2022年北京市第四中学中考数学模拟试卷(word版含答案)

2022年北京四中中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 年末，在中国武汉引发疫情的冠状病毒，被命名为新型冠状病毒，冠状病毒的平均直径约是米．数据学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 下列等式正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是

A. 正方体 B. 四棱锥
C. 圆柱 D. 球

5. 已知，，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 下列运算中正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 已知：、、是上的三个点，且，那么 的度数是

A.  B.  C.  D. 或 

8. 二次函数的图象在轴上截得的线段长为    

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 当时，分式的值为；而当时，分式无意义，则______，______．
10. 已知为常数，方程组的解、的值互为相反数，则 ______ ．
11. 请写出一个小于的正整数______．
12. 口袋中有个元硬币和个角硬币，搅匀后从中摸出个硬币，可能会出现的结果为______；将硬币放回再搅匀后摸出个硬币，次都是元硬币的机会为______，都是角硬币的机会为______若用树形图表示如下，请填全．

13. 如图，在扇形中，，，点是的中点，点，分别为半径，上动点当的周长最小时，图中阴影部分的面积为______ ．
     

14. 二次函数的图象与轴的两个交点、，且，那么 ______ ．
15. 现有一个三位数密码锁，已知以下个条件，可以推断正确的密码是______ ．
    

只有一个号码正确且位置正确

只有两个号码正确且位置不正确

三个号码都不正确
 

16. 某小学女生占全体学生，比男生多人，这个学校一共有______人学生．

三、解答题（本大题共12小题，共72分）

17. 计章：．
    
    
    
     
18. 解不等式，并把解集表示在数轴上．
    解不等式组，把解集表示在数轴上，并求出所有整数解．

19. 作图题用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法，但要写结论
    
    如图，作出线段的中垂线；
    如图，作出的平分线；
    如图，已知、和线段、，作，使，，．
20. 一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图可以解释为：．
    图可以解释为等式：______
    要拼出一个长为，宽为的长方形，需要如图所示的______ 块，______ 块，______ 块．
    如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个矩形的两边长，观察图案，指出以下关系式：
                 
    其中正确的有______
    A.个   个    个   个．

21. 据报道，四川雅安发生级地震后，在对灾区的救援中，不少企业都为赈灾救援提供了便利．某公司获悉雅安急需某药品，就用元购进了一批这种药品，运到雅安后很快用完，某公司又用元购进第二批这种药品，所购数量是第一批购进数量的倍，但每件药品进价多了元．
    该公司两次共购进这种药品多少件？
    若一件药品一天可以满足人使用，那么这些药品可以在天内至少满足多少人使用？
    
    
     
22. 细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
    
    ，；，；，；
    请用含为正整数的等式表示上述变化规律；
    观察总结得出结论：三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：           ；
    利用上面的结论及规律，请在数轴上作出到原点的距离等于的点；
    你能计算出的值吗？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，已知抛物线与直线的一个交点在轴上、另一交点为点，直线与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，交轴于点．
    求抛物线的解析式；
    点是抛物线上、之间的一点，连接、，当面积最小时，求点的坐标．

24. 如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．
    求证：；
    若，求证：与相切．

25. 为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请根据统计图解答下列问题：
    
    本次接受问卷调查的学生有______名；
    补全条形统计图；
    扇形统计图中，类节目所对应的扇形圆心角的度数为______度；
    该校共有名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生数．

26. 如图，抛物线过点，为线段上一个动点点与点不重合，过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、．
    求直线的解析式和抛物线的解析式；
    如果点是的中点，那么求此时点的坐标；
    在对称轴的左侧是否存在点使四边形的面积最大，如果存在求点的坐标；不存在请说明理由．

27. 如图：已知在中，，，，点由点出发，沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为，若设运动的时间为，解答下列问题：
    如图，连接，设的面积为，则与之间的函数关系式是______；
    如图，连接、，当，求的值；
    如图，已知上有一点，上有一点，连接，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

