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2022年北京师范大学附属实验中学中考数学模拟试卷（五）(word版含答案)
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这是一份2022年北京师范大学附属实验中学中考数学模拟试卷（五）(word版含答案)，共40页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2022年北京师大附属实验中学中考数学模拟试卷（五）
（附参考答案与试题解析）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
3．（2分）如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
4．（2分）如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．（2分）如果a2﹣a﹣2＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2分）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y＝﹣ D．y＝x2+
8．（2分）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：
会员卡类型
办卡费用/元
有效期
优惠方式
A类
40
1年
每杯打九折
B类
80
1年
每杯打八折
C类
130
1年
一次性购买2杯，第二杯半价
例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡
C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 ．
10．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB ∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）
11．（2分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为 m．
12．（2分）函数y＝kx+1（k≠0）的图象上有两点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为 ．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，2），将△ABC关于直线x＝4对称，得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标为 ；再将△A1B1C1向上平移一个单位长度，得到△A2B2C2，则点C1的对应点C2的坐标为 ．
15．（2分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠ ＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP， ⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
21．（5分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．
22．（5分）疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
观看直播课节数的频数分布表
节数x
频数
频率
0≤x＜10
8
0.16
10≤x＜20
10
0.20
20≤x＜30
16
b
30≤x＜40
a
0.24
x≥40
4
0.08
总数
50
1
其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是 ；
（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有 人．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．
（1）求k和p的值；
（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．
24．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
25．（6分）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC﹣AB＝1．为了研究图中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．
（1）由题意可得＝，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为y＝ ；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②估计AB+AD的最小值为 ．（结果精确到0.1）
26．（6分）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（3，y4）四点．
（1）求二次函数的对称轴（用含t的代数式表示）；
（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，判断y1y4的正负并说明理由；
（3）若y3＞y2＞y4，判䉼y1与y2的大小，并说明理由．
27．（7分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果为定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P．给出如下定义：若在线段AB上存在点Q，作直线PQ，使得直线PQ与x轴形成的的角中，有一个角为α（0°＜α≤90°），则称点P是线段AB的“α﹣关联点”．特别地，当PQ与x轴平行时，记α＝0°，此时点P是线段AB的0°﹣关联点”．如图是线段AB的一个“α﹣关联点”的示意图．已知点A（0，4），
（1）点B（2，b），
①若b＝2，且它是线段OA的“α﹣关联点”，在α＝30°和α＝60°中，可能的α值为 ．
②若点B既是线段OA的“45°﹣关联点”，又是线段OA的60°﹣关联点”．直接写出b的取值范围；
（2）已知图形G是边长为a的等边三角形，若图形G上所有的点都是线段OA的“45°﹣关联点”，求a的最大值；
（3）⊙T的圆心为（t，0），其中t＞0，半径为，点M在以A为圆心，半径为2的圆上，若⊙T上所有的点都是线段AM的“45°﹣关联点”，直接写出t的最小值和最大值，以及相应的点M的坐标．
2022年北京师大附属实验中学中考数学模拟试卷（五）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．版权所有
【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以圆柱的侧面展开图的是长方形．
【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解，难度不大．
2．（2分）五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【考点】多边形内角与外角．版权所有
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．
【解答】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
3．（2分）如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【考点】中心对称图形．版权所有
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（2分）如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【考点】角平分线的定义；平行线的性质；三角形内角和定理．版权所有
【分析】由EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，可推出∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，根据三角形内角和定理得出∠B的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，
∴∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
5．（2分）如果a2﹣a﹣2＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】代数式求值；解一元二次方程﹣配方法．版权所有
【分析】由已知条件求得a2﹣a的值，再化简原式，把代数式转化成a2﹣a的形式，后整体代入求值便可．
【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2﹣4＝2a2﹣2a﹣3＝2（a2﹣a）﹣3，
∵a2﹣a﹣2＝0，
∴a2﹣a＝2，
∴原式＝2×2﹣3＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，整式的混合运算，整体思想，关键是把代数式化成a2﹣a的形式．
6．（2分）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【考点】垂径定理．版权所有
【分析】过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝4，
∴OC＝AB＝2，
故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y＝﹣ D．y＝x2+
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质．版权所有
