2021-2022学年浙江省宁波市宁海县五校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省宁波市宁海县五校八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列方程是一元二次方程的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列图案是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列等式中，成立的是

A.  B.
C.  D.

4. 正多边形的一个外角等于，则这个多边形的边数是

A.  B.  C.  D.

5. 下列关于平行四边形的特征的描述中，正确的个数有
   对边相等；对角相等；对角线相等；邻边相等；邻角互补．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码鞋的销售量如下表所示．若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

7. 如图，若周长为平行四边形的对角线，交于点，且的周长比小，则

A.  B.  C.  D.

8. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是

A.  B. 且 C.  D. 且

9. 如图，四边形是平行四边形，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则在中：：

A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：

10. 如图，在平行四边形中，点是上一点，，，点是的中点，平分，，则的面积是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．
12. 已知一组数据，，，，，的中位数为，则的值是______．
13. 已知，则的值为______ ．
14. 疫情期间市民为了减少外出时间，许多市民选择使用手机软件在线上买菜，某买菜软件今年一月份新注册用户为万，三月份新注册用户为万，求二、三两个月新注册用户每月平均增长率．若设二、三两个月新注册用户每月平均增长率为，则可列方程为______．
15. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，若，，则的长为______．
    
     

16. 如图，在平行四边形中，，，平分，点为上一点，点为上一点，连接，，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在的网格图中，，，三点都在格点上，按照如下要求找格点．
    
    在图中画出四边形为中心对称图形；
    在图中画出四边形为轴对称图形．
    
    
    
    
    
    
     
20. 浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有甲、乙两名学生，他们各自的三类成绩如表所示：

如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？
“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综合成绩按“学业水平测试成绩综合测试成绩高考成绩”计算形成，那么哪位同学排名靠前？






 

21. 已知：如图，、是平行四边形的对角线上的两点，求证：．

22. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价元，在销售过程中发现，当销售价为元时，每天可售出件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价元，平均可多售出件．
    若每件冰墩墩周边降价元，商家平均每天能盈利多少元？
    每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利元？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为，的坐标为．
    请直接写出平行四边形的中心的坐标______；
    求出直线的解析式；
    试说明：不论取何值，平行四边形都被直线分成面积相等的两部分．

如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，动点从点出发，在线段上以每秒的速度运动到点返回，点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为秒．

用含的代数式表示，______；
若四边形是平行四边形，求此时的值；
是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
B.整理后可得，是一元一次方程，故本选项不合题意；
C.是分式方程，故本选项不合题意；
D.是一元三次方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且最高次项的次数是次，并且得是整式方程，即可判断．
本题考查了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

2.【答案】
 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的运算法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】
 

【解析】解：正多边形的一个外角等于，
这个多边形的边数是，
故选：．
根据多边形的外角和，以及正多边形每个外角相等，求出边数即可．
此题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形外角和公式是解本题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，对边相等，邻角互补
可知正确，
故选C．
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即可判断各选项的正误．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即平行四边形的邻角互补．
 

6.【答案】
 

【解析】解：因为众数是在一组数据中出现次数最多的数，
又根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋子的尺码，这样可以确定进货的数量，
所以该店主最应关注的销售数据是众数．
故选：．
根据题意，联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
本题主要考查数据的收集和处理．解题关键是熟悉统计数据的意义，并结合实际情况进行分析．根据众数是在一组数据中出现次数最多的数，再联系商家最关注的应该是最畅销的鞋码，则考虑该店主最应关注的销售数据是众数．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图所示：
四边形是平行四边形，
，，，，
▱的周长为，
，
的周长比的周长大，
，
，
得：，
；
故选：．
由平行四边形的性质得出，，，，再由已知条件得出，，即可得出的长．
本题考查了平行四边形的性质、三角形和平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
又，
且，
故选：．
根据关于的一元二次方程有两个实数根知，据此得出的范围，再结合一元二次方程的定义可得答案．
本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
 

