2021学年6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案

这是一份2021学年6.3 平面向量基本定理及坐标表示导学案，共7页。

[重点] 用坐标表示平面向量的数量积．
[难点] 用坐标求向量的模及两向量的夹角．
要点整合夯基础
知识点一 面向量数量积的坐标表示
[填一填]
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
[答一答]
1．公式a·b＝|a||b|csθ与a·b＝x1x2＋y1y2有什么区别与联系？
提示：两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式的差异，可以相互推导；若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用a·b＝|a||b|·csθ求解，若已知两向量的坐标，则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解．
知识点二 平面向量长度(模)的坐标表示
[填一填]
若向量a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝eq \r(x2＋y2).
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
[答一答]
2．对于任意的非零向量a＝(x，y)，如何用坐标表示与向量a同向的单位向量？
提示：记向量a的单位向量为a0，则a0＝eq \f(a,|a|)，且|a|＝eq \r(x2＋y2)，所以a0＝eq \f(a,|a|)＝eq \f(1,\r(x2＋y2))(x，y)＝(eq \f(x,\r(x2＋y2))，eq \f(y,\r(x2＋y2)))，此为与向量a＝(x，y)同向的单位向量．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求线段AB的长度？
提示：由于eq \(AB,\s\up16(→))＝(x2－x1，y2－y1)且线段AB的长度等于向量eq \(AB,\s\up16(→))的模，所以线段AB＝|eq \(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
知识点三 两向量垂直的坐标表示
[填一填]
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
[答一答]
4．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示有何区别？
提示：若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.
若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
知识点四 平面向量夹角的坐标表示
[填一填]
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))(0≤θ≤π)．
[答一答]
5．两向量a与b满足a·b<0，a与b的夹角一定是钝角吗？
提示：不一定，a与b夹角可能是180°.
典例讲练破题型
类型一 平面向量数量积的坐标运算
[例1] 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，(a＋b)·(2a－b)．
[分析] 运用向量数量积坐标运算的法则及相关性质求解．
[解] a·b＝1×2＋3×5＝17.
∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，
∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
[变式训练1] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( C )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)×(1，－1)＝1.
类型二 向量的模的问题
[例2] (1)向量eq \(AB,\s\up16(→))与向量a＝(－3,4)的夹角为π，|eq \(AB,\s\up16(→))|＝10，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标为( )
A．(－7,8) B．(9，－4)
C．(－5,10)D．(7，－6)
(2)设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，则|b|＝________，csθ＝________.
[解析] (1)∵向量eq \(AB,\s\up16(→))与向量a＝(－3,4)的夹角为π，
∴设eq \(AB,\s\up16(→))＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．
由此可得|eq \(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(－3k2＋4k2)＝10，
解之得k＝－2(k＝2舍去)．
∴eq \(AB,\s\up16(→))＝(6，－8)，
设B(m，n)，得eq \(AB,\s\up16(→))＝(m－1，n－2)＝(6，－8)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－1＝6,n－2＝－8，))解得m＝7，n＝－6，
∴B(7，－6)，故选D.
(2)b＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)(－1，－1)＝(1,1)，
则|b|＝eq \r(2)，a·b＝6.又|a|＝3eq \r(2)，
所以csθ＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(6,6)＝1.
[答案] (1)D (2)eq \r(2) 1
(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．
(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．
[变式训练2] 已知点A(1，－2)，若向量eq \(AB,\s\up16(→))与a＝(2,3)同向，且|eq \(AB,\s\up16(→))|＝2eq \r(13)，则点B的坐标为( D )
A．(5，－4) B．(4,5)
C．(－5，－4)D．(5,4)
解析：设B(x，y)，则eq \(AB,\s\up16(→))＝(x－1，y＋2)，
由eq \(AB,\s\up16(→))与a＝(2,3)同向，所以3(x－1)＝2(y＋2)>0，①
又|eq \(AB,\s\up16(→))|＝2eq \r(13)，所以eq \r(x－12＋y＋22)＝2eq \r(13)，②
联立①②解得x－1＝4且y＋2＝6.
所以x＝5且y＝4，故B(5,4)，选D.
类型三 向量的夹角与垂直问题
[例3] (1)已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(－2，eq \f(1,2))
B．(eq \f(1,2)，＋∞)
C．(－2，eq \f(2,3))∪(eq \f(2,3)，＋∞)
D．(－∞，eq \f(1,2))
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
[分析] 对非零向量a与b，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔csθ>0且csθ≠1⇔a·b>0且a≠mb(m>0)；θ为钝角⇔csθ<0且csθ≠－1⇔a·b<0且a≠mb(m<0)；θ为直角⇔csθ＝0⇔a·b＝0.
