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2021-2022学年浙江省宁波市象山县西片联考八年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年浙江省宁波市象山县西片联考八年级（上）期中数学试卷 解析版，共22页。试卷主要包含了选择题（每小题3分，共30分，解答题（17等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省宁波市象山县西片联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．⊥ B．≌ C．≥ D．≠
2．（3分）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，则AC的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
3．（3分）如图，小章家里有一块破碎的三角形玻璃，很快他就根据所学知识在纸上画了一个与原三角形一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
6．（3分）下列不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．三边对应相等
B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
7．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
8．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，MN垂直平分AB，且与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
9．（3分）如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别是S1，S2，S3；分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别是S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP＝OB，下面的结论：①∠APO﹣∠OBD＝30°；②△BPO是正三角形；③AB﹣AP＝AO；④S四边形AOBP＝2S△BOC，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为 ．
12．（4分）命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD＝AB，则∠BDC＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16，则S阴影＝ ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3．如果点P在AC边上，且点P到Rt△ABC的两个顶点的距离相等，那么AP的长为 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为 ．
三、解答题（17、18、19题各6分，20、21各8分22，23题各10分，24题12分，共66分
17．（6分）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（6分）如图，点C是线段BD上一点，AB∥CE，AB＝CD，BC＝CE．
求证：AC＝DE．
19．（6分）如图，AF，AD分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝40°，∠ACB＝100°，求∠DAF的度数．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．
（1）求BD的长．
（2）求△ABC的面积．
21．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）当∠A＝30°时，求∠DEF的度数．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且AE＝DE．
（1）求证：DE∥AC．
（2）若BE＝5，BC＝12，求△AED的周长．
23．（10分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝ ．
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．
①求证：△BDC为近直角三角形．
②求BD的长．
24．（12分）如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1，等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝α，AB＝AC，AD＝AE，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．
（1）【模型探究】
如图1，线段BD与线段CE存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
（2）【应用模型】
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是BC边的中点，直线MN经过点P，且∠DPB＝30°，点D是直线MN上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连结DE．
①如图3，当点E落在BC边上时，求CE．
②直接写出在点D运动过程中，点C和点E之间的最短距离．
2021-2022学年浙江省宁波市象山县西片联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．⊥ B．≌ C．≥ D．≠
【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．
【解答】解：四个数学符号中，是轴对称图形的是：⊥，
故选：A．
2．（3分）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，则AC的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【分析】直接利用三角形三边关系得出AC的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：BC﹣AB＜AC＜AB+BC，
∵AB＝2，BC＝3，
∴3﹣2＜AC＜2+3，
即1＜AC＜5，
则AC的长可能是2．
故选：B．
3．（3分）如图，小章家里有一块破碎的三角形玻璃，很快他就根据所学知识在纸上画了一个与原三角形一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】图中三角形没被破碎的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理和全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠1＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故选：B．
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
6．（3分）下列不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．三边对应相等
B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以符合题意的答案只有选项B了．
【解答】解：A、三边对应相等，利用SSS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由AAA不能判定它们全等，故本选项符合题意；
C、一条直角边和斜边对应相等，利用HL能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用SAS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
8．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，MN垂直平分AB，且与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而解答即可．