28. 如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接，．
    若的度数是，求的度数；
    求证：平分；
    若，，经过圆心，求的长．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：数据学记数法表示为．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据有理数的乘方的运算法则，合并同类项法则，去括号法则分别求出每个式子的值，再判断即可．
本题考查了有理数的乘方，合并同类项，去括号．解题的关键是掌握有理数的乘方的运算法则，合并同类项法则，去括号法则．
 

4.【答案】
 

【解析】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．
故选：．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

5.【答案】
 

【解析】解：当，时，
原式
，
故选：．
将、的值分别代入，再分母有理化，最后计算加减可得．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘除法，可得答案．
本题考查了同底数幂的乘除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图，当点位于弧上时，
和是弧所对的角，
，
，
；
如图，当点位于劣弧上，．
故选：．
本题有两种情况，一种情况是点位于优弧上，此时根据圆周角定理可知，当点位于劣弧上，此时，即可得出的度数．
本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】首先把代入二次函数解析式，求出二次函数图象与轴的交点坐标，进而求出截得的线段长即可．

解：把代入，得

解得

所以．

故选C．

9.【答案】；
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件以及分式无意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
分别利用分式的值为，则分子为，分式无意义，其分母为，进而求出．
【解答】
解：当时，分式的值为；
，解得：，
当时，分式无意义，
，
解得：．
故答案为：，．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．由，的值互为相反数，得到，即，代入方程组消去求出的值即可．
【解答】
解：由题意得：，即，
代入方程组得：，
得：，
解得：，
故答案为：．  

11.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：，
，
小于的正整数有：，，，
写出一个小于的正整数：，
故答案为：答案不唯一．
先估算出的值，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
 

12.【答案】元硬币，角硬币，角硬币；；
 

【解析】解：口袋中有个元硬币和个角硬币，
搅匀后从中摸出个硬币，可能会出现的结果为：元硬币，角硬币；
画树状图得：

共有种等可能的结果，次都是元硬币的有种情况，都是角硬币的有种情况，
次都是元硬币的机会为，都是角硬币的机会为．
故答案为：元硬币，角硬币，角硬币；；．
由口袋中有个元硬币和个角硬币，即可求得可能会出现的结果；
首先根据题意补全树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及次都是元硬币与都是角硬币的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】
 

【解析】解：作点关于，的对称点，，连接交于，交于，连接，，，，此时的周长最小，设交于．

，
，
，，
，
，都是等边三角形，
四边形是菱形，
，，
，
．
故答案为：．
作点关于，的对称点，，连接交于，交于，连接，，，，此时的周长最小，设交于求出等边三角形的边长，可得结论．
本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：依题意得：，
则抛物线与轴的两个交点横坐标是、，
所以，
即，
解得，．
故答案是：或．
根据二次函数与一元二次方程的关系得到：，结合根与系数的关系和两点间的距离进行解答即可．
本题考查了抛物线与轴的交点．求二次函数是常数，与轴的交点坐标，令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．
 

15.【答案】
 

【解析】解：根据知密码里不含有，，，
中只有正确，且位置正确，
中有两个号码正确且位置不正确，
和数字正确，且位置不正确，
所以该密码里含有，，三个数字，位置确定为，
故答案为：．
首先根据密码里不含有的数字排除掉，，，然后根据确定含有的确定其位置，从而确定正确的答案．
考查了推理论证的知识，解题的关键是能够根据题目提供的条件进行组合论证，利用排除法确定答案，难度不大．
 

16.【答案】
 

【解析】解：

人．
故这个学校一共有人学生．
故答案为：．
先求出女生比男生占全体学生多的百分数，再根据分数除法的意义列出算式计算即可求解．
考查了列代数式，解题的关键是找到关键语句，从而确定等量关系，根据等量关系列出代数式求解即可．
 

17.【答案】解：原式
．
 

【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则、立方根、算术平方根分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算、立方根、算术平方根，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：去分母得，
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为得：
这个不等式的解集在数轴上表示：