【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．
【解答】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数y＝﹣的图象在二四象限，不满足条件，
故选：C．
【点评】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．可以用特值法进行快速的排除．
8．（2分）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：
会员卡类型
办卡费用/元
有效期
优惠方式
A类
40
1年
每杯打九折
B类
80
1年
每杯打八折
C类
130
1年
一次性购买2杯，第二杯半价
例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡
C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x＝75、85代入计算，比较大小得到答案．
【解答】解：设一年内在便利店购买咖啡x次，
购买A类会员年卡，消费费用为40+2×（0.9×10）x＝（40+18x）元；
购买B类会员年卡，消费费用为80+2×（0.8×10）x＝（80+16x）元；
购买C类会员年卡，消费费用为130+（10+5）x＝（130+15x）元；
把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，
把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，
则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算的应用，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 1 ．
【考点】分式的值为零的条件．版权所有
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解可得．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴1﹣x＝0且x≠0，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB ＜ ∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【考点】圆周角定理．版权所有
【分析】延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，根据三角形外角性质得∠ADB＞∠E，根据圆周角定理得∠ACB＝∠E，于是∠ACB＜∠ADB．
【解答】解：∠ACB＜∠ADB．理由如下：
延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，
∵∠ADB＞∠E，
而∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＜∠ADB．
故答案为＜．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．（2分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为 14 m．
【考点】相似三角形的应用；平行投影．版权所有
【分析】直接利用同一时刻物体影长与实际高度比值相同进而得出答案．
【解答】解：设这根旗杆的高度为xm，根据题意可得：
＝，
解得：x＝14．
即这根旗杆的高度为14m．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键．
12．（2分）函数y＝kx+1（k≠0）的图象上有两点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值 k＝1（答案不唯一） ．
【考点】一次函数的性质．版权所有
【分析】由﹣1＜1且y1＜y2可得出y值随x值的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，任取一个大于0的值即可．
【解答】解：∵﹣1＜1，且y1＜y2，
∴y值随x值的增大而增大，
∴k＞0．
故答案为：k＝1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形．版权所有
【分析】由BD⊥BC，推出∠CBD＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半．CD＝2BD＝2．
【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2BD＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了等腰三角形与含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，2），将△ABC关于直线x＝4对称，得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标为 （5，2） ；再将△A1B1C1向上平移一个单位长度，得到△A2B2C2，则点C1的对应点C2的坐标为 （5，3） ．
【考点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移．版权所有
【分析】根据轴对称，平移的性质画出三角形即可．
【解答】解：如图△A1B1C1，△A2B2C2，即为所求．C1（5，2），C2（5，3）．
故答案为（5，2），（5，3）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．版权所有
【分析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴两次都摸出白球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是 ①② ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行分析判定即可．
【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），
①∵点A（2，0），
∴点A在对称轴上，
∵m≠0，
∴点A一定不在W上；故①正确；
②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），
∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，
∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；
③∵E（7，0），
∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），
∵C（﹣2，4），
∴三点不在一条直线上，
∴点C，E可能同时在W上，故③错误；
故正确结论的序号是①②，
故答案为①②．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．版权所有
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝﹣3+1+﹣1﹣2×
＝﹣3+1+﹣1﹣
＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函＝数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（5分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．版权所有
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式4（x+1）≤2x+6，得：x≤1，
解不等式x﹣3＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为x≤1，
所以不等式组的非负整数解为0、1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠ OBP ＝ 90 °（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP， OB ⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（ 过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【考点】作图—复杂作图．版权所有
【分析】根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．
【解答】证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）．
∴OA⊥AP，OB⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．
故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【考点】根的判别式．版权所有
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）将x＝0代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝36，
∵不论m取何值时，36恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，
解得：m＝或﹣．
∴m的值为或﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x＝0代入原方程求出m值．
21．（5分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．
