数学必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算导学案

6．2.2　直线上向量的坐标及其运算

6．2.3　平面向量的坐标及其运算

【课程标准】

1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

2.会用坐标表示平面向量的加法，减法与数乘运算.

3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

第1课时　平面向量的坐标及运算

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点一　直线上向量的坐标

1．给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，由共线向量基本定理可知，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时，x称为向量a的坐标．

状元随笔　值得注意的是，如果直线上向量的坐标为x，则x既能刻画的模，也能刻画向量的方向．事实上，此时

||＝|x|＝|x|||＝|x|；

而且：当x>0时，的方向与的方向相同；当x＝0时，是零向量；当x<0时，的方向与的方向相反．也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定．

2．事实上，设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则＝x1e，＝x2e，因此＝－＝x2e－x1e＝(x2－x1)e，所以不难看出AB＝||＝|x2－x1|.这就是数轴上两点之间的距离公式．

3．另外，假设M(x)是线段AB的中点，则＝ (＋)＝＝e，又因为＝xe，所以x＝.这就是数轴上的中点坐标公式．

知识点二　正交分解

1．向量垂直

平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b垂直，记作a⊥b.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直．

2．正交分解

如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．

知识点三　平面向量的坐标表示

一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).

状元随笔　1.对平面向量坐标的几点认识

(1)设＝x＋y(O为坐标原点)，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．

(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．

(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．

2．符号(x，y)的意义

符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y).

知识点四　平面向量的坐标运算

(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么

a＋b＝____________________，

a－b＝____________________，

λa＝(λx1，λy1).

(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝________．

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．

基 础 自 测

1．数轴上两点，A的坐标为1，B的坐标为－2，的坐标为(　　)

A．3　　　　 B．(3，0)

C．－3      D．(－3，0)

2．已知M(2，3)，N(3，1)，则的坐标是(　　)

A．(2，－1)     B．(－1，2)

C．(－2，1)     D．(1，－2)

3．已知数轴上的一个单位向量e，向量a＝－e，b＝e，则下列式子正确的是(　　)

A．b＝a     B．b＝－a

C．b＝2a　     D．b＝－2a

4．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　直线上向量的运算与坐标表示[经典例题]

例1　(1)若e是直线l上的一个单位向量，向量a＝e，b＝－e是这条直线上的向量，则|a＋2b|＝________．

(2)已知A，B是数轴上的点，B(－2)，且的坐标为4，求：

①点A的坐标．

②线段BA的中点C的坐标．

状元随笔　利用数轴上两点之间的关系与中点坐标公式求解．

方法归纳

数轴上A点坐标为x1，B点坐标为x2

(1)坐标x2－x1，||＝|x2－x1|

(2)线段AB的中点坐标为

跟踪训练1　(1)数轴上向量a的坐标为－2，b的坐标为3，则a＋2b的坐标为(　　)

A．－1     B．－8

C．4     D．1

(2)已知直线上向量a，b的坐标分别为3，－4，求下列向量的坐标．

①2a＋b.

②5a－b.

(3)已知数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，根据下列条件，分别求点A的坐标x1.

①x2＝－5，的坐标为－3；

②x2＝－1，||＝2.

题型2　求向量的坐标[经典例题]

例2　如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标．

结合坐标系，写出、、、的坐标．

方法归纳

求点和向量坐标的常用方法

(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．

(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．

跟踪训练2　在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．

由于向量，的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．

题型3　平面向量的坐标运算[经典例题]

例3　(1)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)

方法一先求C点坐标，再求.

方法二先求，再求.

A.(－7，－4)  B．(7，4)

C．(－1，4)  D．(1，4)

(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标．

方法归纳

平面向量坐标(线性)运算的方法

(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．

(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．

(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．

跟踪训练3　(1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0，6)、(－8，10)，则＋2＝____________，＝____________；

(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用a和b表示c，则c＝____________．

状元随笔　(1)先求坐标，再计算 ＋2， －的值．

(2)设＝ ＋，建立方程组，求出x，y.

题型4　向量坐标运算的应用[经典例题]

例4　已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及＝＋t.

