高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

平面向量数量积的坐标表示

通过前面的学习，我们知道，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b以及λa(λ≠0)的坐标．

[问题]　那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？

知识点　平面向量数量积的坐标表示

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则

(1)a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；

(2)|a|2＝x＋y，或|a|＝；

(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；

(4)若a，b为非零向量，则cos θ＝＝ .

1．向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？

提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：

2.已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？

提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．(　　)

(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0.(　　)

(3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×

2．已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是(　　)

A．{2，3}　　　　　　　 B．{－1，6}

C．{2}  D．{6}

解析：选C　∵a⊥b，∴2(x－5)＋3x＝0，∴x＝2.故选C.

3．设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于(　　)

A．11  B．5

C．－14  D．10

解析：选A　a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3). 所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A.

角度一　数量积的坐标运算

[例1]　已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)．

(1)求a·(a－b)；

(2)求(a＋b)·(2a－b)；

(3)若c＝(2，1)，求(a·b)c，a(b·c)．

[解]　(1)法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)，

∴a－b＝(－4，0)．

∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.

法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.

(2)∵a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，

2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，

∴(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.

(3)(a·b)c＝[(－1，2)·(3，2)](2，1)＝(－1×3＋2×2)(2，1)＝(2，1)．

a(b·c)＝(－1，2)[(3，2)·(2，1)]＝(－1，2)(3×2＋2×1)＝8(－1，2)＝(－8，16)．

角度二　数量积的坐标运算在几何图形中的应用

[例2]　在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝MC，BN＝BC，则·＝________．

[解析]　法一：·＝·＝0＋×22＋×32＋×0＝5.

法二：以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，

于是＝(1，2)，＝(3，1)，故·＝5.

[答案]　5

数量积运算的途径及注意点

(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基底表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；

(2)对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．　　　　

[跟踪训练]

1．已知点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则· 等于(　　)

A．－1　　　　　　　　　 B．0

C．1  D．2

解析：选B　因为＝(2，3)－(1，2)＝(1，1)，＝(－2，5)－(1，2)＝(－3，3)，所以·＝1×(－3)＋1×3＝0.

2．在△ABC中，B＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝(　　)

A．2  B．－2

C．4  D．无法确定

解析：选C　法一：·＝·(＋)＝＋·，

∵B＝90°，∴·＝0，

∴·＝＝4.

法二：以B为原点，以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图．

则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y)．

∴＝(－2，0)，＝(－2，y)，

得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4.

[例3]　(1)设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　　)

A.  B.

C．2  D．10

(2)已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2，3)同向，||＝2，则点B的坐标是________．

[解析]　(1)∵a⊥c，b∥c，∴解得∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.

(2)由题意可设＝λa(λ>0)，∴＝(2λ，3λ)，又||＝2，

∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2)2，解得λ＝2或λ＝－2(舍去)．

∴＝(4，6)，又A(1，－2)，∴B(5，4)．

[答案]　(1)B　(2)(5，4)

求向量的模的两种基本策略

(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；

(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ .　　　　

[跟踪训练]

　在平面直角坐标系中，O为原点，已知A(16，12)，B(－5，15)，则||＝________，||＝________．

解析：由题意可得||＝＝＝20，||＝＝＝15.

答案：20　15

[例4]　(链接教科书第34页例10)(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是____________________；

(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，则点D的坐标为________，||＝________．

[解析]　(1)当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，∴要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即实数k的取值范围是∪.

(2)设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．

∵点D在直线BC上，即BD与BC共线，

∴存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，

∴∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①

又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，

∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.②

由①②可得即D点坐标为(1，1)，＝(－1，2)，

∴||＝＝.

综上，D(1，1)，||＝.

[答案]　(1)∪　(2)(1，1)　

[母题探究]

1．(变条件)将本例(1)中的条件“a＝(2，1)”改为“a＝(－2，1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．

解：当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－，

此时a与b方向相反，夹角为180°，

所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，且a与b不反向．

由a·b＝－2＋k<0得k<2，由a与b不反向得k≠－，

所以k的取值范围是∪.

2．(变条件)将本例(1)中的条件“锐角”改为“”，求k的值．

解：cos ＝＝，即＝，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－或3.

利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤

(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；

(2)利用|a|＝ 计算出这两个向量的模；

(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值；

(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.　　　　

[跟踪训练]

1．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y)．若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量的模为________．

解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)，所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)．因为(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4，则M(4，－4)，N(－4，4)．所以向量＝(－8，8)，||＝8.

答案：8

2．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.

(1)求b与c；

(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．

解：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.

因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.

故b＝(9，12)，c＝(4，－3)．

(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)．

设m，n的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝－.

因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即m，n的夹角为.

1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)

A．10  B．－10

C．3  D．－3

解析：选B　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.

2．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，(a＋b)·c＝，则向量a与c的夹角为________．

解析：∵b＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a，∴a＋b＝－a，

∴(a＋b)·c＝－a·c＝.

设a与c的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－.

∵0≤θ≤π，∴θ＝，即a与c的夹角为.

答案：

3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________．

解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，

∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，

∴|c|＝＝8.

答案：8

4．已知向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)．

(1)求|a＋2b|的值；

(2)若(a＋mb)⊥b，求实数m的值．

解：(1)由已知得a＋2b＝(1，6)，∴|a＋2b|＝.

(2)依题意得a＋mb＝(3－m，2＋2m)，∵(a＋mb)⊥b，

∴(a＋mb)·b＝0，即－1×(3－m)＋2×(2＋2m)＝0，解得m＝－.