2020-2021学年6.4 平面向量的应用第四课时学案及答案

第四课时　余弦定理、正弦定理应用举例

在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图所示故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．

[问题]　假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由．

知识点　实际应用问题中的有关名词、术语

1．基线的概念与选取原则

(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线；

(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

2．方向角

从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．如图，北偏东30°，南偏东45°.

3．仰角和俯角

(1)前提：在视线所在的垂直平面内；

(2)仰角：视线在水平线以上时，视线与水平线所成的角；

(3)俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线所成的角．

　李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？

提示：东南方向．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同．(　　)

(2)东偏北45°的方向就是东北方向．(　　)

(3)俯角和仰角都是对于水平线而言的．(　　)

(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面．(　　)

(5)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×

2．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)

A．东偏北45°10′方向上　　 B．东偏北44°50′方向上

C．南偏西44°50′方向上  D．西偏南44°50′方向上

解析：选C　如图所示．

3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　)

A.a km  B.a km

C．a km  D．2a km

解析：选A　在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A.

4.如图，为测塔AB的高度，某人在与塔底A同一水平线上的C点测得∠ACB＝45°，再沿AC方向前行20(－1)米到达D点，测得∠ADB＝30°，则塔高为(　　)

A．40 米  B．20 米

C．40米  D．20米

解析：选D　Rt△ABC中，设AB＝x，则由∠ACB＝45°可知AC＝x，在Rt△ABD中，AD＝x＋20(－1)，∠ADB＝30°，所以＝tan 30°，＝，解得x＝20.则塔高为20米．故选D.

[例1]　(链接教科书第49页例9)(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m；

(2)如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点的距离是________．

[解析]　(1)tan 30°＝，tan 75°＝，又AD＋DB＝120，

∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，

∴AD＝60，故CD＝60.故河的宽度为60 m.

(2)在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，

∴BD＝CD＝40，BC＝ ＝40.

在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，

∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.

由正弦定理，得AC＝＝20.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos ∠BCA＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400，

∴AB＝20，

故A，B两点之间的距离为20 m.

[答案]　(1)60　(2)20 m

测量距离的基本类型及方案

 [跟踪训练]

1．海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)

A．10 海里　　　　　 B. 海里

C．5 海里  D．5 海里

解析：选D　如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．故选D.

2．某海轮以每小时30海里的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达点C，则P，C两点的距离为(　　)

A．20 海里  B. 海里

C．20 海里  D. 海里

解析：选A　如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.

由题意得∠APB＝∠ABP＝30°，

∴AP＝AB＝30×＝20(海里)．

在Rt△PAE中，PE＝APsin 60°

＝10(海里)．

在Rt△PBE中，PB＝＝20(海里)．

由已知可得∠PBC＝90°，BC＝30×＝40(海里)，

∴在Rt△PBC中，PC＝＝＝20(海里).

[例2]　(链接教科书第50页例10)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)

[解]　设AC＝x m，则BC＝x－×340＝(x－40)m.

在△ABC中，根据余弦定理得(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.

在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.

由＝，

得CH＝AC·＝140(m)．

故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.

测量高度的基本类型及方案

 [跟踪训练]

如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(　　)

A．(30＋30)m  B．(30＋15)m

C．(15＋30)m  D．(15＋15)m

解析：选A　在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB＝＝30(＋)(m)，所以建筑物的高度为PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．故选A.

[例3]　(链接教科书第50页例11)某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．

[解]　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.

由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，BC＝(＋1)·10.在△ADC中，

因为DC2＝AD2＋AC2，

所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.

在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝＝.

所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，

60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，

又因为∠ADC＝45°，

所以台风移动的方向为北偏西45°.

测量角度问题画示意图的基本步骤

[跟踪训练]

如图，在海岸A处发现北偏东45°方向距A点(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，与A距离2 n mile的我方缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？

解：设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile.

∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠CAB＝(－1)2＋22－2(－1)·2cos 120°＝6，

∴BC＝，

∵＝，

∴sin ∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.

∵＝，

∴sin∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°.

故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船．

1．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的南偏西40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10°  B．北偏西10°

C．南偏东80°  D．南偏西80°

解析：选D　由条件及题图可知，A＝B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，故∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.

2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于2 km，灯塔A在C北偏东45°，B在C南偏东15°，则A，B之间的距离为(　　)

A．2  km  B．3 km

C．4 km  D．5 km

解析：选A　作出满足题意的几何图形如图所示，根据图形可知∠ACB＝120°，在△ABC中，AC＝BC＝2 km.由余弦定理得AB2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，即AB＝2 km.所以A，B之间的距离为2 km.故选A.

3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，求从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角．

解：依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝

＝＝＝，

又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，

所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.