人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教学设计

这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.2 公式法教学设计，共3页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观，教学重点，教学难点，方法指导，易错警示等内容，欢迎下载使用。

◇教学目标◇
【知识与技能】
1.会用求根公式解简单系数的一元二次方程.
2.知道一元二次方程根的判别式的意义,能熟练地运用判别式判别方程根的情况.
【过程与方法】
能用配方法推导出一元二次方程的求根公式,通过运用公式法解一元二次方程的训练,提高学生的运算能力.
【情感、态度与价值观】
在探索和应用求根公式中,使学生进一步认识特殊与一般的关系,并让学生在学习中获得成功的体验.
◇教学重难点◇
【教学重点】
运用求根公式解一元二次方程.
【教学难点】
1.一元二次方程求根公式的推导过程.
2.逆用一元二次方程根的判别式求方程中的字母系数.
◇教学过程◇
一、情境导入
如果某个一元二次方程是ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用配方法的步骤求出它的两个根?在什么情况下,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?
二、合作探究
探究点1 一元二次方程根的判别式及根的情况
典例1 不解方程,判别下列方程根的情况.
(1)4x2-2x+14=0;
(2)(y+1)(y-1)=2-y2;
(3)x2+2mx-1=0.
[解析] (1)∵a=4,b=-2,c=14,
∴b2-4ac=(-2)2-4×4×14=0,
∴原方程有两个相等的实数根.
(2)原方程变形为2y2-3=0.
∵a=2,b=0,c=-3,
∴b2-4ac=02-4×2×(-3)=24>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
(3)∵a=1,b=2m,c=-1,
∴b2-4ac=(2m)2-4×1×(-1)=4m2+4>0,
∴原方程有两个不相等的实数根.
判断一元二次方程根的情况时,应先把方程化成一般形式.当方程的左边是一个完全平方式时,此方程有两个相等的实数根;当a,c异号时,方程有两个不相等的实数根;只有当a,c同号时,才计算判别式的值,根据判别式的符号判断方程根的情况.
变式训练 关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m-2=0根的情况是( )
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
[答案] C
【方法指导】当方程中含有字母系数时,确定判别式的符号可利用配方法,结合a2≥0,(a+1)2≥0,a2+1>0,-a2-1<0判别其符号.
探究点2 由根的判别式求字母的取值范围
典例2 若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+(k2-1)=0无实数根,则k的取值范围为 .
[解析] 根据一元二次方程无实数根,由Δ<0,得(2k-1)2-4(k2-1)<0,解得k>54.
[答案] k>54
变式训练 关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0有两个实数根,则实数m的取值范围是( )
A.m≥0B.m>0
C.m≥0且m≠1D.m>0且m≠1
[答案] C
【易错警示】当二次项的系数中存在字母时,一定要把使二次项系数为零的值去掉.
探究点3 用公式法解一元二次方程
典例3 用公式法解下列方程:
(1)3x2+x+1=0;
(2)x2-6x+9=(5-2x)2.
[解析] (1)a=3,b=1,c=1,
b2-4ac=12-4×3×1=-11<0,
所以原方程无实数根.
(2)原方程可化为3x2-14x+16=0.
则a=3,b=-14,c=16,
b2-4ac=(-14)2-4×3×16=4>0,
∴x=14±42×3=7±13,
∴原方程的根是x1=2,x2=83.
(1)用公式法解一元二次方程时,只要将方程化为一般形式,确定各项系数后代入求根公式就可以求得方程的根.但要注意只有b2-4ac≥0时,才能将a,b,c及b2-4ac的值代入求根公式求解.若b2-4ac<0,则方程无实数根.
(2)当b2-4ac的值等于零时,必须把原方程的根写成x1=x2=-b2a的形式.
三、板书设计
公式法
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为Δ=b2-4ac.
2.根据根的判断式判断一元二次方程根的情况:Δ>0,方程有两个不相等的实数根;Δ=0,方程有两个相等的实数根;Δ<0,方程无实数根.
3.求根公式的概念及推导过程:ax2+bx+c=0⇒x+b2a2=b2−4ac4a2,x=−b±b2−4ac2a.
4.用公式法解一元二次方程.
◇教学反思◇
本节课从回顾上节所学的配方法解一元二次方程的步骤,自然而然地引入如何利用配方法解一般形式的一元二次方程,从而产生一元二次方程根的判别式的几种情况:b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0,并在不同情况下求出相应的根.在教学中不但要让学生会用求根公式,更要体会解一元二次方程的过程中判断根的情况的必要性,应给学生强调方程有无实数根,仅取决于根的判别式.