2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学一模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我市某天的最高气温为，最低气温为，那么这天的最高气温比最低气温高(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算中，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  “珍惜生命，注意安全”是一永恒的话题．在现代化的城市，交通安全晚不能被忽视，下列几个图形是国际通用的几种交通标志，其中不是中心对称图形是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是由相同小正方体组成的立体图形，它的左视图为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  将抛物线向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线(    )

A.  B.  C.  D.

6.  分式方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的两名同学恰为一男一女的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  某种物品经过两次降价，其价格为降价前的，则平均每次降价的百分数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在▱中，，：：，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  小亮早晨从家骑自行车到学校，先上坡后下坡，其行程情况如图所示，若他返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑自行车回到家所用的时间是(    )

A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  上海世博会是我国举办的一次世界盛事，本届世博会将吸引世界各地约人次参观用科学记数法可表示为______ ．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

13.  计算：______．

14.  分解因式：______．

15.  不等式组的解集为______ ．

16.  反比例函数的图象经过点，则此反比例函数的解析式为______．

17.  一个扇形的面积为，扇形的弧长，则此扇形的圆心角是______ 度
 

18.  如图，是的直径，点在上，过点作的切线与延长线相交于点，，垂足为，，，则直径 ______ ．

19.  矩形，的平分线交直线于点，，，则矩形的面积为______ ．

20.  如图，在中，是的中线，垂足为，，，，则线段长为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

21.  先化简，再求代数式的值，其中．

四、解答题（本大题共6小题，共53.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

22.  本小题分
如图是一个的正方形的网格图，图中已画出了线段和线段，其端点、、、均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
画以为边的正方形；
画一个以为一条对角线的菱形点在点的左侧，且面积与中正方形的面积相等；
在和的条件下，连接、，请直接写出的面积．

 

23.  本小题分
某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机调查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图根据统计图中的信息，解答下列问题：
求本次被调查的学生人数；
补全条形统计图和扇形统计图；
若全校有名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数．

 

24.  本小题分
如图，已知在▱中，过对角线的中点为，过点的直线交、的延长线于和．
求证：≌；
指出图中所有全等三角形≌除外．

25.  本小题分
哈市欲购进甲、乙两种丁香进行绿化若购进甲种株，乙种株，则共需成本元；若购进甲种株，乙种株，则共需成本元．
求甲、乙两种丁香每株的价格分别为多少元？
若购进的乙种丁香的株数比甲种丁香的倍还多株，购进两种丁香的总费用不超过元，求最多购进甲种丁香多少株？

26.  本小题分
已知：四边形内接于，点在弧上，连接，，．

如图，求证：；
若经过圆心，如图，求证：；
如图，在的条件下，点在弧上，连接、，的延长线与交于点，，连接、，当，，时，求长．

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，直线的解析式为．

如图，求点的坐标；
点在点的右侧的轴上，点在线段上，，连接、，如图，设线段长为，的面积为，求与的函数关系式；
在的条件下，连接交于点，连接，当，时，如图，求抛物线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
用最高气温减去最低气温，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，故选项A计算错误；
B.，故选项B计算错误；
C.，故选项C计算正确；
D.，故选项D计算错误．
故选：．
利用单项式乘单项式法则、单项式除以单项式法则、幂的乘方法则逐个计算得结论．
本题主要考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式法则及幂的乘方法则是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，
可知、、是中心对称图形，不是中心对称图形．
故选B．
根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
根据三视图的知识选择正确选项即可．
【解答】
解：从左面看可得到左边第一竖列为个正方形，第二竖列为个正方形，故选A．
找到从正面看所得到的图形即可．  

5.【答案】 

【解析】解：原抛物线的顶点为，向左平移两个单位，再向上平移一个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：，
故选：．
易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
故原方程的解是：．
故选：．
利用解分式方程的方法进行求解即可．
本题主要考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握解分式方程的方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中选出的两名同学恰为一男一女的结果数为，
所以选出的两名同学恰为一男一女的概率．
故选：．
利用树状图展示所有等可能的结果，再找出两名同学恰为一男一女的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

8.【答案】 

【解析】解：设平均每次降价的百分数为，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
平均每次降价的百分数为，
故选：．
设平均每次降价的百分数为，原价是，则第一次降低后的价格是，那么第二次后的价格是，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：：：，
：：，
又，
∽，
，即，解得，
由平行四边形的性质，得．
故选C．
由：：得：：，根据，可证∽，已知，利用相似比可求，由平行四边形的性质求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．关键是由平行线得相似三角形，由已知比得相似比．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为米，所用时间为分，
上坡速度米分，
下坡路的距离是米，所用时间为分，
下坡速度米分；
去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡，
小亮从学校骑车回家用的时间是：分钟．
故选：．
首先小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，回家也是先上坡后下坡，而据图象知道上坡路程是米，下坡路程是米，由此先求出上坡和下坡的速度，再根据返回时原来上坡变为下坡，下坡变为上坡，利用时间路程速度即可求出小亮从学校骑车回家用的时间．
本题主要考查学生的读图获取信息的能力，需要注意去学校时的上坡，返回家时是下坡，去学校时的下坡，返回家时是上坡．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
让分母不为列式求值即可．
本题考查求函数自变量的取值；解题的关键是掌握分式有意义，分母不为．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
先把化简为，再合并同类二次根式即可得解．
本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为．
首先提取公因式，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，
图象经过点，
，
解得：，
关于的解析式为，
故答案为：．
首先设，再把代入可得关于的方程，然后可得解析式．
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，；
把已知条件自变量与函数的对应值带入解析式，得到待定系数的方程；
解方程，求出待定系数；
写出解析式．
 