【解答】解：∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+BC+CD＝AD+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8，
故选：A．
9．（3分）如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别是S1，S2，S3；分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别是S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据图形和勾股定理，可以得到S1+S2＝S3，同理可得，S5+S6＝S4，然后根据S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，即可得到S3+S4的值，本题得以解决．
【解答】解：如右图所示，
∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
同理可得，S5+S6＝S4，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝10，
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP＝OB，下面的结论：①∠APO﹣∠OBD＝30°；②△BPO是正三角形；③AB﹣AP＝AO；④S四边形AOBP＝2S△BOC，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图，设AB交OP于点J．由OB＝OP＝OC，推出∠APO＝∠ABO，推出∠PAB＝∠POB＝60°，可证①②正确，延长AO到T，使得AT＝AB，证明△PBA≌△OBT（SAS），推出PA＝OT，可得③正确，推出四边形AOBP的面积是定值，可得④错误．
【解答】解：如图，设AB交OP于点J．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴OB＝OC，
∵OP＝OB，
∴OP＝PC＝OB，
∴∠OPC＝∠OCP＝∠ACB+∠OCB，∠OCB＝∠OBC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠AB＝30°，
∴∠OPC＝30°+∠OCB＝30°+∠OBC＝∠ABO，故①正确，
∵∠AJP＝∠BJO，
∴∠POB＝∠PAJ＝60°，
∵OP＝OB，故②正确，
延长AO到T，使得AT＝AB，
∵∠BAT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵∠ABT＝∠PBO＝60°，
∴∠PBA＝∠OBT，
在△PBA和△OBT中，
，
∴△PBA≌△OBT（SAS），
∴PA＝OT，
∴AB＝AT＝AO+OT＝OA+PA，
∴AB﹣AP＝AO，故③正确，
∴S△PBA＝S△BOT，
∴S四边形AOBP＝S△ABT＝定值，
∵△BOC的变化的，
故④错误，
故选：C．
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为 55° ．
【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°，
故答案是：55°．
12．（4分）命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是 真 命题（填“真”或“假”）．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．然后判断真假即可．
【解答】解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，为真命题，
故答案为：真．
13．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD＝AB，则∠BDC＝ 15° ．
【分析】根据等边三角形的性质可得出BA＝BC、∠ABC＝60°，由BD⊥AB、BD＝AB可得出△ABD为等腰直角三角形，进而可得出∠ABD＝90°及BD＝BC，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°．
∵BD⊥AB，BD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝90°，BD＝BC，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝150°，
∴∠DCB＝∠BDC＝（180°﹣∠CBD）＝15°．
故答案为：15．
14．（4分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16，则S阴影＝ 4 ．
【分析】利用三角形的中线的性质即可解决问题；
【解答】解：∵点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16，
∴S△ABD＝S△ADC＝8，
S△BDE＝S△DEC＝4，
∴S△BEC＝8，
∴S阴＝•S△BEC＝4，
故答案为4．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3．如果点P在AC边上，且点P到Rt△ABC的两个顶点的距离相等，那么AP的长为 4或 ．
【分析】根据勾股定理求出AC的值，分三种情况进行讨论，若PB＝PC，连接PB，设PA＝x，得出PB＝PC＝8﹣x，再根据勾股定理求出PA的值；若PA＝PC，得出PA＝4；若PA＝PB，由图知，不存在；从而得出PA的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝＝＝8．
若PB＝PC，连接PB，
设PA＝x，则PB＝PC＝8﹣x，
在Rt△PAB中，
∵PB2＝AP2+AB2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，即PA＝；
若PA＝PC，则PA＝4；
若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
综上所述，PA的长为：4或．
故答案是：4或．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为 15 ．
【分析】过E作EG⊥AB于G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP＝S△CFP＝y，根据BD是BD边上的中线，设S△CDF＝S△AFD＝z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，根据角平分线的性质得到EG＝CE＝2CP＝4，于是得到结论．
【解答】解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，
∵P为CE中点，
∵S△EFP＝S△CFP，
设S△EFP＝S△CFP＝y，
∵BD是AC边上的中线，
∴设S△CDF＝S△AFD＝z，
∵S△BFP＝15，
∴S△BCD＝15+y+z，
∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，
∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，
∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴EG＝CE＝2CP＝4，
∴S△ABE＝AB•EG＝30，
∴AB＝15，
故答案为：15．
三、解答题（17、18、19题各6分，20、21各8分22，23题各10分，24题12分，共66分
17．（6分）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】到A、B两个加油站的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上；到两条公路的距离相等的点在两条公路的夹角的角平分线上．
【解答】解：
18．（6分）如图，点C是线段BD上一点，AB∥CE，AB＝CD，BC＝CE．
求证：AC＝DE．
【分析】利用SAS证明△ABC≌△DCE即可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CE，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴AC＝DE．
19．（6分）如图，AF，AD分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝40°，∠ACB＝100°，求∠DAF的度数．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的性质即可求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠D＝90°，
