高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用导学案及答案，共15页。

[重点] 正弦、余弦定理解决生产实践中距离、角度和高度的测量问题．
[难点] 实际问题的理解与建模．
要点整合夯基础
知识点一 测量中的有关概念、名词、术语
[填一填]
1．俯角和仰角：如图所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．
2．方向角和方位角
①指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角．目标方向线方向一般可用“×偏×”多少度来表示，这里第一个“×”是“北”或“南”，第二个“×”是“东”或“西”．如图所示，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60°、北偏西30°、南偏西45°、南偏东20°.
②方位角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角叫方位角．
3．坡度和坡比
坡面与水平面所成的夹角的度数叫坡度，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡比eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(i＝\f(h,l))).如图所示．
[答一答]
1．“视角”是“仰角”吗？
提示：不是．视角是指观察物体的两端视线张开的角度．如图所示，视角60°指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角．
2．方向角和方位角有何区别？
提示：方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角．
3．坡度和坡比有什么区别？
提示：坡度是坡面与水平面所成的夹角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比．
知识点二 基线
[填一填]
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
[答一答]
4．测量是否一定要选取基线？
提示：测量一定要选取基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度．
知识点三 距离问题
[填一填]
1．测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题．如图所示．
这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．
2．测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题．如图所示．
首先把未知的BC和AC的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题；然后把求不可到达
的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题．
[答一答]
5．解与三角形有关的应用题的基本思路是什么？
提示：基本思路(如图)：
知识点四 高度与角度问题
[填一填]
1．高度问题
测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
2．角度问题
测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函数值，然后求角，再根据需要求所求的角．
[答一答]
6．为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面之间有什么关系？
提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面垂直．
7．解三角形应用问题常见的几种情况是什么？
提示：解三角形实际应用问题经抽象概括为解三角形问题时，常见情况有以下几种：
(1)已知量与未知量全都集中在一个三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解；
(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形．这时可先解条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有时需要设出未知量，从几个三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程组，解方程或方程组得到答案．
典例讲练破题型
类型一 距离问题
命题角度1：测量从一个可到达的点，到一个不可到达的点之间的距离
[例1] 为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B两点间的距离．
[分析] 将问题转化为解△ABC的问题．
[解] 根据正弦定理得eq \f(AB,sin∠ACB)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，
∴AB＝eq \f(ACsin∠ACB,sin∠ABC)
＝eq \f(8sin45°,sin180°－30°－45°)
＝eq \f(4\r(2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝8(eq \r(3)－1) (m)．
即A，B间的距离为8(eq \r(3)－1) m.
eq \a\vs4\al( 此类题目的求解策略：,1找基线如本题中AC.,2测基线长及视角如AC、∠BAC及∠BCA.,3用正弦定理求解两点间的距离AB的长.)
[变式训练1] 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的宽度．
解：在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，
∴∠ACB＝60°.由正弦定理可得AC＝eq \f(ABsin∠CBA,sin∠ACB).
∴AC＝eq \f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq \r(2)＋eq \r(6))(米)．
设C到AB的距离为CD，则
CD＝ACsin∠CAB＝eq \f(\r(2),2)AC＝20(eq \r(3)＋3)．
∴河的宽度为20(eq \r(3)＋3)米．
命题角度2：测量两个不可到达的点之间的距离
[例2] 如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得∠ADC＝30°，2分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则船速为________千米/分钟．
[分析] 先在△ACD中利用正弦定理求出AD的长度，在△BCD中利用余弦定理进行求解．
[解析] 在△ACD中，CD＝1，∠ADC＝30°，
∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°，
∴∠CAD＝180°－30°－105°＝45°.
由正弦定理，AD＝eq \f(CD,sin∠CAD)·sin∠ACD
＝eq \f(1,\f(\r(2),2))×eq \f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
同理，在△BCD中，
BD＝eq \f(CD,sin∠CBD)·sin∠BCD＝eq \f(1,\f(\r(2),2))×eq \f(\r(2),2)＝1.
在△ADB中，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠ADB
＝(eq \f(\r(3)＋1,2))2＋12－2×eq \f(\r(3)＋1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).
∴AB＝eq \f(\r(6),2)，∴船速为eq \f(\r(6),4)千米/分钟．
[答案] eq \f(\r(6),4)
测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当.
[变式训练2] 如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距eq \r(3) km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°.
∴AC＝CD＝eq \r(3) km.
在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.
在△BCD中，由正弦定理，得BC＝eq \f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．
则在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs∠BCA
＝(eq \r(3))2＋(eq \f(\r(6)＋\r(2),2))2－2eq \r(3)×eq \f(\r(6)＋\r(2),2)cs75°＝5.
∴AB＝eq \r(5) km.
∴两目标A，B之间的距离为eq \r(5) km.
类型二 高度问题
命题角度1：底部不可到达的高度问题
[例3] 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
[分析] 将实际问题转化为解三角形问题．在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝600 m．已知两角及其夹边，可考虑用正弦定理求解．在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，求CD.
