人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示第二课时导学案

第二课时　平面与平面垂直的性质

(1)在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直；

(2)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD.

[问题]　通过上述实例，你能总结出面面垂直的一条性质吗？

知识点　平面与平面垂直的性质定理

对面面垂直的性质定理的再理解

(1)定理成立的条件有三个：

①两个平面互相垂直；

②直线在其中一个平面内；

③直线与两平面的交线垂直；

(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直；

(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．　　　　

　如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线，正确吗？

提示：正确．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若平面α⊥平面β，则平面α内所有直线都垂直于平面β.(　　)

(2)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β.(　　)

(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定不存在直线垂直于平面β.(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．

解析：因为α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，

所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.

答案：平行

[例1]　(链接教科书第160页例9，例10)如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．

求证：平面PBG⊥平面PAD.

[证明]　∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，

∴△ABD是正三角形．

∵G为AD边的中点，∴BG⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴BG⊥平面PAD.

∵BG⊂平面PBG，

∴平面PBG⊥平面PAD.

应用面面垂直性质定理要注意的问题

应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．

 [跟踪训练]

1.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.

证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.

由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.

又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.

又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.

又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.

2.如图，在平行四边形ABCD中，BD＝2，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

求证：AB⊥DE.

证明：在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，BD＝2，

∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.

∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，

∴AB⊥平面EBD.

∵DE⊂平面EBD，

∴AB⊥DE.

[例2]　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足．

(1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．

[证明]　(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.

∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.

∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.

作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.

∵DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，

∴PA⊥平面ABC.

(2)如图，连接BE并延长交PC于点H.

∵点E是△PBC的垂心，∴PC⊥BE.

又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.

∵AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.

又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.

由(1)知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB.

∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.

又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．

垂直关系的转化

在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：

[跟踪训练]

　如图①，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到三棱锥D­ABC，如图②所示．求证：BC⊥平面ACD.

证明：在题图①中，∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝2，∴AC＝2.又CD∥AB，AB＝4，∴BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.

法一：在题图②中取AC的中点O，连接OD(图略)，则DO⊥AC.

∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，OD⊂平面ACD，∴OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC.

又AC⊥BC，AC∩OD＝O，∴BC⊥平面ACD.

法二：∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，

∴BC⊥平面ACD.

1．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是(　　)

A．垂直　　　　　　　　 B．平行

C．l⊂β  D．平行或l⊂β

解析：选D　如图l∥β或l⊂β.故选D.

2．如图所示，三棱锥P­ABC中，侧面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．

解析：设P在平面ABC上的射影为O，

∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，

∴O∈AB.

∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，

∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，

∴△ABC是直角三角形．

答案：直角

3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.

证明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，

四边形BCC1B1为平行四边形，

因为BC＝CC1，

所以四边形BCC1B1为菱形，

所以B1C⊥BC1，

又平面A1BC1⊥平面BCC1B1，

且平面A1BC1∩平面BCC1B1＝BC1，B1C⊂平面BCC1B1，

所以B1C⊥平面A1BC1，

因为B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.