2021-2022学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

2. 奥运火炬时隔年再次在“鸟巢”点燃，北京由此成为世界上首个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的“双奥之城”，下列各届冬奥会会徽图案中，是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 如图，将▱的一边延长至点，若，则等于

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在中，、分别是、边上的中点，若，则等于

A.
B.
C.
D.

5. 将方程改写成的形式，则，，的值分别为

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 如图所示，满足函数和的大致图象是

A.  B.  C.  D.

7. 数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表：

那么对于不同的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是

A. 平均数、方差 B. 中位数、方差
C. 平均数、中位数 D. 众数、中位数

8. 已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和是“和谐函数”以下函数和是“和谐函数”的是

A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

9. 如图，正方形纸片的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、，若，，则正方形的面积等于

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形，，，若要求两个阴影部分的周长差，只要知道下列哪两条线段的差的绝对值

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

11. 若关于的方程是一元二次方程，则______．
12. 一组数据的方差计算公式为，则这组数据的方差是______．
13. 如图，五边形是正五边形，若直线，则的值为______．
    
    
     

14. 如图，在菱形中，，，则菱形的面积为______．
    
     

15. 如图，已知是边长为的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则四边形______．
     

16. 如图，点为直线上一点，过作的垂线交双曲线于点，若，则的值为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共80分）

17. 解方程：
    ．
    ．
18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，已知点的横坐标为．
    求的值；
    求的面积；
    直接写出关于的不等式的解集．

19. 如图，在边长为个单位的正方形网格中，经过平移后得到，点的对应点为根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答，保留痕迹：
    画出，线段扫过的图形的面积为______；
    在的右侧确定格点，使的面积和的面积相等，请问这样的点有______个？

20. 朗读者自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，岳池县某中学开展“朗读”比赛活动，九年级、班根据初赛成绩，各选出名选手参加复赛，两个班各选出的名选手的复赛成绩满分为分如图所示．
    
    根据图示填写表格；
    结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
    如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由．

21. 如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．
    求证：是等腰三角形；
    求证：四边形是矩形．
22. 年北京冬奥会吉祥物深受大家的喜欢．某特许零售店的冬奥会吉祥物销售量日益火爆．据统计，该店年月的“冰墩墩”销量为万件，年月的“冰墩墩”销量为万件．
    求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
    该零售店月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价元的“冰墩墩”按每件元出售，每天可销售件，在此基础上售价每涨元，那么每天的销售量就会减少件，该零售店要想每天获得元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元？
23. 给出如下新定义：在平面直角坐标系中，动点在反比例函数上，若点绕着点旋转度后得到点，我们称是关于的“伴随点”．
    若的横坐标为，则点关于的“伴随点”的所表示的点是______；
    若的横坐标为，一次函数与该反比例函数的交点记为，则点关于的“伴随点”的所表示的点是______；
    若关于的“伴随点”为，由、和坐标原点构成的三角形为等腰直角三角形，且为直角边，求的值．
24. 点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形．
    如图，连结、，判断与的位置关系和数量关系，并证明．
    如图，将正方形绕点逆时针旋转，使得点落在线段上，交于点，若，，求．
    如图，将方形绕点旋转至如图的位置，且，连结，作的角平分线交于点，请写出、、之间的数量关系，并证明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、，是一元二次方程，故B符合题意；
C、是常数，是一元二次方程，故C不符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义，即可判断．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的对角相等得，再求出，即可得出结论．
本题考查平行四边形的性质、邻补角等知识，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、分别是、边上的中点，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：可化为，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为，，，
故选：．
根据任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，是一次项系数；叫做常数项进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
 

6.【答案】

【解析】解：，
函数过点，
故不合题意；
当时，函数过第一、三、四象限，函数在一、三象限；
当时，函数过第一、二、四象限，函数在二、四象限；
故符合题意；
故选：．
分别根据一次函数与反比例函数图象的特点解答即可．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．
 

7.【答案】

【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，
则总人数为：，
故该组数据的众数为岁，中位数为岁，
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：．
由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第个数据，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：、令，
则，
整理得：，
此方程无解，
函数和不是“和谐函数”，
故A不符合题意；
B、令，
则，
整理得：，
此方程无解，
函数和不是“和谐函数”，
故B不符合题意；
C、、令，
则，
整理得：，
此方程无解，
函数和不是“和谐函数”，
故C不符合题意；
D、、令，
则，
整理得：，
解得：，，
函数和是“和谐函数”，
故D符合题意；
故选：．
根据题意，令，若方程有解，则称函数和是“和谐函数”，若无解，则称函数和不是“和谐函数”．
本题考查了解一元二次方程公式法，根据题意令，然后进行计算是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：过点作于点，过点作于点，如图所示：

则有，
，
在正方形中，，，
，
，
≌，
，
，，
，，
根据勾股定理，得，
正方形的面积，
故选：．
过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质，易证≌，可得，再根据题意，即可求出和，根据勾股定理，可得的长，进一步即可求出正方形的面积．
本题考查了正方形的性质，涉及勾股定理，全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：如图：