∵∠B＝40°，∠ACB＝100°，
∴∠BAC＝40°，∠BAD＝50°，
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠BAF＝，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝50°﹣20°＝30°．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．
（1）求BD的长．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）设BD＝x，则CD＝15﹣x，由勾股定理得出方程，求出BD的长；
（2）结合（1）中所求得的数据得到AD的长度，然后由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）设BD＝x，则CD＝15﹣x．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，
由勾股定理得到：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2．
解得x＝．
即BD的长是；
（2）由（1）知，BD＝．
Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
即AD2＝142﹣（）2＝（）2，
∴AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×15×＝84．
21．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）当∠A＝30°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，可得DE＝EF，可得结论；
（2）根据∠A＝40°，可求出∠ABC＝∠ACB＝70°，根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）如图，∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠1+∠2＝105°
∴∠3+∠2＝105°
∴∠DEF＝75°．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且AE＝DE．
（1）求证：DE∥AC．
（2）若BE＝5，BC＝12，求△AED的周长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD平分∠BAC，再利用AE＝DE可得出∠EAD＝∠EDA，从而可得出∠CAD＝∠EDA，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由∠EAD＝∠EDA，根据等角的余角相等可得∠B＝∠EDB，从而可得出BE＝DE＝AE＝5，利用勾股定理求出AD，即可得出△AED的周长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，
∴∠B+∠BAD＝∠BDE+∠ADE＝90°，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE＝AE＝5，
∴AB＝10，
∴AD＝＝＝8，
∴△AED的周长为：AE+DE+AD＝5+5+8＝18．
23．（10分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝ 20° ．
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．
①求证：△BDC为近直角三角形．
②求BD的长．
【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°；
（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②过点D作DM⊥BC于点M，证明Rt△ACD≌Rt△MCD（HL），得出AC＝CM＝4，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为：20°；
（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，
则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②如图2，过点D作DM⊥BC于点M，
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，
∴AD＝DM．
在Rt△ACD和Rt△MCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．
∴AC＝CM＝4．
∵AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5．
∴BM＝1．
设AD＝DM＝x，
∵DM2+BM2＝DB2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
∴x＝，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣＝．
24．（12分）如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1，等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝α，AB＝AC，AD＝AE，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．
（1）【模型探究】
如图1，线段BD与线段CE存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
（2）【应用模型】
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是BC边的中点，直线MN经过点P，且∠DPB＝30°，点D是直线MN上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连结DE．
①如图3，当点E落在BC边上时，求CE．
②直接写出在点D运动过程中，点C和点E之间的最短距离．
【分析】（1）结论：BD＝CE．证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论；
（2）①如图3中，当点E落在BC边上时，连接BD，证明BD＝EC，解直角三角形求出BD，即可解决问题；
②证明△DAB≌△EAC（SAS），推出DB＝EC，推出BD最小时，EC的值最小，根据垂线段最短可知，当点D与R重合时，BD的值最小，BD的最小值＝BR．
【解答】解：（1）结论：BD＝CE．
理由：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①如图3中，当点E落在BC边上时，连接BD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB＝EC，∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠DBP＝∠ABD+∠ABC＝90°，
∵∠DPB＝30°，BP＝PC＝，
∴BD＝PB•tan30°＝1，
∴EC＝BD＝1；
②如图4中，连接BD，EC，过点B作BR⊥PD于点R．
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB＝EC，
∴BD最小时，EC的值最小，
根据垂线段最短可知，当点D与R重合时，BD的值最小，BD的最小值＝BR＝PB•sin30°＝，
∴EC的最小值为．
2021-2022学年浙江省宁波市象山县西片联考八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．⊥ B．≌ C．≥ D．≠
2．（3分）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，则AC的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
3．（3分）如图，小章家里有一块破碎的三角形玻璃，很快他就根据所学知识在纸上画了一个与原三角形一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
6．（3分）下列不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．三边对应相等