【考点】菱形的判定；矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．版权所有
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，求得AE＝AC，EF＝CF，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠AFC，求得AE＝EF＝AC＝CF，于是得到结论；
（2）如图，根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，根据直角三角形的性质得到BC＝2，CE＝4，由勾股定理得到BE＝＝2，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴AF⊥CE，
∵CD＝DE，
∴AE＝AC，EF＝CF，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE∥CF，
∴∠EAD＝∠AFC，
∴∠CAD＝∠CFA，
∴AC＝CF，
∴AE＝EF＝AC＝CF，
∴四边形ACFE是菱形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，
∵AB＝2，CD＝DE，
∴BC＝2，CE＝4，
∴BE＝＝2，
∵AB＝CD＝DE，∠BAE＝∠EDG＝90°，∠AGB＝∠DGE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝EG，
∴BG＝BE＝．
【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．（5分）疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
观看直播课节数的频数分布表
节数x
频数
频率
0≤x＜10
8
0.16
10≤x＜20
10
0.20
20≤x＜30
16
b
30≤x＜40
a
0.24
x≥40
4
0.08
总数
50
1
其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 12 ，b＝ 0.32 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是 24 ；
（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有 160 人．
【考点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表．版权所有
【分析】（1）根据频数分布表即可求出a，b；
（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；
（3）根据节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29即可得观看直播课节数的中位数；
（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．
【解答】解：（1）a＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，
b＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；
故答案为：12，0.32；
（2）补全的频数分布直方图如下：
（3）∵节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
∴随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2＝24，
故答案为：24；
（4）500×（0.24+0.08）＝160（人）．
答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．
故答案为：160．
【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．
（1）求k和p的值；
（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有
【分析】解：（1）将点P的坐标分别代入两个函数表达式，即可求解；
（2）①点M的横坐标为m，则点M（m，），MN∥x轴，故点N的纵坐标为，即可求解；
②△OMN的面积＝×MN×yM＝×（﹣m）×＞（m＞0），即可求解．
【解答】解：（1）将点P的坐标代入y＝（x＞0）得：2＝1×p，
解得：p＝2，
故点P（1，2）；
将点P的坐标代入y＝kx得：2＝k×1，解得：k＝2；
（2）①点M的横坐标为m，则点M（m，），
∵MN∥x轴，故点N的纵坐标为，
将点N的纵坐标代入直线y＝2x得：＝2x，解得：x＝，
故点N的坐标为（，）；
②△OMN的面积＝×MN×yM＝×|（﹣m）|×＞（m＞0），
解得：m＜或m，
故0＜m或m＞．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
24．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A＝90°，又∠CDE+∠A＝90°，可得∠CDE＝∠ACE，则结论得证；
（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，
∴OC⊥CE，
∴∠OCA+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACE+∠A＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODA+∠A＝90°，
∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠CDE+∠A＝90°，
∴∠CDE＝∠ACE，
∴EC＝ED；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠CDE+∠F＝90°，
∴∠ECF＝∠F，
∴EC＝EF，
∵EF＝3，
∴EC＝DE＝3，
∴OE＝＝5，
∴OD＝OE﹣DE＝2，
在Rt△OAD中，AD＝＝2，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴，
即，
∴AC＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
25．（6分）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC﹣AB＝1．为了研究图中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．
（1）由题意可得＝，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为y＝ y＝x++2（x＞0） ；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： 函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大 ；
②估计AB+AD的最小值为 4.8 ．（结果精确到0.1）
【考点】动点问题的函数图象．版权所有
【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）①结合图象解决问题（答案不唯一）．
②由x+y＝2x++2≥2+2可得结论．
【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∵AC﹣AB＝1，
∴AC＝1+AB，
∵AB＝x，AD＝y，
∴，
∴y＝x++2（x＞0）；
故答案为y＝x++2（x＞0）．
（2）函数图象如图所示：
（3）①函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大．
②解法一：∵x+y＝2x++2≥2+2，
∴x+y≥4.8，
解法二：利用图象法，可知x+y的最小值约为4.8．
故答案为4.8．
【点评】本题考查动点问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（3，y4）四点．
（1）求二次函数的对称轴（用含t的代数式表示）；
（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，判断y1y4的正负并说明理由；
（3）若y3＞y2＞y4，判䉼y1与y2的大小，并说明理由．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）根据抛物线解析式可得抛物线对称轴，根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小，进而求解．
（3）分a＞0，a＜0两种情况，根据函数的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0），
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝t；
（2）∵t＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当抛物线开口向上时，
∵3﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣2）＞1﹣（﹣1），
∴y4＞y1＞y2＞y3，
若y2y3＜0，则y4＞y1＞y2＞0＞y3，
∴y1y4＞0，
当抛物线开口向下时，
∵3﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣2）＞1﹣（﹣1），
∴y3＞y2＞y1＞y4，
若y2y3＜0，则y3＞0＞y2＞y1＞y4，
∴y1y4＞0，
综上，y1y4＞0；
（3）y1＜y2，理由：