(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？

(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

状元随笔　(1) ＝(1＋3t，2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．

(2)若四边形OABP为平行四边形，则有 ＝.

方法归纳

向量中含参数问题的求解策略

(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．

(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．

(3)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量，由此可建立相等关系求某些参数的值．

跟踪训练4　已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)．若＝＋λ(λ∈R)，试求λ为何值时，

(1)点P在一、三象限的角平分线上；

(2)点P在第三象限内．

6．2.2　直线上向量的坐标及其运算

6．2.3　平面向量的坐标及其运算

第1课时　平面向量的坐标及运算

新知初探·自主学习

知识点四

(1)(x1＋x2，y1＋y2)　(x1－x2，y1－y2)　(2)(x2－x1，y2－y1)　终点　始点　

[基础自测]

1．解析：A的坐标为1，B的坐标为－2，则的坐标为－3.

答案：C

2．解析：＝(2－3，3－1)＝(－1，2)．

答案：B

3．解析：由题意，向量a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，即b＝－a.

答案：B

4．解析：＝＝＝(2，3)－(4，7)＝(－2，－4)．

答案：(－2，－4)

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　(1)由题意，向量a，b的坐标分别为，－，

所以a＋2b的坐标为＋2×(－)＝－，

故|a＋2b|＝.

(2)①由题意知，的坐标为－2，

又＝，且的坐标为4，

所以的坐标为－6，即A(－6)．

②由①知，A(－6)，B(－2)，

所以中点C的坐标为＝－4，

即C(－4)．

【答案】　(1)　(2)见解析

跟踪训练1　解析：(1)∵b的坐标为3，∴2b的坐标为6，

∴a＋2b的坐标为－2＋6＝4.

(2)①2a＋b的坐标为2×3＋(－4)＝2.

②5a－b的坐标为5×3－×(－4)＝17.

(3)由题意，数轴上两点A，B的坐标分别为x1，x2，

①由向量的坐标为x1－(－5)＝－3，

所以x1＝－8.

②由||＝|－1－x1|＝2，

解得x1＝1或x1＝－3.

答案：(1)C　(2)(3)见解析

例2　【解析】　如题图可知，a＝＝2i＋3j，

所以a＝(2，3)．

同理，

b＝－2i＋3j＝(－2，3)，

c＝－2i－3j＝(－2，－3)，

d＝2i－3j＝(2，－3)．

跟踪训练2　解析：设点A(x，y)，B(x0，y0)，

∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，

∴x＝2cos 45°＝，且y＝2sin 45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，

∴x0＝3cos 120°＝－，y0＝3sin 120°＝.故a＝＝()，b＝＝(－)．

例3　【解析】　(1)方法一　设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.

方法二　＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，

＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A.

(2)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，

a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，

2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．

【答案】　(1)A　(2)见解析

跟踪训练3　解析：(1)∵A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，

∴＝(－2，10)，＝(－8，4)，＝(－10，14)，

∴＋2＝(－18，18)，＝(－3，－3)．

(2)设c＝xa＋yb，则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．

故解得所以c＝2a－b.

答案：(1)(－18，18)　(－3，－3)　(2)2a－b

例4　【解析】　(1)＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．

若点P在x轴上，则2＋3t＝0，

所以t＝－.

若点P在y轴上，则1＋3t＝0，

所以t＝－.

若点P在第二象限，则

所以－＜t＜－.

(2)＝(1，2)，＝(3－3t，3－3t)．

若四边形OABP为平行四边形，则＝，

所以该方程组无解．

故四边形OABP不能为平行四边形．

跟踪训练4　解析：设点P的坐标为(x，y)，

则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，

＋λ＝[(5，4)－(2，3)]＋λ[(7，10)－(2，3)]

＝(3，1)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．

因为＝＋λ，所以

则

(1)若P在一、三象限的角平分线上，

则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝，

所以当λ＝时，点P在一、三象限的角平分线上．

(2)若P在第三象限内，则所以λ<－1，

所以当λ<－1时，点P在第三象限内．