17.【答案】 

【解析】解：设圆心角为，半径为．
由题意：，
，
，
，
故答案为：．
设扇形圆心角的度数为，半径为，再由扇形的面积公式求出的值，根据弧长公式即可得出结论．
本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，则，
，
是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：．
连接，则，由切线的性质得，则，而，所以，则，所以，，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、等角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，证明是解题的关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，

四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
矩形的面积为；
如图，

四边形是矩形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
矩形的面积为；
故答案为：或．
如图，如图，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据矩形的面积公式即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，
是的中线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，，
在中，，
，
，
，
∽，
：：，即：：，
解得，
，
，
在中，．
故答案为：．
过点作于点，如图，先证明≌得到，，，再利用勾股定理计算出，接着证明∽，利用相似比可求出，所以，则，然后利用在中利用勾股定理可计算出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
 

21.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出的值，代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

22.【答案】解：如图所示：正方形即为所求；

如图所示：菱形即为所求；

的面积为：． 

【解析】直接利用正方形的性质得出符合题意的图形；
直接利用菱形的性质结合正方形面积得出符合题意的图形；
直接利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了应用设计与作图以及正方形、菱形的性质，正确应用正方形、菱形的性质是解题关键．
 

23.【答案】解：人，
答：本次调查人数为人；
喜欢足球的学生人数所占的百分比为：，
喜欢篮球的学生人数所占的百分比为：，
喜欢其它的学生人数所占的百分比为：，
所以喜欢羽毛球的学生人数为：人，
喜欢其它的学生人数为：人，
补全的条形统计图，扇形统计图如下：
人，
答：最喜欢篮球的人数约为人． 

【解析】根据频率可求出调查的人数；
求出学生所喜欢的球类的人数以及所占的百分比即可补全条形统计图和扇形统计图；
根据频率进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，，
点为的中点，
，
≌；
解：≌，≌，≌，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，，
又，
≌；
，
，，
又，
≌；
，
四边形是平行四边形，
，，，
，，，
，
又，
≌． 

【解析】根据平行四边形的性质推出，，结合，利用即可判断≌；
根据平行四边形的性质及全等三角形的判断定理求解即可．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定，熟记平行四边形的性质、全等三角形的判定是解题的关键．
 

25.【答案】解：设甲种丁香每株的价格为元，乙种丁香每株的价格为元．
由题意得：，
解得：，
答：甲种丁香每株的价格为元，乙种丁香每株的价格为元．
设购进甲种丁香为株，则购进乙种丁香为株．
，
解得，
答：最多购进甲种丁香株． 

【解析】设甲种丁香每株的价格为元，乙种丁香每株的价格为元，由题意列出方程求解即可；
设购进甲种丁香为株，则购进乙种丁香为株．列不等式进行分析即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
 

26.【答案】证明：，，
，
，
，
，
；
证明：是的直径，
，
，
，，
，
，
；
解：，，
，
，
连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
连接、，延长交于点，

，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
延长交于点，连接、，
，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
连接交于点，
是直径，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
设，
，，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
在中，，
，
解得负值舍去，
，，
，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
． 

【解析】由圆周角定理得出，则可得出结论；
由圆周角定理得出，证出，则可得出结论；
连接，连接、，延长交于点，证出，求出，延长交于点，连接、，证出，设，得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出，，的长，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确作出辅助线．
 

27.【答案】解：在中，令得，
，
把代入得：，
，
在中，令得，
；
过点作垂足为，如图：

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
过点作，垂足为，过点作交轴于点，过点作，且，延长交于点，如图：

，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
由知，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，即，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
点，，在抛物线，
，
解得，
抛物线的解析式为． 

【解析】在中，可得，代入得，令即得；
过点作垂足为，由，，得，故，有，故A，而，即得，从而；
过点作，垂足为，过点作交轴于点，过点作，且，延长交于点，证明四边形是平行四边形，得，由，可得，从而≌，得，，可得，即可得四边形是平行四边形，有，证明≌，得，，可知，从而，可求出，再用待定系数法即可得抛物线的解析式为．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是作辅助线，构造是全等三角形和直角三角形解决问题．