[解析] (1)∵a与b的夹角θ为锐角，
∴csθ>0且csθ≠1，即a·b>0且a与b方向不同，
即a·b＝1－2λ>0，且a≠mb(m>0)，
解得λ∈(－∞，－2)∪(－2，eq \f(1,2))．故选A.
(2)因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
[答案] (1)A (2)7
根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出a·b及|a|，|b|，再求夹角的余弦值，从而确定θ.
[变式训练3] 平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝2.
解析：设c与a的夹角为α，c与b的夹角为β，由已知得c＝(m＋4,2m＋2)，因为csα＝eq \f(c·a,|c|·|a|)，csβ＝eq \f(c·b,|c|·|b|)，所以eq \f(c·a,|c|·| a|)＝eq \f(c·b,|c|·|b|)，又由已知得|b|＝2|a|，所以2c·a＝c·b，即2[(m＋4)＋2(2m＋2)]＝4(m＋4)＋2(2m＋2)，解得m＝2.
课堂达标练经典
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且3a·b＝4，则x等于( C )
A．3 B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－3
解析：3a·b＝3(2x－6x)＝－12x＝4，∴x＝－eq \f(1,3).
2．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是( C )
A．{2,3}B．{－1,6}
C．{2}D．{6}
解析：考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，
∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构成的集合是{2}．
3．已知a＝(1，eq \r(3))，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝2.
解析：因为a＋b＝(－1，eq \r(3))，所以|a＋b|＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2.
4．已知a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，则a，b夹角的余弦值等于－eq \f(3,5).
解析：∵a＝(2,4)，a－2b＝(0,8)，∴b＝eq \f(1,2)[a－(a－2b)]＝(1，－2)，∴a·b＝2－8＝－6.设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a|·|b|·csθ＝2eq \r(5)×eq \r(5)×csθ＝10csθ，∴10csθ＝－6，∴csθ＝－eq \f(3,5).
5．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与向量n的夹角的大小．
解：(1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.∴y＝－3.
∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)，
设m，n的夹角为θ，
则csθ＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(－3×7＋－4×1,\r(－32＋－42)×\r(72＋12))
＝eq \f(－25,25\r(2))＝－eq \f(\r(2),2).
∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(3π,4)，即m，n的夹角为eq \f(3π,4).
——本课须掌握的三大问题
1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．
2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．
3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
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平面向量数量积与三角函数的交汇问题
开讲啦 用含有三角函数的坐标表示向量，就使得向量与三角函数建立了密切的内在联系．通过向量的坐标运算，
将向量条件转化为三角函数关系是解题的第一步，根据题目要求，求解余下的三角函数问题是解题的第二步，利用这两步求解的策略，可将向量与三角函数的综合问题转化为两个基本问题解决．
[典例] 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，csx)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tanx的值．
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
[解] (1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，
n＝(sinx，csx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sinx－eq \f(\r(2),2)csx＝0，
所以sinx＝csx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，
所以m·n＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
即eq \f(\r(2),2)sinx－eq \f(\r(2),2)csx＝eq \f(1,2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，
因为0所以x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)，即x＝eq \f(5π,12).
[针对训练] 已知向量a＝(csα，sinα)，b＝(csβ，sinβ)，c＝(－1,0)．
(1)求向量(b＋c)的长度的最大值；
(2)设α＝eq \f(π,4)，且a⊥(b＋c)，求csβ的值．
解：(1)∵b＝(csβ，sinβ)，c＝(－1,0)，
∴b＋c＝(csβ－1，sinβ)，
∴|b＋c|2＝(csβ－1)2＋sin2β＝2(1－csβ)．
∵－1≤csβ≤1，
∴0≤|b＋c|2≤4.∴0≤|b＋c|≤2.
当csβ＝－1时，|b＋c|＝2.
∴(b＋c)的长度的最大值为2.
(2)∵α＝eq \f(π,4)，∴a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).
又b＝(csβ，sinβ)，c＝(－1,0)，
∴a·(b＋c)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))·(csβ－1，sinβ)＝eq \f(\r(2),2)csβ＋eq \f(\r(2),2)sinβ－eq \f(\r(2),2).
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即csβ＋sinβ＝1.
∴sinβ＝1－csβ.
∴sin2β＝1－2csβ＋cs2β.
∴csβ(csβ－1)＝0.
解之得csβ＝0或csβ＝1.
经检验，当csβ＝1时，b＝(1,0)，
即b＋c＝0，此时a与(b＋c)共线，故舍去．
∴csβ＝0.