9.【答案】
 

【解析】解：连接设平行四边形的面积为．
：：，，
，，，
：：：：：：
故选：．
连接设平行四边形的面积为由：：，，可得，，，由此即可解决问题；
本题主要考查了平行四边形的性质等知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，延长和交于点，

在平行四边形中，
，，
，，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的面积．
故选：．
延长和交于点，证明≌，可得，然后根据等腰三角形的性质证明，再根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

11.【答案】
 

【解析】解：式子在实数范围内有意义，
，解得．
故答案为：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：数据，，，，，的中位数为，
，
，
故答案为：．
将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题主要考查中位数和算术平均数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了用换元法解一元二次方程，解题时要注意换元法的应用，还要注意的取值是非负数．
把看作一个整体，设，利用换元法得到新方程，求解即可．
【解答】
解：设，
据题意得，
解得，，
，
．
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是，
依题意，得：，
故答案为：．
设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是，根据该买菜今年一月份及三月份新注册用户人数，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，，，
，，
，
作交的延长线于点，

，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
根据，，，可以得到的长，再根据平行四边形的性质，可以得到和的长，然后根据勾股定理即可求得的长．
本题考查平行四边形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】
 

【解析】解：在上取一点，使，
平分，
，
，
当、、在同一直线上，且使，
最小，最小值为．
，，
，
．
故答案为：．
在上取一点，使，则，所以，因此当、、在同一直线上，且使，最小，最小值为．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和直角三角函数是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．
原式
．
 

【解析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】解：，
或，
所以，；
，
，
，
所以，．
 

【解析】利用因式分解法解方程；
先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

19.【答案】解：如图，四边形为所作；
如图，四边形为所作．

 

【解析】以、、为顶点作一个平行四边形即可；
以为腰，为上底作一个等腰梯形即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
 

20.【答案】解：甲的平均分分别是：分，
乙的平均分分别是：分，
因为，
所以根据三项得分的平均分，甲学排名靠前；
甲的加权平均分是：，分，
乙的加权平均分是：分，
因为乙的加权平均分最高，所以乙将被录取．
 

【解析】利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；
利用加权平均数公式求解，即可判断．
本题考查了算术平均数和加权平均数的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
 

21.【答案】证明：，
，
、是平行四边形的对角线上的两点，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：


元．
答：商家平均每天能盈利元．
设每件冰墩墩周边降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每件冰墩墩周边降价元或元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利元．
 

【解析】利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润每件的利润每天的销售量，即可求出结论；
设每件冰墩墩周边降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润每件的利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

23.【答案】
 

【解析】解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：；

解：设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为；

证明：对于直线，
当时，，
直线经过点，
直线平分四边形的面积．
利用平行四边形的性质求出点端点坐标，再利用中点坐标公式求出点的坐标即可；
设直线的解析式为，利用待定系数法，可得结论；
证明直线经过点，可得结论．
本题考查中心对称，平行四边形的性质，一次函数的性质等知识，解题关键是掌握平行四边形的性质，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】
 

【解析】解：由题意得：，
，
，
故答案为：；
四边形是平行四边形，
，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：，不合题意舍去；
综上所述，若四边形是平行四边形，此时的值为；
存在点，使是等腰三角形，理由如下：
过作于，则四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
分情况讨论：
，如图，
当时，则，
解得：；
当时，则，
解得：；
，如图，
，
，
，
当时，，
；
当时，，
；
，如图，
过作于，则，
，
，
当时，，
在中，由勾股定理得：，
解得：负值已舍去，
此时；
当时，
，
，
解得：；
综上所述，存在点，使是等腰三角形，的值为或或或或或．
由题意得，即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再分两种情况，当时，当时，分别求解即可；
过作于，则四边形是矩形，得，，再由勾股定理求出，然后分情况讨论：，，，由等腰三角形的性质和勾股定理分别求解即可．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、梯形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．