B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
7．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
8．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，MN垂直平分AB，且与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
9．（3分）如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别是S1，S2，S3；分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别是S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP＝OB，下面的结论：①∠APO﹣∠OBD＝30°；②△BPO是正三角形；③AB﹣AP＝AO；④S四边形AOBP＝2S△BOC，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为 ．
12．（4分）命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
13．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD＝AB，则∠BDC＝ ．
14．（4分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16，则S阴影＝ ．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3．如果点P在AC边上，且点P到Rt△ABC的两个顶点的距离相等，那么AP的长为 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为 ．
三、解答题（17、18、19题各6分，20、21各8分22，23题各10分，24题12分，共66分
17．（6分）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（6分）如图，点C是线段BD上一点，AB∥CE，AB＝CD，BC＝CE．
求证：AC＝DE．
19．（6分）如图，AF，AD分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝40°，∠ACB＝100°，求∠DAF的度数．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．
（1）求BD的长．
（2）求△ABC的面积．
21．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）当∠A＝30°时，求∠DEF的度数．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且AE＝DE．
（1）求证：DE∥AC．
（2）若BE＝5，BC＝12，求△AED的周长．
23．（10分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝ ．
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．
①求证：△BDC为近直角三角形．
②求BD的长．
24．（12分）如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1，等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝α，AB＝AC，AD＝AE，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．
（1）【模型探究】
如图1，线段BD与线段CE存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
（2）【应用模型】
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是BC边的中点，直线MN经过点P，且∠DPB＝30°，点D是直线MN上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连结DE．
①如图3，当点E落在BC边上时，求CE．
②直接写出在点D运动过程中，点C和点E之间的最短距离．
2021-2022学年浙江省宁波市象山县西片联考八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分
1．（3分）下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．⊥ B．≌ C．≥ D．≠
【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．
【解答】解：四个数学符号中，是轴对称图形的是：⊥，
故选：A．
2．（3分）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，则AC的长可能是（ ）
A．1 B．2 C．5 D．6
【分析】直接利用三角形三边关系得出AC的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得：BC﹣AB＜AC＜AB+BC，
∵AB＝2，BC＝3，
∴3﹣2＜AC＜2+3，
即1＜AC＜5，
则AC的长可能是2．
故选：B．
3．（3分）如图，小章家里有一块破碎的三角形玻璃，很快他就根据所学知识在纸上画了一个与原三角形一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】图中三角形没被破碎的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边可以作出，
所以，依据是ASA．
故选：D．
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理和全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴∠1＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故选：B．
5．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【分析】由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【解答】解：①当4为腰时，4+4＝8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长＝8+8+4＝20．
故选：C．
6．（3分）下列不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．三边对应相等
B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等
D．两条直角边对应相等
【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而AAA是不能判定三角形全等的，所以符合题意的答案只有选项B了．
【解答】解：A、三边对应相等，利用SSS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由AAA不能判定它们全等，故本选项符合题意；
C、一条直角边和斜边对应相等，利用HL能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用SAS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．（3分）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1＝50°，∠2＝40° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝∠2＝45° D．∠1＝40°，∠2＝40°
【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
【解答】解：A、满足条件∠1+∠2＝90°，也满足结论∠1≠∠2，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：C．