设小正方形，，的边长分别是，，，
，，
，
，
，
又，
，
两个阴影部分的周长差，
只要知道下，即可求出两个阴影部分的周长差，
故选：．
设小正方形，，的边长分别是，，，表示出，，相减即可得到答案．
本题考查的是整式的加减、列代数式、去括号，列代数式与去括号是解本题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
解得：，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．
本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：平均数为：，
故方差是：．
故答案为：．
根据题意可得平均数，再根据方差的定义可得答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差及平均数的定义．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，的延长线交于点，

五边形是正五边形，
正五边形的每个外角相等．
．
，
，
，
，
．
故答案为：．
由，得由，得，那么欲求，需求由正五边形的性质，得，从而解决此题．
本题主要考查正多边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质，熟练掌握正多边形的性质是解决本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
即，
，
．
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，得，即可得出答案．
此题考查菱形的性质、勾股定理等知识，熟记菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：连接，作于，
，都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
连接，作于首先证明≌，再证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
 

16.【答案】

【解析】解：延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点．

点为直线上的一点，
，
，
和均为等腰直角三角形，
，，，
．
，
，
整理得，，
即，
，
，
设点坐标为，
，
即，
．
故答案为：．
延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点根据题意可得和均为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得，，，进而可得到，结合，可得，所以点的横纵坐标之积为，即得的值．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与一次函数图象的性质以及等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
则，
，即，
，
，；
，
，
则，即，
或，
解得，．

【解析】将常数项移到方程的右边，再把二次项系数化为，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
先移项，再利用公式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

18.【答案】解：在中，令，得，
，
，
；
设直线交轴于，如图：

由得或，
，
在中令得，
，



；
由图象可知：不等式的解集是或．

【解析】求出，代入即得；
设直线交轴于，联立解析式求出，由求出，从而可得；
数形结合直接写出解集．
本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是数形结合，当自变量相同时，函数值大则在直角坐标系中对应的点在上方．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求，线段扫过的面积为，
故答案为：；

如图，点有个，
故答案为：．
根据平移的性质得出，线段扫过的面积用矩形面积减去周围个直角三角形面积即可；
根据平行线之间的距离处处相等可得答案．
本题主要考查了作图平移变换，平行四边形的面积，平行线的性质等知识，准确画出图形是解题的关键．
 

20.【答案】解：九班位同学的成绩为：、、、、，
其中位数为分；
九班位同学的成绩为：、、、、，
九班的平均数为分，其众数为分，
补全表格如下：

九班成绩好些，
两个班的平均数都相同，而九班的中位数高，
在平均数相同的情况下，中位数高的九班成绩好些．

九班的成绩更稳定，能胜出．
分，
分，
，
九班的成绩更稳定，能胜出．

【解析】由条形图得出两班的成绩，根据中位数、平均数及众数分别求解可得；
由平均数相等得前提下，中位数高的成绩好解答可得；
分别计算两班成绩的方差，由方差小的成绩稳定解答．
本题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义即运用．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

21.【答案】证明：如图，设与交于点，

平分，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
点是的中点，
，
，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
四边形是矩形．

【解析】根据角平分线定义得到，由垂直的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，，
解得，舍去，
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为．
设每件商品的售价应该定为元，
则每件商品的销售利润为元，
每天的销售量为件，
依题意可得，
解得，，
要使销量尽可能大，
，
答：每件商品的售价应该定为元．

【解析】设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，由题意可列方程为，求解即可．
设每件商品的售价应该定为元，根据题意可列方程为，求出的值，再使其满足销量尽可能大即可．
本题考查一元二次方程的应用，能根据已知条件列出方程是解答本题的关键．
 

23.【答案】  或

【解析】解：点在反比例函数上，且的横坐标为，
，
点为的中点，
，
即，
故答案为：；
的横坐标为，
，
当时，
解得或，
或，
当时，根据中点坐标公式得，
当时，根据中点坐标公式得，
故答案为：或；
当点在第三象限时，如图，作于，
则，

，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
解得正值舍去，
当点在第一象限时，如图，
同理可知，，

综上：．
根据“伴随点”的定义可知，点为的中点，利用中点坐标公式可得答案；
首先联立方程得，求出点的坐标，再利用中点坐标公式可得答案；
分点在第三象限和第一象限，作于，利用∽，得，表示出点的坐标，从而得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，中点坐标公式，相似三角形的判定与性质等知识，理解定义，并利用相似三角形的性质表示出点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解：，．
证明：如图，延长交于点，

在正方形和正方形中，，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
过点作于点，

，
，
，，
，
又，，
≌，
，
，，，
≌，
，，
，
，
，
，
；
．
证明：在上截取，连接，

正方形和正方形中，，
，，
，
≌，
，，
平分，
，
又，，
≌，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】延长交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出结论；
过点作于点，证明≌，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，，求出的长，由三角形面积公式可得出答案；
在上截取，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．