当a＜0时，越靠近对称轴其对应的y值越大，
∵y3＞y2，
∴对称轴在x＝﹣的右侧，
∵y2＞y4，
∴对称轴在x＝的左侧，
∴对称轴在x＝﹣和x＝之间，
∴y1＜y2；
当a＞0时，越靠近对称轴其对应的y值越小，
∵y3＞y2，
∴对称轴在x＝﹣的左侧，
∵y2＞y4，
∴对称轴在x＝的右侧，
∴此种情况不存在．
∴y1＜y2
【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用对称性解决问题，属于中考常考题型．
27．（7分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果为定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．
【考点】几何变换综合题．版权所有
【分析】（1）连接CF，利用SAS证明△BAE≌△CAF，得CF＝BE，再证明NG为△ECF的中位线，可得答案．
（2）连接BE，CF，同理可证△BAE≌△CAF，得∠ABE＝∠ACF，再利用MN、DN分别是△ECF、△BCE的中位线，利用平行线的性质进行角度之间的转化，从而解决问题；
（3）取AC的中点，连接BJ，BN，利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAG＝∠GAF＝30°，
∴EG＝GF，
∵点N为CE的中点，
∴NG为△ECF的中位线，
∴CF＝2NG，
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴CF＝BE，
∴BE＝2NG；
（2）∠DNM是定值，为120°，理由如下：
连接BE，CF，
同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，
∵EN＝NC，EM＝MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM＝∠ECF，
∵BD＝DC，EN＝NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN＝∠EBC，
∵∠END＝∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM
＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF
＝∠EBC+∠ACB+∠ACF
＝∠EBC+∠BCF＝120°，
∴∠DNM是定值120°；
（3）如图，取AC的中点，连接BJ，BN，
∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN＝，
∵BJ＝AD＝4，
∴BN≤BJ+JN，
∴BN，
∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大为5．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形三边关系等知识，利用平行线的性质进行角度的转化是解决问题（2）的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P．给出如下定义：若在线段AB上存在点Q，作直线PQ，使得直线PQ与x轴形成的的角中，有一个角为α（0°＜α≤90°），则称点P是线段AB的“α﹣关联点”．特别地，当PQ与x轴平行时，记α＝0°，此时点P是线段AB的0°﹣关联点”．如图是线段AB的一个“α﹣关联点”的示意图．已知点A（0，4），
（1）点B（2，b），
①若b＝2，且它是线段OA的“α﹣关联点”，在α＝30°和α＝60°中，可能的α值为 30° ．
②若点B既是线段OA的“45°﹣关联点”，又是线段OA的60°﹣关联点”．直接写出b的取值范围；
（2）已知图形G是边长为a的等边三角形，若图形G上所有的点都是线段OA的“45°﹣关联点”，求a的最大值；
（3）⊙T的圆心为（t，0），其中t＞0，半径为，点M在以A为圆心，半径为2的圆上，若⊙T上所有的点都是线段AM的“45°﹣关联点”，直接写出t的最小值和最大值，以及相应的点M的坐标．
【考点】圆的综合题．版权所有
【分析】（1）①若b＝2，则点B（2，2），如图，可知过点B的直线l与线段OA有交点时，直线l与x轴的夹角的取值范围为0°≤α≤45°，由此即可判断；
②求出两个特殊位置B的坐标，结合图形，可得结论；
（2）如图（d），分别过点O，点A作直线l1，l2，l3，l4与x轴成45°夹角，则图形G应在直线l1，l2，l3，l4之间，且图形G的高等于OA时，a最大，可以假设a最大时图形G为等边三角形ABC，AO是高，求出AB的值即可；
（3）如图，线段AM的“45°﹣关联点”都在过点A，点M与x轴的夹角为45°的两条平行线之间，当直线l2与⊙A和⊙T相切且在两圆的左侧时，M，S为切点，⊙T上所以的点都是线段AM的“45°﹣关联点”，则此时，t取最小值．
设P为直线l2与y轴的交点，Q为直线l2与x轴的交点，则△AMP，△QST，△POQ都是等腰直角三角形，求出OF的值，可得结论，当l2与⊙A和⊙T相切且在两圆的右侧时，此时t取最大值，同理可得．
【解答】解：（1）①若b＝2，则点B（2，2），
如图，可知过点B的直线l与线段OA有交点时，直线l与x轴的夹角的取值范围为0°≤α≤45°，
所以在α＝30°和60°中，可能的α的值为30°．
故答案为：30°；
②如图（a），过点A与x轴的夹角为45° 的是直线AB1和AM，
∴B（2，6）．
过点O与x轴的夹角为45°的是AB2和OM，
∴B2（2，﹣2）．
∴线段B1B2上的点都是OA的“45°﹣关联点”；
如图（b），过点A与x轴的夹角为60° 的是直线AB3和AN2，
∴B3（2，4+2），N2（2，4﹣2）．
过点O与x轴的夹角为60°的是AB4和ON1，
∴B4（2，﹣2），N1（2，2），
∴线段B3N1和线段B4N2的点都是OA的“60°﹣关联点”；
如图（c），则当点B在B1N1和B2N2之间时，点B既是OA的“45°﹣关联点”，又是OA的“60°﹣关联点”．
∴b的取值范围为：﹣2＜b＜4﹣2或2＜b＜6；
（2）如图（d），分别过点O，点A作直线l1，l2，l3，l4与x轴成45°夹角，则图形G应在直线l1，l2，l3，l4之间，且图形G的高等于OA时，a最大，可以假设a最大时图形G为等边三角形ABC，AO是高，
∴AB＝＝＝，即a的最大值为．
（3）如图，线段AM的“45°﹣关联点”都在过点A，点M的直线与x轴的夹角为45°的两条平行线之间，
当直线l2与⊙A和⊙T相切且在两圆的左侧时，M，S为切点，⊙T上所有的点都是线段AM的“45°﹣关联点”，则此时，t取最小值．
设P为直线l2与y轴的交点，Q为直线l2与x轴的交点，则△AMP，△QST，△POQ都是等腰直角三角形，
∵⊙A的半径为AM＝2，⊙T的半径为TS＝，
∴AP＝AM＝2，QT＝TS＝，
∴OP＝OA﹣AP＝4﹣2，
∴OQ＝OP＝4﹣2，
∴OT＝OQ+QT＝4﹣2+＝4﹣，
∴t的最小值为4﹣，
过点M作MF⊥OA于点F．则△AM分式等腰直角三角形，
∴MF＝AF＝AM＝，
∴OF＝OA﹣AF＝4﹣，
∴t取最小值时，M点的坐标为（﹣，4﹣）．
如图，当l2与⊙A和⊙T相切且在两圆的右侧时，此时t取最大值，
同理可得，t的最大值为4+，此时M（，4+）．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
2022年北京师大附属实验中学中考数学模拟试卷（五）
（附参考答案与试题解析）
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2分）五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
3．（2分）如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
4．（2分）如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
5．（2分）如果a2﹣a﹣2＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2分）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y＝﹣ D．y＝x2+
8．（2分）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：
会员卡类型
办卡费用/元
有效期
优惠方式
A类
40
1年
每杯打九折
B类
80
1年
每杯打八折
C类
130
1年
一次性购买2杯，第二杯半价
例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡
C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 ．
10．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB ∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）
11．（2分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为 m．
12．（2分）函数y＝kx+1（k≠0）的图象上有两点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为 ．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，2），将△ABC关于直线x＝4对称，得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标为 ；再将△A1B1C1向上平移一个单位长度，得到△A2B2C2，则点C1的对应点C2的坐标为 ．
15．（2分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠ ＝ °（ ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP， ⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