[解析] 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得eq \f(600,sin45°)＝eq \f(BC,sin30°)，
解得BC＝300eq \r(2) m.
在Rt△BCD中，
CD＝BC·tan30°＝300eq \r(2)×eq \f(\r(3),3)＝100eq \r(6)(m)．
[答案] 100eq \r(6)
对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形.其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可.
[变式训练3] 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是( D )
A．100 m B．400 m
C．200 mD．500 m
解析：设AB＝x m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以BC＝AB＝x m；
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
所以BD＝eq \r(3)x m，在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，
由余弦定理得(eq \r(3)x)2＝x2＋5002－2x×500×cs120°，解得x＝500(负值舍去)．
命题角度2：顶部不可到达的高度问题
[例4] 如图，某人在地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30°，过一分钟后到B再测得仰角为45°，如果该飞机以每小时450 km的速度沿水平方向飞行，则飞机的高度为________km.
[解析] 由题意知，∠DCA＝60°，∠DCB＝45°，
设飞机高为h km，
则BD＝h km，AD＝eq \r(3)h km.
又AB＝450×eq \f(1,60)＝7.5(km)，
由AD－BD＝AB得eq \r(3)h－h＝7.5.
所以h＝eq \f(7.5,\r(3)－1)＝eq \f(15\r(3)＋1,4)(km)．
[答案] eq \f(15\r(3)＋1,4)
对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此三角形中利用正弦或余弦定理求解即可.
[变式训练4] 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为811 m．(精确到1 m)
解析：如图，过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°，
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝eq \f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq \f(1 000×sin135°,sin30°)＝1 000eq \r(2)(m)．
在Rt△ABC中，BC＝ABsin35°≈811 (m)．
类型三 角度问题
[例5] 某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10 km/h的速度向小岛靠拢，海军舰艇立即以10eq \r(3) km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．
[分析] 由题意知，要求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间，可设靠近的位置为B处．因此只要确定∠BAC及AB的值即可．故先设出舰艇与渔船靠近的时间t，然后在△ABC中利用余弦定理建立关于t的方程，即可求解．
[解] 如图所示，设t h后，舰艇与渔船在B处靠近，
则AB＝10eq \r(3)t，CB＝10t，
在△ABC中，根据余弦定理，
则有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs120°，
可得(10eq \r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcs120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq \f(1,2)(舍去)．
所以舰艇需1 h靠近渔船．
此时AB＝10eq \r(3)，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AB,sin120°)，
所以sin∠CAB＝eq \f(BCsin120°,AB)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq \f(1,2).
又因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝30°.
所以舰艇航行的方位角∠BAD＝45°＋30°＝75°.
答：舰艇航行的方位角为75°，航行的时间为1 h.
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步.
[变式训练5] 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则csθ等于( C )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(3)－1 D.eq \r(2)－1
解析：在△ABC中，由正弦定理得eq \f(AB,sin30°)＝eq \f(AC,sin135°)，
∴AC＝100eq \r(2) m.
在△ADC中，eq \f(AC,sinθ＋90°)＝eq \f(CD,sin15°)，
∴csθ＝sin(θ＋90°)＝eq \f(AC·sin15°,CD)＝eq \r(3)－1.
课堂达标练经典
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是( D )
A．10eq \r(3)海里 B.eq \f(10\r(6),3)海里
C．5eq \r(2)海里D．5eq \r(6)海里
解析：如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理得eq \f(10,sin45°)＝eq \f(BC,sin60°)，∴BC＝5eq \r(6)海里，故选D.
2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB等于( A )
A．50eq \r(3) mB．100eq \r(3) m
C．50 mD．100 m
解析：因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
由正弦定理得eq \f(AC,sinD)＝eq \f(DC,sin∠DAC)，
所以AC＝DC＝100 m，
在Rt△ABC中，AB＝ACsin60°＝50eq \r(3) m.
3．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3eq \r(3) km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为( C )
A．4 kmB．6 km
C．7 kmD．9 km
解析：如图所示，由题意可知AB＝3eq \r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°，
由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3eq \r(3)×2×cs150°＝49，
所以AC＝7，所以A，C两地距离为7 km.
4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为7 km.
解析：因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，
由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cs(π－D)
＝32＋52－2×3×5×csD，
整理得csD＝－eq \f(1,2)，
代入得AC2＝32＋52－2×3×5×(－eq \f(1,2))＝49，故AC＝7.
5．甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq \r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at海里，
AC＝eq \r(3)at海里，
B＝180°－60°＝120°，
由eq \f(BC,sin∠CAB)＝eq \f(AC,sinB)，
得sin∠CAB＝eq \f(BCsinB,AC)＝eq \f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq \f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(1,2)，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
——本课须掌握的三大问题
1．数学建模思想：解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到实际问题的解，这就是数学建模思想．
2．解三角形应用题的具体操作程序
(1)在弄清题意的基础上作出示意图；
(2)在图形上分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量；
(3)用正、余弦定理进行求解；
(4)根据实际意义与精确度要求给出答案．
3．解三角形应用题常见的两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充分的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．