人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第一课时学案

余弦定理、正弦定理

第一课时　余弦定理

利用现代测量工具，可以方便地测出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角．

[问题]　例如，如图所示，A，B分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC，BC以及∠ACB的大小．你能根据这三个量求出AB的距离吗？

知识点一　余弦定理

知识点二　解三角形

一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　)

(2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　)

(3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)

(4)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)

A．c2＝a2＋b2－2abcos C　 B．c2＝a2－b2－2bccos A

C．b2＝a2－c2－2bccos A  D．cos C＝

解析：选A　由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A.

3．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝(　　 )

A.  B．8

C．10  D．7

解析：选D　由余弦定理得：c＝＝＝7.故选D.

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝________．

解析：由余弦定理，得cos B＝＝＝－.又0°<B<180°，∴B＝150°.

答案：150°

[例1]　(链接教科书第43页例5)(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________cm；

(2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________．

[解析]　(1)由余弦定理得：

a＝

＝ ＝60(cm)．

(2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×，

所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或5.

[答案]　(1)60　(2)4或5

已知两边及一角解三角形的两种情况

(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解；

(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角．　　　　

[跟踪训练]

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　)

A．4　　　　　　　　　 B.

C．3  D.

解析：选D　cos C＝－cos(A＋B)＝－.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D.

2．在△ABC中，a＝3，b＝3，B＝30°，解这个三角形．

解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos B，

即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.

当c＝3时，cos A＝＝－，

∵0°<A<180°，∴A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；

当c＝6时，cos A＝＝，

∵0°<A<180°，∴A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.

综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.

[例2]　(链接教科书第44页练习2题)(1)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，求·的值；

(2)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各内角的度数．

[解]　(1)根据余弦定理的推论得cos A＝＝＝，

·＝－·＝－||·||·cos A＝－3×2×＝－.

(2)由a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．

由余弦定理的推论，得cos A＝＝＝，∴A＝45°.

cos B＝＝＝，∴B＝60°.

∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.

已知三角形三边解三角形的方法

先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．　　　　

[跟踪训练]

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝3，b＝5，c＝，则最大角与最小角的和为(　　)

A．90°  B．120°

C．135°  D．150°

解析：选B　在△ABC中，∵a＝3，b＝5，c＝，

∴最大角为B，最小角为A，

∴cos C＝＝＝，∵0°<C<180°，∴C＝60°，

∴A＋B＝120°，

∴△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.

2．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________．

解析：由已知可得(a＋b)2－c2＝ab，

∴cos C＝＝－.∵C∈(0，π)，∴C＝.

答案：

[例3]　(1)在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cos Asin B＝sin C，试判断三角形的形状；

(2)在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．

[解]　(1)∵A＋B＋C＝180°，∴sin C＝sin(A＋B)．

∵2cos Asin B＝sin C，

∴2cos Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，

∴sin Acos B－cos Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0.

∵0°<A<180°，0°<B<180°，

∴－180°<A－B<180°，∴A－B＝0°，即A＝B.

又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

∴a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝.

∵0°<C<180°，∴C＝60°，∴△ABC为等边三角形．

(2)由acos B＋acos C＝b＋c，结合余弦定理得a·＋a·＝b＋c，即＋＝b＋c，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.

∵b＋c≠0，∴a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形．

判断三角形形状的基本思想和两条思路

[跟踪训练]

在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C所对的边)，判断三角形的形状．

解：因为cos2 ＝，

所以＝＋，所以cos A＝.

由余弦定理的推论cos A＝，得＝，所以b2＋c2－a2＝2b2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．

1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　)

A．30°　　　　　　　　　　 B．45°

C．60°  D．90°

解析：选C　∵a＝，b＝3，c＝2，∴由余弦定理得，cos A＝＝＝，又由A∈(0°，180°)，得A＝60°.故选C.

2．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长是________．

解析：设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2.

答案：2

3．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cos B＝________．

解析：由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝102＋152－2×10×15×cos 60°＝175，

∴c＝5.

∴cos B＝＝＝.

答案：

4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，

(1)求角A的大小；

(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．

解：(1)∵(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，

∴a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc.

∴cos A＝＝＝.

∵0°<A<180°，∴A＝60°.

(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，

∴()2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc.①

又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，

∴∴b＝c＝，

于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形．