高中数学6.2 平面向量的运算导学案

向量的加法运算

如图所示，李敏同学上午从家(点A)到达了公园(点B)，下午从公园(点B)到达了舅舅家(点C)．

[问题]　(1)分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；

(2)这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？

知识点一　向量加法的定义及其运算法则

1．向量加法的定义：求两个向量的运算，叫做向量的加法．

2．向量求和的法则

向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质

(1)区别：①三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；

②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．

(2)实质：三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法法则在本质上是一致的．　　　　

两个向量的和还是向量吗？

提示：是．

1．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选D　＋＝.故选D.

2．在矩形ABCD中，＋＝________．

解析：根据向量加法的平行四边形法则知，＋＝.

答案：

知识点二　向量加法的运算律

多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．　　　　

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)0＋a＝a＋0＝a.(　　)

(2)＋＝0.(　　)

(3)a＋(b＋c)＝c＋(a＋b)．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√

2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选D　由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a＋b＋c相等．

3．化简＋＋＝________．

解析：＋＋＝(＋)＋＝＋＝0.

答案：0

知识点三　|a＋b|与|a|，|b|之间的关系

对任意两个向量a，b，有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．

　如果||＝8，||＝5，那么||的最大值为________．

答案：13

[例1]　(链接教科书第8页例1)(1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a＋b；

(2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a＋b.

[解]　(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，再作向量，则＝a＋b.如图所示．

(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则＝a＋b.如图所示．

求作和向量的方法

(1)利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将两向量平移到首尾相接，从该始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和．一定要注意首尾相接；

(2)利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和．　　　　

[跟踪训练]

如图所示，已知向量a，b，c不共线，作向量a＋b＋c.

解：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b；再作＝c，以OB，OC为邻边作▱OBDC，则＝a＋b＋c.

[例2]　化简：(1)(＋)＋(＋)；

(2)＋＋＋＋.

[解]　 (1)法一：(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝.

法二：(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0＝.

(2)＋＋＋＋＝(＋)＋(＋＋)＝＋＝0.

向量加法运算的几个注意点

(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0；

(2)运用多边形法则进行向量加法求和时，在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．　　　　

[跟踪训练]

1．向量＋＋＋＋＝(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选A　向量＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝.故选A.

2.如图，四边形ABDC为等腰梯形，AB∥CD，AC＝BD，CD＝2AB，E为CD的中点．试求：

(1)＋；(2)＋＋；

(3)＋＋＋.

解：由已知得四边形ACEB，四边形ABDE均为平行四边形．

(1)＋＝；

(2)＋＋＝＋＝；

(3)＋＋＋＝＋＋

＝(＋)＋

＝＋＝＋＝0.

[例3]　(链接教科书第9页例2)在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．

[解]　作出图形，如图．船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形．

在Rt△ACD中，||＝||＝|v水|＝10 m/min，||＝|v船|＝20 m/min，

∴cos α＝＝＝，∴α＝60°.

故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．

[母题探究]

1．(变条件)本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角)．

解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，||＝|v水|＝10 m/min，

则tan∠BAC＝＝2，即为所求．

2．(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km?

解：由题意可知||＝||＝×20＝10(m/min)＝(km/h)，

则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km)．

向量加法应用的关键及技巧

(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量；

(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．　　　　

[跟踪训练]

　一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．

解：如图所示，设，分别是直升飞机两次的位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋.

在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km.

在Rt△ACD中，||＝＝40 km，∠CAD＝60°，

即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km处．

向量加法三角形法则的推广

2018年7月18日，在加拿大蒙特利尔举行的机器人世界杯比赛，在最终决赛中，中国浙江大学队以4∶0的比分战胜了美国卡耐基梅隆大学队，获得了冠军．机器人在赛场上能“多人协作”进行断球、传球，能够做出假动作迷惑对手，还可以通过人工智能技术对球场局势进行相应的判断．

在比赛过程中，中国浙江大学队的机器人甲采用迂回战术带球射门，行走的路线如图①，从点A开始绕灰色区域走一圈，最终骗过对方队员，成功踢进一球，这名射手激动地跳起了如图②所示的正多边形舞，跳舞的方式是从点P开始，沿正东方向行进1米，逆时针方向旋转角α，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向旋转角α，按直线向前行进1米，……，最终回到起点．

成功踢入一球后，甲、乙、丙、丁四名射手按图③的路线组织传球，又进了一球．最终中国浙江大学队踢进4球，以4∶0的成绩获得了机器人足球世界杯冠军！

[问题探究]

1．当α＝45°时，请画出射手的跳舞轨迹，并说明跳多少步时位移为0，请作图说明(假设机器人跳1步为1米)．

提示：射手的跳舞轨迹为如图所示的正八边形，其中边长为1 m，跳8步时，射手回到起点，所以当射手跳8n(n∈N*)步时，射手的位移为零．

2．要使射手能回到出发点，跳舞时设定的α应满足什么条件？

提示：要使射手能回到出发点，只需射手的位移为零．按上述方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，由多边形的内角和定理可得n(180°－α)＝(n－2)·180°，解得α＝，且n≥3，n∈N*.故α应满足的条件为α＝，且n≥3，n∈N*.

[迁移应用]

甲、乙、丙、丁四名射手按下列路线组织传球：甲机器人按北偏东30°的方向将球传2 m给机器人乙，然后机器人乙按南偏东30°的方向将球传2 m给机器人丙，机器人丙再按西南方向传 m给机器人丁，利用向量加法求出球的位移向量，并确定此向量模的大小．

解：根据题意画出示意图如图，用A，B，C，D分别表示甲、乙、丙、丁四名射手的位置，则球的位移为＋＋＝，故球的最终位移为，依题意知△ABC为正三角形，故||＝||＝AC＝2 m.

又因为∠ACD＝45°，CD＝ m，所以∠ADC＝90°，所以△ACD为等腰直角三角形，所以||＝ m.

1．正方形ABCD的边长为1，则|＋|＝(　　)

A．1　　 B.　　　

C．3　　 D．2

解析：选B　在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，所以|＋|＝||＝AC＝.

2．化简＋＋等于(　　)

A.  B. 

C．0  D.

解析：选D　＋＋＝＋＝.

3.(多选)如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是(　　)

A.＋＝

B.＋＋＝0

C.＋＝

D.＋＝

解析：选ABC　A、B显然正确；＋＝＝，C正确；由向量加法的平行四边形法则，可知＋＝≠，D不正确．

4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，求：

(1)|a＋b|；

(2)指出向量a＋b的方向．

解：(1)如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以|a＋b|＝||＝＝8 km .

(2)因为|a|＝|b|，所以∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北方向．