21．（5分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．
22．（5分）疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
观看直播课节数的频数分布表
节数x
频数
频率
0≤x＜10
8
0.16
10≤x＜20
10
0.20
20≤x＜30
16
b
30≤x＜40
a
0.24
x≥40
4
0.08
总数
50
1
其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是 ；
（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有 人．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．
（1）求k和p的值；
（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．
24．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
25．（6分）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC﹣AB＝1．为了研究图中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．
（1）由题意可得＝，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为y＝ ；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： ；
②估计AB+AD的最小值为 ．（结果精确到0.1）
26．（6分）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（3，y4）四点．
（1）求二次函数的对称轴（用含t的代数式表示）；
（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，判断y1y4的正负并说明理由；
（3）若y3＞y2＞y4，判䉼y1与y2的大小，并说明理由．
27．（7分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果为定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P．给出如下定义：若在线段AB上存在点Q，作直线PQ，使得直线PQ与x轴形成的的角中，有一个角为α（0°＜α≤90°），则称点P是线段AB的“α﹣关联点”．特别地，当PQ与x轴平行时，记α＝0°，此时点P是线段AB的0°﹣关联点”．如图是线段AB的一个“α﹣关联点”的示意图．已知点A（0，4），
（1）点B（2，b），
①若b＝2，且它是线段OA的“α﹣关联点”，在α＝30°和α＝60°中，可能的α值为 ．
②若点B既是线段OA的“45°﹣关联点”，又是线段OA的60°﹣关联点”．直接写出b的取值范围；
（2）已知图形G是边长为a的等边三角形，若图形G上所有的点都是线段OA的“45°﹣关联点”，求a的最大值；
（3）⊙T的圆心为（t，0），其中t＞0，半径为，点M在以A为圆心，半径为2的圆上，若⊙T上所有的点都是线段AM的“45°﹣关联点”，直接写出t的最小值和最大值，以及相应的点M的坐标．
2022年北京师大附属实验中学中考数学模拟试卷（五）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．版权所有
【分析】从圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，可以圆柱的侧面展开图的是长方形．
【解答】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，
得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；
又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解，难度不大．
2．（2分）五边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【考点】多边形内角与外角．版权所有
【分析】n边形的内角和是（n﹣2）180°，由此即可求出答案．
【解答】解：五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
3．（2分）如图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域①处 B．区域②处 C．区域③处 D．区域④处
【考点】中心对称图形．版权所有
【分析】根据中心对称图形的概念解答．
【解答】解：把正方形添加在②处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（2分）如图，在△ABC中，EF∥BC，ED平分∠BEF，且∠DEF＝70°，则∠B的度数为（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【考点】角平分线的定义；平行线的性质；三角形内角和定理．版权所有
【分析】由EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，可推出∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，根据三角形内角和定理得出∠B的度数．
【解答】解：∵EF∥BC，∠DEF＝70°，ED平分∠BEF，
∴∠EDB＝∠DEF＝70°，∠BED＝∠DEF＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠EDB﹣∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
5．（2分）如果a2﹣a﹣2＝0，那么代数式（a﹣1）2+（a+2）（a﹣2）的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】代数式求值；解一元二次方程﹣配方法．版权所有
【分析】由已知条件求得a2﹣a的值，再化简原式，把代数式转化成a2﹣a的形式，后整体代入求值便可．
【解答】解：原式＝a2﹣2a+1+a2﹣4＝2a2﹣2a﹣3＝2（a2﹣a）﹣3，
∵a2﹣a﹣2＝0，
∴a2﹣a＝2，
∴原式＝2×2﹣3＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，整式的混合运算，整体思想，关键是把代数式化成a2﹣a的形式．
6．（2分）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【考点】垂径定理．版权所有
【分析】过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝4，
∴OC＝AB＝2，
故选：C．
【点评】此题考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（ ）
A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣2x C．y＝﹣ D．y＝x2+
【考点】反比例函数的性质；二次函数的性质；一次函数的性质．版权所有
【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．
【解答】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数y＝﹣的图象在二四象限，不满足条件，
故选：C．
【点评】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．可以用特值法进行快速的排除．
8．（2分）某便利店的咖啡单价为10元/杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表：
会员卡类型
办卡费用/元
有效期
优惠方式
A类
40
1年
每杯打九折
B类
80
1年
每杯打八折
C类
130
1年
一次性购买2杯，第二杯半价
例如，购买A类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费40+2×50×（0.9×10）＝940元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员卡 B．购买B类会员卡
C．购买C类会员卡 D．不购买会员卡
【考点】一元一次方程的应用．版权所有
【分析】设一年内在便利店购买咖啡x次，用x表示出购买各类会员年卡的消费费用，把x＝75、85代入计算，比较大小得到答案．
【解答】解：设一年内在便利店购买咖啡x次，
购买A类会员年卡，消费费用为40+2×（0.9×10）x＝（40+18x）元；
购买B类会员年卡，消费费用为80+2×（0.8×10）x＝（80+16x）元；
购买C类会员年卡，消费费用为130+（10+5）x＝（130+15x）元；
把x＝75代入得A：1390元；B：1280元；C：1255元，
把x＝85代入得A：1570元；B：1440元；C：1405元，
则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75～85次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买C类会员年卡．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算的应用，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式的值为0，则x的值为 1 ．
