购进甲、乙两种商品，若购进一个甲商品比购进一个乙商品多用50元；若购进4个甲商品与购进5个乙商品所用金额相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）该商店甲商品每个的售价定为280元，乙商品每个的售价定为220元，若商店购进乙商品的数量比购进甲商品的数量的2倍还多5个，若购进的甲、乙两种商品全部售出后总获利不少于5000元，求该商店至少购进甲商品多少个？
26．（10分）如图，⊙O的弦AC与BD互相垂直于点E，OA交ED于点F．

（1）如图（1），求证：∠BAC＝∠OAD；
（2）如图（2），当AC＝CD时，求证：AB＝BF；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点P，Q在CD上，点P为CQ中点，∠POQ＝∠OFD，DF＝EC，DQ＝6，求AB的长．
27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣3x+3交x轴于点C，交y轴于点B，点A在x轴负半轴上，∠BAC＝2∠OBC．

（1）如图（1），求直线AB的解析式；
（2）如图（2），点P在第二象限，点P的横坐标为t，点P在AB上，点D与点B关于x轴对称，过点P作AD的垂线，点H为垂足，PH的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点E在第三象限，DE∥AC，过点E作直线BC的垂线，点F为垂足，若五边形AEDOP的面积为12，tan∠BPF＝2，求点P的坐标．

2021年黑龙江省哈尔滨市道里区中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）在3，0，﹣2，﹣四个数中，最小的数是（　　）
A．3 B．0 C．﹣2 D．﹣
【分析】依据比较有理数大小的方法判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜0＜3，
∴四个数中，最小的数是﹣2，
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．2m3+m3＝3m6 B．m3•m2＝m6
C．（﹣m4）3＝m7 D．（﹣2m2）2＝4m4
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、以及幂的乘方与积的乘方分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、2m3+m3＝3m3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、m3•m2＝m5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣m4）3＝﹣m12，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣2m2）2＝4m4，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可．
【解答】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；
B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；
C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；
D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；
故选：B．
5．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．
故选：B．
6．（3分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤2且m≠1．
故选：D．
7．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝（k＞0）图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有（　　）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】根据反比例函数的增减性再结合反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：∵k＞0，函数图象在一三象限；
若x1＜0＜x2．说明A在第三象限，B在第一象限．
第一象限的y值总比第三象限的点的y值大，∴y1＜0＜y2．
故选：A．
8．（3分）△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，如果a2+b2＝c2，那么下列结论正确的是（　　）
A．csinA＝a B．bcosB＝c C．atanA＝b D．ctanB＝b
【分析】由于a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C＝90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．
【解答】解：∵a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°．
A、sinA＝，则csinA＝a．故本选项正确；
B、cosB＝，则cosBc＝a．故本选项错误；
C、tanA＝，则＝b．故本选项错误；
D、tanB＝，则atanB＝b．故本选项错误．
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝3，
∴BC＝＝5，
∵CD＝DB，
∴ED＝DC＝DB＝，
∵•BC•AH＝•AB•AC，
∴AH＝，
∵AE＝AB，
∴点A在BE的垂直平分线上．
∵DE＝DB＝DC，
∴点D在BE的垂直平分线上，△BCE是直角三角形，
∴AD垂直平分线段BE，
∵•AD•BO＝•BD•AH，
∴OB＝，
∴BE＝2OB＝，
在Rt△BCE中，EC＝＝＝，
解法二：连接BE，AD于点F，DF是三角形BCE中位线，求出DF，可得结论．
故选：D．

10．（3分）如图，点D，E在△ABC的边AB上，点F，G在AC上，AD＝BE，DF∥EG，EG∥BC，下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由DF∥EG∥BC，可以得出△ADF∽△AEG∽△ABC，由相似三角形的性质可以判断B、C、D不正确，由平行线段成比例，可以得出A正确．
【解答】解：∵DF∥EG，EG∥BC，AD＝BE，
∴DF∥EG∥BC，
∴＝＝＝＝，
故A正确，
∵DF∥EG，
∴＝，
AF≠BE，
故B不正确，
∵DF∥EG，
∴＝，
故C不正确，
∵DF∥EG，
∴＝，
又∵AD＝BE，
∴＝，
故D不正确，
故选：A．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）为了响应中央号召，今年某市加大财政支农力度，全市农业支出累计达到234000000元，将234000000用科学记数法可表示为 　2.34×108　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：234000000＝2.34×108，
故答案为：2.34×108．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠2　．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
13．（3分）计算：﹣＝　　．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为：．
14．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点E、F，如果∠1＝46°，那么∠EFD是 　134　度．

