高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示公开课课件ppt

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1.3空间向量及其运算的坐标表示
我们生活在一个四维时空里！
浩瀚的太空中，个人渺小如质点！
三维空间里，该如何确定一个质点所处的位置？
如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数对(x,y,z)，使得：p=xa+yb+zc .
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.
p=xi+yj+zk
在空间中，当点O取定以后，点P的位置与有序实数对(x, y, z)一一对应.
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
点P的位置与有序实数对(x, y, z)一一对应. 称(x, y, z)为点P在空间直角坐标系中的坐标; x, y, z依次叫做点P的横坐标、纵坐标、竖坐标.
P(x, y, z)
1. 如图，空间直角坐标系中的长方体OABC-O'A'B'C'， OA=3, OC=4, OO'=2.
(1)分别写出点C、B'、O'的坐标；
2.在食盐晶胞示意图中建立空间直角体系如图，试分别写出 A、B、C三点的坐标. (八个小正方体边长均为1)
3.点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列 条件的点的坐标.
(2)与点M关于y轴对称的点
(3)与点M关于原点对称的点
(4)与点M关于点A(1, -1, 2)对称的点
(1)与点M关于Oyz平面对称的点
(-x, y,- z)
(-x, -y, -z)
(2-x, -2-y, 4-z)
空间向量运算的坐标表示
已知a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3).类比平面向量运算的坐标表示，我们有：
a+b=(a1+b1, a2+b2, a3+b3), a-b=(a1-b1, a2-b2, a3-b3), λa+b=(λa1, λa2, λa3)(λ∈R), a•b=a1b1+ a2b2+ a3b3
设P1(a1,a2,a3)、 P2(b1,b2,b3).是空间任意两点，则
a+b=(-1，-2，1)
a-b=(5，-4，9)
2.已知△ABC三顶点A(3, 4, 1), B(1,0,5),C(2,-1,6), 求：(1)边AB上中线的长度； (2)△ABC重心的坐标.
(2)△ABC重心的坐标为(2, 1, 4)
核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算
1.将空间点投影到坐标平面上，其中的一个坐标变为0,另两个不变；2.夹角为钝角时，其余弦为负只是必要条件！要排除平角的情况.
2.已知△ABC三顶点A(3, 4, 1), B(1,0,5),C(2,-1,6), 求△ABC的面积.
1.空间三角形也就是平面三角形，故面积公式依然可用；2.本题还可以先求一边上的高，再算面积.
核心素养 之 数学建模 + 数学运算
引入空间向量坐标运算之后，只要将元素向量化，就将几何关系转化为代数关系，利用代数计算就可解决几何问题.
3.如图，正方体ABCD-A’B’C’D’的边长为2，M、N、E分 别为AB、DD’、BC中点. (1)求证：MN⊥EB’ ; (2)求EB’与A’C’所成角的余弦值.
1.如图，正三棱柱ABC-A'B'C'底面边长为2，E、F分别是AC’,CB’上的动点，若AC'⊥CB', 求E、F距离的最小值.
数学思想 之 函数思想 + 待定系数
空间动点问题，可以引入带参数的向量坐标来表示，利用函数的最值来反映元素关系的极端情况.
数学思想 之 转化与化归 +待定系数法
1.线面垂直的充要条件是线垂直于面内两条交线;2.利用平面向量基本定理，借助一组基向量将动点所在向量表示出来.待定系数法是解决动点问题常用的思想方法.
2.如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中AB=4，AD=AA’=2;过点D作平面A’BC’的垂线，垂足H在平面A’BC’内，求点H的坐标.
3.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'边长为3，P、Q分别为直线DB、 A’C’上的动点，线段PQ长为5，M是线段PQ的中点. 求点M轨 迹的长度.
数学思想 之 方程思想 + 待定系数法
以空间坐标为桥梁，将几何关系翻译成代数关系，求得动点M的轨迹方程 . 过程中用到了中点坐标公式和距离公式.
一、本节课学习的新知识：
空间向量运算的坐标表示
二、本节课提升的核心素养：
三、本节课训练的数学思想方法：
基础作业： .
能力作业： .