数学必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算导学案

这是一份数学必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算导学案，共5页。学案主要包含了学习过程，学习小结，精炼反馈，学习重难点，学习目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。

【学习过程】
一、初试身手
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）若O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)，则点A的坐标为(2，－1)．( )
（2）若点A的坐标为(2，－1)，则以A为终点的向量的坐标为(2，－1)．( )
（3）平面内的一个向量a，其坐标是唯一的．( )
（4）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
2．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(3，－2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－5，－1)，则向量eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))的坐标是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(1,2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，－\f(1,2)))
C．(－8，1) D．(8，1)
3．下列各对向量中，共线的是( )
A．a＝(2，3)，b＝(3，－2) B．a＝(2，3)，b＝(4，－6)
C．a＝(eq \r(2)，－1)，b＝(1，eq \r(2)) D．a＝(1，eq \r(2))，b＝(eq \r(2)，2)
4．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．
二、合作探究
1．平面向量的坐标表示
【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，四边形OABC为平行四边形．
（1）求向量a，b的坐标；
（2）求向量eq \(BA,\s\up6(→))的坐标；
（3）求点B的坐标．
2．平面向量的坐标运算
【例2】（1）已知a＋b＝(1，3)，a－b＝(5，7)，则a＝________，b＝________．
（2）已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \(CM,\s\up6(→))＝3eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，求M，N及eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
3．判定直线平行、三点共线
【例3】（1）已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
（2）已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
4．已知平面向量共线求参数
【例4】已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【学习小结】
1．平面向量的坐标
平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b．规定零向量与任意向量都垂直．
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
方便起见，以后谈到平面直角坐标系时，默认已经指定了与x轴及y轴的正方向同向的两个单位向量．此时，如果平面上一点A的坐标为(x，y)(通常记为A(x，y))，那么向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的坐标也为(x，y)，即eq \(OA,\s\up6(→))＝(x，y)；反之结论也成立．
2．平面上向量的运算与坐标的关系
设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＝b⇔x1＝x2__且y1＝y2；a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．
设u，v是两个实数，那么ua＋vb＝(ux1＋vx2，uy1＋vy2)，ua－vb＝(ux1－vx2，uy1－vy2)．
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)．
3．平面直角坐标系内两点之间的向量公式与中点坐标公式
设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)；
设线段AB中点为M(x，y)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)))
4．向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x2y1＝x1y2．
【精炼反馈】
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )
A．a＝(0，0)，b＝(2，3)
B．a＝(1，－3)，b＝(2，－6)
C．a＝(4，6)，b＝(6，9)
D．a＝(2，3)，b＝(－4，6)
3．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与eq \(AB,\s\up6(→))平行且方向相反的向量a可以是( )
A．(1，－2) B．(9，3)
C．(－2，4) D．(－4，－8)
4．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________．
5．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量eq \(AB,\s\up6(→))同方向的单位向量为________．【学习重难点】
【学习目标】
【核心素养】
向量的正交分解
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示
数学抽象
平面向量的坐标
理解平面向量坐标的概念，掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则
数学抽象、数学运算
两种坐标的区别
掌握平面向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系
数学抽象
向量共线
能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法
逻辑推理、数学建模