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可以直接求出．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝46°，
∴∠EFD＝180°﹣∠1＝180°﹣46°＝134°．
故答案为：134．
15．（3分）分式方程＝的解是　x＝1　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+3＝4x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
故答案为：x＝1．
16．（3分）不等式组的解集为 　﹣3＜x＜2　．
【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可求解．
【解答】解：，
解①得x＜2，
解②得x＞﹣3．
故不等式组的解集是﹣3＜x＜2．
故答案为：﹣3＜x＜2．
17．（3分）在一个不透明的口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果已知袋中只有4个红球，且摸出红球的概率为，那么袋中的球共有　12　个．
【分析】根据红球的概率公式列出方程求解即可．
【解答】解：设袋中的球共有m个，其中有4个红球，则摸出红球的概率为，
根据题意有＝，
解得：m＝12．
故本题答案为：12．
18．（3分）一个扇形所在圆的半径为3，扇形的面积是3π，则该扇形的圆心角为 　120　度．
【分析】利用S扇形＝得方程3π＝，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设该扇形的圆心角度数为n°，
∵扇形的面积为3π，半径为3，
∴3π＝，
解得：n＝120．
∴该扇形的圆心角度数为120°．
故答案为：120．
19．（3分）△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，则∠BAC的余弦值为 　或　．
【分析】分两种情况进行解答，即当△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形，分别画出相应的图形，通过做高，利用直角三角形的边角过程求出相应的边长，再根据锐角三角函数的意义求出答案．
【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AC，垂足为E，
在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝8，
∴BD＝AB＝4，
AD＝AB＝4，
在Rt△ACD中，CD＝＝1，
由三角形的面积公式得，
BC•AD＝AC•BE，
即（4+1）×4＝7BE，
∴BE＝，
在Rt△ABE中，AE＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝；
（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CF⊥AB，垂足为F，
由题意得，BC＝4﹣1＝3，
在Rt△BCF中，∠FBC＝60°，BC＝3，
∴BF＝BC＝，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣＝，
在Rt△AFC中，cos∠BAC＝＝；
故答案为：或．


20．（3分）如图，点E在菱形ABCD的边BC上，连接AE，点F为AD的中点，FG⊥AE，点G为垂足，∠B＝60°，AE＝7，FG＝2，则AG的长为 　　．

【分析】过点A作AM⊥BC于M，证△AGF∽△EMA，得＝，再求出AB＝2，则AF＝，然后在Rt△AGF中，由勾股定理求出AG即可．
【解答】解：过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵∠B＝60°，
∴AM＝sin60°×AB＝AB，∠BAM＝90°﹣60°＝30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，AB＝AD，
∴∠MAD＝∠BAD﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴∠MAE+∠GAF＝∠MAE+∠MEA＝90°，
∴∠GAF＝∠MEA，
∵FG⊥AE，
∴∠AGF＝∠EMA＝90°，
∴△AGF∽△EMA，
∴＝，
∵点F为AD的中点，
∴AF＝AD＝AB，
∴＝，
解得：AB＝2或AB＝﹣2（不合题意舍去），
∴AF＝×2＝，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AG＝＝＝，
故答案为：．

三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷（x﹣2﹣）的值，其中x＝4cos30°+2．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，分解因式后约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝4cos30°+2
＝4×+2
＝2+2时，
原式＝＝．
22．（7分）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A、点B和点C在小正方形的顶点上．
（1）在图中确定点D，点D在小正方形的顶点上，连接DC，DA，使得到的四边形ABCD为中心对称图形；
（2）在（1）确定点D后，在图中确定点E，点E（不与点C重合）在小正方形的顶点上，连接ED，EB得到凸四边形ABED，使∠EBA＝∠EDA，直接写出ED的长．

【分析】（1）利用平行四边形的对称性确定D．
（2）利用平行线的性质及正方形的性质确定E．
【解答】解：（1）如图：
此时，由勾股定理得：CD＝AB＝2，AD＝BC＝．
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴四边形ABCD是中心对称图形．
（2）如上图，此时∠EBA＝45°，
∵AD²＝AE²＝1²+2²＝5，DE²＝1²+3²＝10．
∴AD²+AE²＝DE²．
∴△ADE是等腰直角三角形．
∠EDA＝45°．
∴∠EDA＝∠EBA．
ED＝．
23．（8分）高远中学要了解全校学生对不同类别电视节目的喜爱情况，围绕“在体育、新闻、动画、娱乐四类电视节目中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图．其中最喜欢动画类电视节目的人数占被抽取人数的36%．