【考点】分式的值为零的条件．版权所有
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解可得．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴1﹣x＝0且x≠0，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，则∠ACB ＜ ∠ADB．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【考点】圆周角定理．版权所有
【分析】延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，根据三角形外角性质得∠ADB＞∠E，根据圆周角定理得∠ACB＝∠E，于是∠ACB＜∠ADB．
【解答】解：∠ACB＜∠ADB．理由如下：
延长AD交⊙O于E，连接BE，如图，
∵∠ADB＞∠E，
而∠ACB＝∠E，
∴∠ACB＜∠ADB．
故答案为＜．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
11．（2分）在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为21m，那么这根旗杆的高度为 14 m．
【考点】相似三角形的应用；平行投影．版权所有
【分析】直接利用同一时刻物体影长与实际高度比值相同进而得出答案．
【解答】解：设这根旗杆的高度为xm，根据题意可得：
＝，
解得：x＝14．
即这根旗杆的高度为14m．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键．
12．（2分）函数y＝kx+1（k≠0）的图象上有两点P1（﹣1，y1），P2（1，y2），若y1＜y2，写出一个符合题意的k的值 k＝1（答案不唯一） ．
【考点】一次函数的性质．版权所有
【分析】由﹣1＜1且y1＜y2可得出y值随x值的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k＞0，任取一个大于0的值即可．
【解答】解：∵﹣1＜1，且y1＜y2，
∴y值随x值的增大而增大，
∴k＞0．
故答案为：k＝1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形．版权所有
【分析】由BD⊥BC，推出∠CBD＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半．CD＝2BD＝2．
【解答】解：∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝120°﹣90°＝30°，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
∴∠A＝∠ABD，
∴DB＝AD＝1，
在Rt△CBD中，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2BD＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了等腰三角形与含30度角直角三角形的性质，正确理解在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
14．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点C（3，2），将△ABC关于直线x＝4对称，得到△A1B1C1，则点C的对应点C1的坐标为 （5，2） ；再将△A1B1C1向上平移一个单位长度，得到△A2B2C2，则点C1的对应点C2的坐标为 （5，3） ．
【考点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移．版权所有
【分析】根据轴对称，平移的性质画出三角形即可．
【解答】解：如图△A1B1C1，△A2B2C2，即为所求．C1（5，2），C2（5，3）．
故答案为（5，2），（5，3）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣对称，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．（2分）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出一个球，两次都摸出白球的概率是 ．
【考点】列表法与树状图法．版权所有
【分析】列举出所有可能出现的结果，进而求出“两次都是白球”的概率．
【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：
共有9种等可能出现的结果，其中两次都是白球的有4种，
∴两次都摸出白球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），E（7，0），将二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）的图象记为W．下列的判断中：
①点A一定不在W上；
②点B，C，D可以同时在W上；
③点C，E不可能同时在W上．
所有正确结论的序号是 ①② ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行分析判定即可．
【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣2）2+m（m≠0）可知，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，m），
①∵点A（2，0），
∴点A在对称轴上，
∵m≠0，
∴点A一定不在W上；故①正确；
②∵B（0，﹣2），C（﹣2，4），D（4，﹣2），
∴三点不在一条直线上，且B、D关于直线x＝2对称，
∴点B，C，D可以同时在W上；故②正确；
③∵E（7，0），
∴E关于对称轴的对称点为（﹣3，0），
∵C（﹣2，4），
∴三点不在一条直线上，
∴点C，E可能同时在W上，故③错误；
故正确结论的序号是①②，
故答案为①②．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．
三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．版权所有
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝﹣3+1+﹣1﹣2×
＝﹣3+1+﹣1﹣
＝﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函＝数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．（5分）解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．版权所有
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案．
【解答】解：解不等式4（x+1）≤2x+6，得：x≤1，
解不等式x﹣3＜，得：x＜2，
则不等式组的解集为x≤1，
所以不等式组的非负整数解为0、1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（5分）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和圆外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：①连接OP；
②以OP为直径作OM，交⊙O于点A，B；
③作直线PA，PB；
所以直线PA，PB为⊙O的切线．
根据小文设计的作图过程，完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠ OBP ＝ 90 °（ 直径所对的圆周角是直角 ）（填推理的依据）．
∴OA⊥AP， OB ⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（ 过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
【考点】作图—复杂作图．版权所有
【分析】根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可．
【解答】证明：连接OA，OB．
∵OP为OM的直径，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°（直径所对的圆周角是直角）．
∴OA⊥AP，OB⊥BP．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB为⊙O的切线（过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线）．
故答案为：OBP，90，直径所对的圆周角是直角，OB，过半径的外端垂直半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）如果此方程有一个实数根为0，求m的值．
【考点】根的判别式．版权所有
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0的根的判别式Δ＝b2﹣4ac的符号来判定该方程的根的情况；
（2）将x＝0代入原方程，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝（﹣4m）2﹣4（4m2﹣9）
＝36，
∵不论m取何值时，36恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝0代入x2﹣4mx+4m2﹣9＝0中，得4m2﹣9＝0，
解得：m＝或﹣．
∴m的值为或﹣．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x＝0代入原方程求出m值．