8．（3分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3，MN垂直平分AB，且与AC相交于点D，则△BDC的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝BD，进而解答即可．
【解答】解：∵MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BDC的周长＝BD+BC+CD＝AD+DC+BC＝AC+BC＝5+3＝8，
故选：A．
9．（3分）如图，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别是S1，S2，S3；分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别是S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据图形和勾股定理，可以得到S1+S2＝S3，同理可得，S5+S6＝S4，然后根据S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，即可得到S3+S4的值，本题得以解决．
【解答】解：如右图所示，
∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
同理可得，S5+S6＝S4，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝10，
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是CA延长线上一点，点O在AD延长线上，OP＝OB，下面的结论：①∠APO﹣∠OBD＝30°；②△BPO是正三角形；③AB﹣AP＝AO；④S四边形AOBP＝2S△BOC，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图，设AB交OP于点J．由OB＝OP＝OC，推出∠APO＝∠ABO，推出∠PAB＝∠POB＝60°，可证①②正确，延长AO到T，使得AT＝AB，证明△PBA≌△OBT（SAS），推出PA＝OT，可得③正确，推出四边形AOBP的面积是定值，可得④错误．
【解答】解：如图，设AB交OP于点J．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴OB＝OC，
∵OP＝OB，
∴OP＝PC＝OB，
∴∠OPC＝∠OCP＝∠ACB+∠OCB，∠OCB＝∠OBC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠AB＝30°，
∴∠OPC＝30°+∠OCB＝30°+∠OBC＝∠ABO，故①正确，
∵∠AJP＝∠BJO，
∴∠POB＝∠PAJ＝60°，
∵OP＝OB，故②正确，
延长AO到T，使得AT＝AB，
∵∠BAT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵∠ABT＝∠PBO＝60°，
∴∠PBA＝∠OBT，
在△PBA和△OBT中，
，
∴△PBA≌△OBT（SAS），
∴PA＝OT，
∴AB＝AT＝AO+OT＝OA+PA，
∴AB﹣AP＝AO，故③正确，
∴S△PBA＝S△BOT，
∴S四边形AOBP＝S△ABT＝定值，
∵△BOC的变化的，
故④错误，
故选：C．
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为 55° ．
【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠A＝90°﹣35°＝55°，
故答案是：55°．
12．（4分）命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是 真 命题（填“真”或“假”）．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．然后判断真假即可．
【解答】解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，为真命题，
故答案为：真．
13．（4分）如图，△ABC为等边三角形，BD⊥AB，BD＝AB，则∠BDC＝ 15° ．
【分析】根据等边三角形的性质可得出BA＝BC、∠ABC＝60°，由BD⊥AB、BD＝AB可得出△ABD为等腰直角三角形，进而可得出∠ABD＝90°及BD＝BC，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝60°．
∵BD⊥AB，BD＝AB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝90°，BD＝BC，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝150°，
∴∠DCB＝∠BDC＝（180°﹣∠CBD）＝15°．
故答案为：15．
14．（4分）如图，在△ABC中，已知点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16，则S阴影＝ 4 ．
【分析】利用三角形的中线的性质即可解决问题；
【解答】解：∵点D，E，F，分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16，
∴S△ABD＝S△ADC＝8，
S△BDE＝S△DEC＝4，
∴S△BEC＝8，
∴S阴＝•S△BEC＝4，
故答案为4．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3．如果点P在AC边上，且点P到Rt△ABC的两个顶点的距离相等，那么AP的长为 4或 ．
【分析】根据勾股定理求出AC的值，分三种情况进行讨论，若PB＝PC，连接PB，设PA＝x，得出PB＝PC＝8﹣x，再根据勾股定理求出PA的值；若PA＝PC，得出PA＝4；若PA＝PB，由图知，不存在；从而得出PA的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝＝＝8．
若PB＝PC，连接PB，
设PA＝x，则PB＝PC＝8﹣x，
在Rt△PAB中，
∵PB2＝AP2+AB2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝，即PA＝；
若PA＝PC，则PA＝4；
若PA＝PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
综上所述，PA的长为：4或．
故答案是：4或．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为 15 ．
【分析】过E作EG⊥AB于G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP＝S△CFP＝y，根据BD是BD边上的中线，设S△CDF＝S△AFD＝z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，根据角平分线的性质得到EG＝CE＝2CP＝4，于是得到结论．
【解答】解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，
∵P为CE中点，
∵S△EFP＝S△CFP，
设S△EFP＝S△CFP＝y，
∵BD是AC边上的中线，
∴设S△CDF＝S△AFD＝z，
∵S△BFP＝15，
∴S△BCD＝15+y+z，
∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，
∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，
∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴EG＝CE＝2CP＝4，
∴S△ABE＝AB•EG＝30，
∴AB＝15，
故答案为：15．
三、解答题（17、18、19题各6分，20、21各8分22，23题各10分，24题12分，共66分
17．（6分）如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路l1、l2的距离也相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】到A、B两个加油站的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上；到两条公路的距离相等的点在两条公路的夹角的角平分线上．
【解答】解：
18．（6分）如图，点C是线段BD上一点，AB∥CE，AB＝CD，BC＝CE．
求证：AC＝DE．
【分析】利用SAS证明△ABC≌△DCE即可得结论．