请你根据以上信息回答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）如果全校共有2500名学生，请你估计全校学生中最喜欢体育类电视节目的学生有多少名？
【分析】（1）由喜欢“动画类”节目的频数和所占的百分比，可求出调查人数；
（2）求出喜欢“新闻”节目的人数即可补全条形统计图；
（3）求出喜欢“体育类”节目所占的百分比即可．
【解答】解：（1）18÷36%＝50（人），
答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；
（2）50﹣11﹣18﹣16＝5（人），
补全条形统计图如下：

（3）2500×＝550（人），
答：全校2500名学生中最喜欢体育类电视节目的学生大约有550人．
24．（8分）如图，平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交AD于E，∠ABC的平分线交ED于点F．
（1）求证：AE＝DF；
（2）若∠A＝120°，BF＝8，EF＝3，求BC的长．

【分析】（1）根据平行四边形性质和角平分线性质可得∠ABF＝∠AFB，∠DEC＝∠DCE．即可得到AB＝AF，DE＝DC．即可求证结论．
（2）过点A作AH⊥BF，垂足为H，利用∠BAF＝120°，BF＝8可计算出AB的长度，结合（1）即可求出BC长度．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC．AB＝DC．AD＝BC．
∴∠AFB＝∠FBC，∠DEC＝∠ECB．
∵CE是∠BCD的平分线，BF是∠ABC的平分线．
∴∠ABF＝∠FBC，∠DCE＝∠ECB．
∴∠ABF＝∠AFB，∠DEC＝∠DCE．
∴AB＝AF，DE＝DC．
∴AF＝DE．
∴AF﹣EF＝DE﹣EF．
∴AE＝DF．
（2）过点A作AH⊥BF，垂足为H，如图：

∵∠BAF＝120°，BF＝8．
∴∠BAH＝60°，BH＝．
∴＝＝8．
∴AF＝DE＝AB＝8．
∵EF＝3．
∴AE＝AF﹣EF＝5．
∴AD＝AE+ED＝13．
∴BC＝AD＝13．
25．（10分）某商店准备购进甲、乙两种商品，若购进一个甲商品比购进一个乙商品多用50元；若购进4个甲商品与购进5个乙商品所用金额相同．
（1）甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？
（2）该商店甲商品每个的售价定为280元，乙商品每个的售价定为220元，若商店购进乙商品的数量比购进甲商品的数量的2倍还多5个，若购进的甲、乙两种商品全部售出后总获利不少于5000元，求该商店至少购进甲商品多少个？
【分析】（1）设甲商品每个的进价是x元，则乙商品每个的进价是（x﹣50）元，根据购进4个甲商品与购进5个乙商品所用金额相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设该商店购进甲商品m个，则购进乙商品（2m+5）个，根据销售总利润＝每个的销售利润×销售数量，结合销售总利润不少于5000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲商品每个的进价是x元，则乙商品每个的进价是（x﹣50）元，
依题意得：4x＝5(x﹣50)，
解得：x＝250，
∴x﹣50＝200．
答：甲商品每个的进价是250元，乙商品每个的进价是200元．
（2）设该商店购进甲商品m个，则购进乙商品（2m+5）个，
依题意得：(280﹣250)m+(220﹣200)(2m+5)≥5000，
解得：m≥70．
答：该商店至少购进甲商品70个．
26．（10分）如图，⊙O的弦AC与BD互相垂直于点E，OA交ED于点F．