21．（5分）如图，矩形ABCD，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ACFE是菱形；
（2）连接BE交AD于点G．当AB＝2，∠ACB＝30°时，求BG的长．
【考点】菱形的判定；矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．版权所有
【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，求得AE＝AC，EF＝CF，根据平行线的性质得到∠EAD＝∠AFC，求得AE＝EF＝AC＝CF，于是得到结论；
（2）如图，根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，根据直角三角形的性质得到BC＝2，CE＝4，由勾股定理得到BE＝＝2，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴AF⊥CE，
∵CD＝DE，
∴AE＝AC，EF＝CF，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE∥CF，
∴∠EAD＝∠AFC，
∴∠CAD＝∠CFA，
∴AC＝CF，
∴AE＝EF＝AC＝CF，
∴四边形ACFE是菱形；
（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCE＝90°，CD＝AB，
∵AB＝2，CD＝DE，
∴BC＝2，CE＝4，
∴BE＝＝2，
∵AB＝CD＝DE，∠BAE＝∠EDG＝90°，∠AGB＝∠DGE，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴BG＝EG，
∴BG＝BE＝．
【点评】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
22．（5分）疫情期间某校学生积极观看网络直播课程，为了了解全校500名学生观看网络直播课程的情况，随机抽取50名学生，对他们观看网络直播课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
观看直播课节数的频数分布表
节数x
频数
频率
0≤x＜10
8
0.16
10≤x＜20
10
0.20
20≤x＜30
16
b
30≤x＜40
a
0.24
x≥40
4
0.08
总数
50
1
其中，节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a＝ 12 ，b＝ 0.32 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是 24 ；
（4）请估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有 160 人．
【考点】频数（率）分布直方图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表．版权所有
【分析】（1）根据频数分布表即可求出a，b；
（2）结合（1）根据频数分布表即可补全频数分布直方图；
（3）根据节数在20≤x＜30这一组的数据是：20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29即可得观看直播课节数的中位数；
（4）利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．
【解答】解：（1）a＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，
b＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；
故答案为：12，0.32；
（2）补全的频数分布直方图如下：
（3）∵节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
∴随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+25）÷2＝24，
故答案为：24；
（4）500×（0.24+0.08）＝160（人）．
答：估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的约有160人．
故答案为：160．
【点评】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝kx（k≠0）交于点P（1，p）．M是函数y＝（x＞0）图象上一点，过M作x轴的平行线交直线y＝kx（k≠0）于点N．
（1）求k和p的值；
（2）设点M的横坐标为m．
①求点N的坐标；（用含m的代数式表示）
②若△OMN的面积大于，结合图象直接写出m的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．版权所有
【分析】解：（1）将点P的坐标分别代入两个函数表达式，即可求解；
（2）①点M的横坐标为m，则点M（m，），MN∥x轴，故点N的纵坐标为，即可求解；
②△OMN的面积＝×MN×yM＝×（﹣m）×＞（m＞0），即可求解．
【解答】解：（1）将点P的坐标代入y＝（x＞0）得：2＝1×p，
解得：p＝2，
故点P（1，2）；
将点P的坐标代入y＝kx得：2＝k×1，解得：k＝2；
（2）①点M的横坐标为m，则点M（m，），
∵MN∥x轴，故点N的纵坐标为，
将点N的纵坐标代入直线y＝2x得：＝2x，解得：x＝，
故点N的坐标为（，）；
②△OMN的面积＝×MN×yM＝×|（﹣m）|×＞（m＞0），
解得：m＜或m，
故0＜m或m＞．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型．
24．（6分）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交AC于点D，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E．
（1）求证：EC＝ED；
（2）如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．
【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质；勾股定理．版权所有
【分析】（1）连接OC，由切线的性质可证得∠ACE+∠A＝90°，又∠CDE+∠A＝90°，可得∠CDE＝∠ACE，则结论得证；
（2）先根据勾股定理求出OE，OD，AD的长，证明Rt△AOD∽Rt△ACB，得出比例线段即可求出AC的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CE与⊙O相切，为C是⊙O的半径，
∴OC⊥CE，
∴∠OCA+∠ACE＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACE+∠A＝90°，
∵OD⊥AB，
∴∠ODA+∠A＝90°，
∵∠ODA＝∠CDE，
∴∠CDE+∠A＝90°，
∴∠CDE＝∠ACE，
∴EC＝ED；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△DCF中，∠DCE+∠ECF＝90°，∠DCE＝∠CDE，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠CDE+∠F＝90°，
∴∠ECF＝∠F，
∴EC＝EF，
∵EF＝3，
∴EC＝DE＝3，
∴OE＝＝5，
∴OD＝OE﹣DE＝2，
在Rt△OAD中，AD＝＝2，
在Rt△AOD和Rt△ACB中，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AOD，
∴Rt△AOD∽Rt△ACB，
∴，
即，
∴AC＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
25．（6分）如图1，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD＝90°，AC﹣AB＝1．为了研究图中线段之间的数量关系，设AB＝x，AD＝y．
（1）由题意可得＝，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为y＝ y＝x++2（x＞0） ；
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质： 函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大 ；
②估计AB+AD的最小值为 4.8 ．（结果精确到0.1）
【考点】动点问题的函数图象．版权所有
【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可．
（2）利用描点法画出函数图象即可．
（3）①结合图象解决问题（答案不唯一）．
②由x+y＝2x++2≥2+2可得结论．
【解答】解：（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∵AC﹣AB＝1，
∴AC＝1+AB，
∵AB＝x，AD＝y，
∴，
∴y＝x++2（x＞0）；
故答案为y＝x++2（x＞0）．
（2）函数图象如图所示：
（3）①函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为函数的最小值是4或当x＞1时，y随x的增大而增大．
②解法一：∵x+y＝2x++2≥2+2，
∴x+y≥4.8，
解法二：利用图象法，可知x+y的最小值约为4.8．
故答案为4.8．
【点评】本题考查动点问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．（6分）二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0）的图象经过A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（3，y4）四点．