【解答】证明：∵AB∥CE，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC和△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴AC＝DE．
19．（6分）如图，AF，AD分别是△ABC的角平分线和高线，∠B＝40°，∠ACB＝100°，求∠DAF的度数．
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的性质即可求解．
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠D＝90°，
∵∠B＝40°，∠ACB＝100°，
∴∠BAC＝40°，∠BAD＝50°，
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠BAF＝，
∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝50°﹣20°＝30°．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC．
（1）求BD的长．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）设BD＝x，则CD＝15﹣x，由勾股定理得出方程，求出BD的长；
（2）结合（1）中所求得的数据得到AD的长度，然后由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：（1）设BD＝x，则CD＝15﹣x．
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（15﹣x）2，
由勾股定理得到：142﹣x2＝132﹣（15﹣x）2．
解得x＝．
即BD的长是；
（2）由（1）知，BD＝．
Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝142﹣x2，
即AD2＝142﹣（）2＝（）2，
∴AD＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝×15×＝84．
21．（8分）在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）当∠A＝30°时，求∠DEF的度数．
【分析】（1）利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，可得DE＝EF，可得结论；
（2）根据∠A＝40°，可求出∠ABC＝∠ACB＝70°，根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△DBE和△CEF中
，
∴△DBE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）如图，∵△DBE≌△CEF，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠1+∠2＝105°
∴∠3+∠2＝105°
∴∠DEF＝75°．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AB上一点，且AE＝DE．
（1）求证：DE∥AC．
（2）若BE＝5，BC＝12，求△AED的周长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD平分∠BAC，再利用AE＝DE可得出∠EAD＝∠EDA，从而可得出∠CAD＝∠EDA，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由∠EAD＝∠EDA，根据等角的余角相等可得∠B＝∠EDB，从而可得出BE＝DE＝AE＝5，利用勾股定理求出AD，即可得出△AED的周长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴DE∥AC；
（2）解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，
∴∠B+∠BAD＝∠BDE+∠ADE＝90°，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠B＝∠EDB，
∴BE＝DE＝AE＝5，
∴AB＝10，
∴AD＝＝＝8，
∴△AED的周长为：AE+DE+AD＝5+5+8＝18．
23．（10分）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝ 20° ．
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．
①求证：△BDC为近直角三角形．
②求BD的长．
【分析】（1）∠B不可能是α或β，当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°；
（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②过点D作DM⊥BC于点M，证明Rt△ACD≌Rt△MCD（HL），得出AC＝CM＝4，由勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为：20°；
（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，
则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②如图2，过点D作DM⊥BC于点M，
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，
∴AD＝DM．
在Rt△ACD和Rt△MCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．
∴AC＝CM＝4．
∵AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝＝5．
∴BM＝1．
设AD＝DM＝x，
∵DM2+BM2＝DB2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
∴x＝，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣＝．
24．（12分）如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1，等腰△ABC与等腰△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝α，AB＝AC，AD＝AE，我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”．
（1）【模型探究】
如图1，线段BD与线段CE存在怎样的数量关系？请证明你的结论．
（2）【应用模型】
如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，点P是BC边的中点，直线MN经过点P，且∠DPB＝30°，点D是直线MN上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连结DE．
①如图3，当点E落在BC边上时，求CE．
②直接写出在点D运动过程中，点C和点E之间的最短距离．
【分析】（1）结论：BD＝CE．证明△BAD≌△CAE（SAS），可得结论；
（2）①如图3中，当点E落在BC边上时，连接BD，证明BD＝EC，解直角三角形求出BD，即可解决问题；
②证明△DAB≌△EAC（SAS），推出DB＝EC，推出BD最小时，EC的值最小，根据垂线段最短可知，当点D与R重合时，BD的值最小，BD的最小值＝BR．
【解答】解：（1）结论：BD＝CE．
理由：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）①如图3中，当点E落在BC边上时，连接BD．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB＝EC，∠ABD＝∠ACB＝45°，
∴∠DBP＝∠ABD+∠ABC＝90°，
∵∠DPB＝30°，BP＝PC＝，
∴BD＝PB•tan30°＝1，
∴EC＝BD＝1；
②如图4中，连接BD，EC，过点B作BR⊥PD于点R．
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB＝EC，
∴BD最小时，EC的值最小，
根据垂线段最短可知，当点D与R重合时，BD的值最小，BD的最小值＝BR＝PB•sin30°＝，
∴EC的最小值为．
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