（1）如图（1），求证：∠BAC＝∠OAD；
（2）如图（2），当AC＝CD时，求证：AB＝BF；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点P，Q在CD上，点P为CQ中点，∠POQ＝∠OFD，DF＝EC，DQ＝6，求AB的长．
【分析】（1）延长AO交⊙O于M，连接DM，由∠ABD＝∠AMD得它们的余角相等，即可得证；
（2）由∠BAC＝∠OAD得∠BAF＝∠CAD，故△ABF∽△ACD，＝，根据AC＝CD，即得AB＝BF；
（3）连接OC、OD，在线CA上取Q1，使得CQ1＝DQ＝6，连接QQ1，OQ1，线段QQ1和线段O交于点P1，再过圆心O作OO1⊥AC于点O1，先证明△EFA∽△EAD，得＝，根据AC＝CD，EC＝DF，有（CD﹣DF）2＝EF（EF+DF）①，由勾股定理CD2＝EC2+DE2＝DF2+（EF+DF）2，可得（CD﹣DF）（CD+DF）＝（EF+DF）2②，将②式除以①式整理得EF＝，再根据CD2＝CE2+DE2＝DF2+（）2，得DF＝CD，从而EF＝CD，AE＝CD，AF＝CD，再由OO1⊥AC，＝，可得OA＝，而∠POQ＝∠OFD，∠OFD＝∠EFA，可证明∠COP+∠DOQ+∠CDO＝90°，由OC＝OD，∠OCA＝∠CDO，CQ1＝DQ＝6，得△OCQ1≌△ODQ（SAS），故OQ1＝OQ，∠DOQ＝∠COQ1，从而可推得∠POQ＝∠POQ1，P1P是△CQ1Q的中位线，P1P∥CQ1，有∠POC＝∠CAO＝∠OCA＝∠CDO＝∠OCD，可得△OPC∽△DOC，＝，有＝，解得CD＝16，AE＝CD＝，DE＝CD+CD＝，最后根据△ABE∽△DCE，即得AB＝8．
【解答】证明：（1）如图1，延长AO交⊙O于M，连接DM，则AM是⊙O直径，

∴∠ADM＝90°，
∴∠AMD+∠MAD＝90°
∵AB⊥CD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∵∠ABD＝∠AMD，
∠AMD+∠MAD＝90°，
∴∠BAC＝∠MAD，
即∠BAC＝∠OAD；
（2）如图2，
由（1）可得，∠BAC＝∠OAD，
∴∠BAC+∠CAO＝∠OAD+∠CAO，
∴∠BAF＝∠CAD，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ABF∽△ACD，
∴＝，
∵AC＝CD，
∴AB＝BF；
（3）连接OC、OD，在线CA上取Q1，使得CQ1＝DQ＝6，连接QQ1，OQ1，线段QQ1和线段O交于点P1，再过圆心O作OO1⊥AC于点O1，如图：

由（2）知：△ABF∽△ACD，
∴∠EFA＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠EAD
∴∠EAD＝∠EFA，
而∠AEF＝∠DEA＝90°，
∴△EFA∽△EAD，
∴＝，
∵AC＝CD，EC＝DF，
∴AE＝AC﹣EC＝CD﹣EC＝CD﹣DF，
∵DE＝EF+DF，
∴＝，
∴（CD﹣DF）2＝EF（EF+DF）①，
∵∠CED＝90°，
∴CD2＝EC2+DE2＝DF2+（EF+DF）2，
∴（CD﹣DF）（CD+DF）＝（EF+DF）2②，
将②式除以①式得＝，
∵＝1+，＝1+，
∴＝，
∴2EF＝CD﹣DF，
∴EF＝，
∴DE＝EF+DF＝+DF＝，
∴CD2＝CE2+DE2＝DF2+（）2，
∴5DF2+2CD•DF﹣3CD2＝0，
∴（5DF﹣3CD）•（DF+CD）＝0，
∵DF+CD＞0，
∴5DF﹣3CD＝0，
∴DF＝CD，
∴EF＝＝＝CD，
∴AE＝AC﹣CE＝CD﹣DF＝CD﹣CD＝CD，
在Rt△AEF中
AF＝＝＝CD，
∵OO1⊥AC，
∴∠OO1A＝∠FEA＝90°，O1是AC的中点，
∴EF∥OO1，O1A＝AC＝CD，
∴＝，即＝＝，
∴OA＝，
∴OC＝OD＝OA＝CD，
∵∠POQ＝∠OFD，∠OFD＝∠EFA，
∴∠POQ＝∠EFA，
∵∠EAF+∠EFA＝90°，∠EAF＝∠CAO，
∴∠CAO+∠POQ＝90°，
∵AC＝CD，
∴∠CAO＝∠OCA＝∠CDO＝∠OCD，
∴∠OCD+∠POQ＝90°，
∴∠COP+∠DOQ+∠CDO＝90°，
∵OC＝OD，∠OCA＝∠CDO，CQ1＝DQ＝6，
∴△OCQ1≌△ODQ（SAS），
∴OQ1＝OQ，∠DOQ＝∠COQ1，
∴∠COP+∠COQ1+∠CDO＝90°，
∴∠POQ1+∠OCD＝90°，
而∠OCD+∠POQ＝90°，
∴∠POQ＝∠POQ1，
∴P1Q1＝P1Q，
∵P为CQ中点，
∴P1P是△CQ1Q的中位线，
∴P1P∥CQ1，
∴∠POC＝∠OCQ1，
∴∠POC＝∠CAO＝∠OCA＝∠CDO＝∠OCD，
∴△OPC∽△DOC，
∴＝，
∵CD＝CQ+DQ＝2CP+6，
∴CP＝，
又OC＝CD，
∴＝，
解得CD＝16，
∴AE＝CD＝，DE＝DF+EF＝CD+CD＝，
∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴AB＝8．

27．（10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣3x+3交x轴于点C，交y轴于点B，点A在x轴负半轴上，∠BAC＝2∠OBC．

（1）如图（1），求直线AB的解析式；
（2）如图（2），点P在第二象限，点P的横坐标为t，点P在AB上，点D与点B关于x轴对称，过点P作AD的垂线，点H为垂足，PH的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图（3），在（2）的条件下，点E在第三象限，DE∥AC，过点E作直线BC的垂线，点F为垂足，若五边形AEDOP的面积为12，tan∠BPF＝2，求点P的坐标．
【分析】（1）在x负半轴上取点M，使得OM＝OC，连接BM，可得出AB＝AC，在△AOB中利用勾股定理可求出OA即可；
（2）利用等面积法，求出△ABD中AD边上的高，从而计算sin∠PAD及PH的长度；
（3）设PF交x轴于点Q，过点Q作QM⊥AB于点M，过点P作PN⊥x轴于点N，过点F作FR⊥x轴于点R，延长RF交ED的延长线于点S，延长BF交ED的延长线于点T．设MQ＝m，F（n，﹣3n+3），利用tan∠BPF＝2和五边形AEDOP的面积为12，可以用m表示PN，AN，NQ及ED的长度，得出tan∠RQF＝tan∠PNQ＝，即QR＝2RF，即；另外在Rt△EFT中，根据射影定理得，FS2＝ES•ST，即，利用这两个式子，可解得m＝n＝，从而求出P坐标．
【解答】解：（1）如下图

由直线y＝﹣3x+3，得B（0，3），C（1，0），即OB＝3，OC＝1．
在x负半轴上取点M，使得OM＝OC，连接BM．则OB垂直平分CM，
∴∠MBC＝2∠OBC，∠BMC＝∠BCM，
∵∠BAC＝2∠OBC，
∴∠BAC＝∠MBC，
∵∠ABC＝∠ABM+∠MBC，
∠BMC＝∠BAC+∠ABM，
∴∠ABC＝∠BMC＝∠BCA，
∴AB＝AC，
设OA＝m，则AB＝，AC＝m+1，
由AB＝AC，解得m＝4，即A（﹣4，0），
设AB：y＝kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）代入，
解得b＝3，k＝，
∴直线AB的解析式为．
（2）过点B作BN⊥AD于点N，
在△ABD中，面积S＝，
而AD＝＝5，AO＝4，BD＝6，
∴BN＝，
∴sin∠BAN＝，
在Rt△APH中，P（t，）
d＝PH＝PA•sin∠BAN＝＝，
d与t之间的函数关系式为d＝ （﹣4＜t＜0）．
（3）设PF交x轴于点Q，过点Q作QM⊥AB于点M，过点P作PN⊥x轴于点N，
过点F作FR⊥x轴于点R，延长RF交ED的延长线于点S，延长BF交ED的延长线于点T．
设MQ＝m，F（n，﹣3n+3），则S（n，﹣3），T（2，﹣3），RF＝﹣（﹣3n+3）＝3n﹣3，
在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，
在Rt△MPQ中，tan∠MPQ＝＝2，
∴MP＝，
在Rt△MAQ中，tan∠MAQ＝，sin∠MAQ＝，而∠BAO＝∠MAQ，
∴MA＝，AQ＝，
∴AP＝MA﹣MP＝，
同理在Rt△APN中，可求AN＝，PN＝，
∴NQ＝AQ﹣AN＝m，OQ＝OA﹣AQ＝4﹣
∴tan∠RQF＝tan∠PNQ＝，
即QR＝2RF，
即••••••••••••①．
∵五边形AEDOP的面积S＝S△PAO+S梯形AEDO＝＝，
解得ED＝，
在Rt△EFT中，EF⊥FT，FS⊥ET，根据射影定理得，FS2＝ES•ST，
而FS＝﹣3n+6，ES＝，ST＝2﹣n，
∴••••••••••••②．
联立①②，解得m＝n＝，
∴NO＝AO﹣AN＝3，PN＝，
∴P的坐标为（﹣3，）．
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日期：2021/8/12 11:41:31；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298