（1）求二次函数的对称轴（用含t的代数式表示）；
（2）已知t＝﹣1，若y2y3＜0，判断y1y4的正负并说明理由；
（3）若y3＞y2＞y4，判䉼y1与y2的大小，并说明理由．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．版权所有
【分析】（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）根据抛物线解析式可得抛物线对称轴，根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小，进而求解．
（3）分a＞0，a＜0两种情况，根据函数的性质进行判断即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2atx+c（a≠0），
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝t；
（2）∵t＝﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
当抛物线开口向上时，
∵3﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣2）＞1﹣（﹣1），
∴y4＞y1＞y2＞y3，
若y2y3＜0，则y4＞y1＞y2＞0＞y3，
∴y1y4＞0，
当抛物线开口向下时，
∵3﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣2）＞1﹣（﹣1），
∴y3＞y2＞y1＞y4，
若y2y3＜0，则y3＞0＞y2＞y1＞y4，
∴y1y4＞0，
综上，y1y4＞0；
（3）y1＜y2，理由：
当a＜0时，越靠近对称轴其对应的y值越大，
∵y3＞y2，
∴对称轴在x＝﹣的右侧，
∵y2＞y4，
∴对称轴在x＝的左侧，
∴对称轴在x＝﹣和x＝之间，
∴y1＜y2；
当a＞0时，越靠近对称轴其对应的y值越小，
∵y3＞y2，
∴对称轴在x＝﹣的左侧，
∵y2＞y4，
∴对称轴在x＝的右侧，
∴此种情况不存在．
∴y1＜y2
【点评】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用对称性解决问题，属于中考常考题型．
27．（7分）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．
（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，BE，直接写出NG与BE的数量关系；
（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，如果为定值，请写出∠DNM的度数并证明，如果不是，请说明理由；
（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．
【考点】几何变换综合题．版权所有
【分析】（1）连接CF，利用SAS证明△BAE≌△CAF，得CF＝BE，再证明NG为△ECF的中位线，可得答案．
（2）连接BE，CF，同理可证△BAE≌△CAF，得∠ABE＝∠ACF，再利用MN、DN分别是△ECF、△BCE的中位线，利用平行线的性质进行角度之间的转化，从而解决问题；
（3）取AC的中点，连接BJ，BN，利用三角形三边关系可得答案．
【解答】解：（1）如图，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AB＝BC＝AC＝8，BD＝CD＝4，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠EAG＝∠GAF＝30°，
∴EG＝GF，
∵点N为CE的中点，
∴NG为△ECF的中位线，
∴CF＝2NG，
∵△ABC，△AEF是等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴CF＝BE，
∴BE＝2NG；
（2）∠DNM是定值，为120°，理由如下：
连接BE，CF，
同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，
∵EN＝NC，EM＝MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM＝∠ECF，
∵BD＝DC，EN＝NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN＝∠EBC，
∵∠END＝∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM
＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF
＝∠EBC+∠ACB+∠ACF
＝∠EBC+∠BCF＝120°，
∴∠DNM是定值120°；
（3）如图，取AC的中点，连接BJ，BN，
∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN＝，
∵BJ＝AD＝4，
∴BN≤BJ+JN，
∴BN，
∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大为5．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形三边关系等知识，利用平行线的性质进行角度的转化是解决问题（2）的关键．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P．给出如下定义：若在线段AB上存在点Q，作直线PQ，使得直线PQ与x轴形成的的角中，有一个角为α（0°＜α≤90°），则称点P是线段AB的“α﹣关联点”．特别地，当PQ与x轴平行时，记α＝0°，此时点P是线段AB的0°﹣关联点”．如图是线段AB的一个“α﹣关联点”的示意图．已知点A（0，4），
（1）点B（2，b），
①若b＝2，且它是线段OA的“α﹣关联点”，在α＝30°和α＝60°中，可能的α值为 30° ．
②若点B既是线段OA的“45°﹣关联点”，又是线段OA的60°﹣关联点”．直接写出b的取值范围；
（2）已知图形G是边长为a的等边三角形，若图形G上所有的点都是线段OA的“45°﹣关联点”，求a的最大值；
（3）⊙T的圆心为（t，0），其中t＞0，半径为，点M在以A为圆心，半径为2的圆上，若⊙T上所有的点都是线段AM的“45°﹣关联点”，直接写出t的最小值和最大值，以及相应的点M的坐标．
【考点】圆的综合题．版权所有
【分析】（1）①若b＝2，则点B（2，2），如图，可知过点B的直线l与线段OA有交点时，直线l与x轴的夹角的取值范围为0°≤α≤45°，由此即可判断；
②求出两个特殊位置B的坐标，结合图形，可得结论；
（2）如图（d），分别过点O，点A作直线l1，l2，l3，l4与x轴成45°夹角，则图形G应在直线l1，l2，l3，l4之间，且图形G的高等于OA时，a最大，可以假设a最大时图形G为等边三角形ABC，AO是高，求出AB的值即可；
（3）如图，线段AM的“45°﹣关联点”都在过点A，点M与x轴的夹角为45°的两条平行线之间，当直线l2与⊙A和⊙T相切且在两圆的左侧时，M，S为切点，⊙T上所以的点都是线段AM的“45°﹣关联点”，则此时，t取最小值．
设P为直线l2与y轴的交点，Q为直线l2与x轴的交点，则△AMP，△QST，△POQ都是等腰直角三角形，求出OF的值，可得结论，当l2与⊙A和⊙T相切且在两圆的右侧时，此时t取最大值，同理可得．
【解答】解：（1）①若b＝2，则点B（2，2），
如图，可知过点B的直线l与线段OA有交点时，直线l与x轴的夹角的取值范围为0°≤α≤45°，
所以在α＝30°和60°中，可能的α的值为30°．
故答案为：30°；
②如图（a），过点A与x轴的夹角为45° 的是直线AB1和AM，
∴B（2，6）．
过点O与x轴的夹角为45°的是AB2和OM，
∴B2（2，﹣2）．
∴线段B1B2上的点都是OA的“45°﹣关联点”；
如图（b），过点A与x轴的夹角为60° 的是直线AB3和AN2，
∴B3（2，4+2），N2（2，4﹣2）．
过点O与x轴的夹角为60°的是AB4和ON1，
∴B4（2，﹣2），N1（2，2），
∴线段B3N1和线段B4N2的点都是OA的“60°﹣关联点”；
如图（c），则当点B在B1N1和B2N2之间时，点B既是OA的“45°﹣关联点”，又是OA的“60°﹣关联点”．
∴b的取值范围为：﹣2＜b＜4﹣2或2＜b＜6；
（2）如图（d），分别过点O，点A作直线l1，l2，l3，l4与x轴成45°夹角，则图形G应在直线l1，l2，l3，l4之间，且图形G的高等于OA时，a最大，可以假设a最大时图形G为等边三角形ABC，AO是高，
∴AB＝＝＝，即a的最大值为．
（3）如图，线段AM的“45°﹣关联点”都在过点A，点M的直线与x轴的夹角为45°的两条平行线之间，
当直线l2与⊙A和⊙T相切且在两圆的左侧时，M，S为切点，⊙T上所有的点都是线段AM的“45°﹣关联点”，则此时，t取最小值．
设P为直线l2与y轴的交点，Q为直线l2与x轴的交点，则△AMP，△QST，△POQ都是等腰直角三角形，
∵⊙A的半径为AM＝2，⊙T的半径为TS＝，
∴AP＝AM＝2，QT＝TS＝，
∴OP＝OA﹣AP＝4﹣2，
∴OQ＝OP＝4﹣2，
∴OT＝OQ+QT＝4﹣2+＝4﹣，
∴t的最小值为4﹣，
过点M作MF⊥OA于点F．则△AM分式等腰直角三角形，
∴MF＝AF＝AM＝，
∴OF＝OA﹣AF＝4﹣，
∴t取最小值时，M点的坐标为（﹣，4﹣）．
如图，当l2与⊙A和⊙T相切且在两圆的右侧时，此时t取最大值，
同理可得，t的最大值为4+，此时M（，4+）．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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