解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示不等式组的解集为：
，
不等式组的整数解为．
 

【解析】运用去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为的方法解不等式，然后把解集表示在数轴上．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
 

19.【答案】解：如图，直线为所作；

如图，为所作；

如图，为所作；

 

【解析】利用基本作图作线段的垂直平分线作垂直平分即可；
利用基本作图作一个角的平分线作平分即可；
利用基本作图作一个角等于已知角作出，分别在角的两边分别截取，．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

20.【答案】；
；；；
 

【解析】解：图可以解释为等式是，
故答案为：．

，
故答案为：，，．

，正确；
，正确；
错误，
即正确的有个，
故选B．
求出长方形的长和宽，根据面积公式求出即可；
求出长方形的面积，即可得出答案；
根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．
本题考查了长方形的面积，整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
 

21.【答案】解：设公司第一次购进件药品，由题意得：
，
解这个方程，得，
经检验，是所列方程的根．
，
件，
答：某公司两次共购进这种药品件．

设这些药品可以在天内满足人使用：，
解这个不等式，得
所以这些药品可以在天内至少满足人使用．
 

【解析】设公司第一次购进件药品，则设公司第二次购进件药品，根据关键语句“每件药品进价多了元”可得等量关系：第一次药品的单价第二次药品的单价元，由等量关系列出方程即可；
设这些药品可以在天内满足人使用，根据题意可得不等关系求出即可．
此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程和不等式．
 

22.【答案】解：    ，  ；

三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，
故答案为：三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；

如图点表示的数是 ；


    
        
 
 ．
 

【解析】试题分析：根据算式得出规律即可；
三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；
作出长等于的线段，再作一条直角边等于，斜边的长就是，在数轴上画出即可；
把各个面积的值代入，再根据运算顺序求出即可．
 

23.【答案】解：令，根据题意得：．
抛物线的对称轴为直线，
．
解得．
抛物线解析式为；
联立方程组，
解得，．
，．
设．
，顶点坐标为，对称轴为直线，
．
令时，，
解得．
．
．
．
，
开口向上．
，
当时，，故．
 

【解析】由直线与抛物线交点的求法求得；利用抛物线对称轴方程求得的值即可；
由直线与抛物线交点的求法得到点、的坐标．设，所以根据三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用配方法求得二次函数的最值即可．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式以及二次函数最值的求法．解答题时，注意配方法的应用．
 

24.【答案】解：连接，

在和中，
，
≌，
，
又，
，
为的直径，
，
即，
；

证明：，
设、则，
，
，且，
，，
在中，，
在中，，，
，
，
则与相切．
 

【解析】连接，证≌得，由知，再由为直径知，从而得；
根据可设、则、，证为中位线知、，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得．
本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆定理等知识点，学会利用参数表示线段的长来解决问题．
 

25.【答案】 
 

【解析】解：本次接受问卷调查的学生有：名，
故答案为：；

喜爱类的有：名，
补全的条形统计图如右图所示；

扇形统计图中类节目对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：；

名，
答：估计该校最喜爱新闻节目的学生有名．
根据类的人数和所占的百分比可以求得本次调查的学生人数；
求出类的人数，即可将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中类节目对应扇形的圆心角的度数；
根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

26.【答案】解：设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为；
把，代入得，解得，
抛物线解析式为；
，轴，
，，
，，
而，
，解得舍去，，
点坐标为；
在对称轴的左侧不存在点使四边形的面积最大，理由如下：
，，轴，
，
对称轴是，在对称轴的左侧，
，
的值无法确定，
在对称轴的左侧不存在点使四边形的面积最大．
 

【解析】利用待定系数法求直线和抛物线解析式；
先表示出，，则计算出，，则利用得到，然后解方程求出即可得到点坐标；
根据梯形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
本题考查了二次函数的综合题，解的关键是待定系数法；解的关键是利用中点得出；解的关键是利用梯形的面积公式得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
 

27.【答案】
 

【解析】解：如图，过点作于，则，

，，，
，
，
，
，，
的面积，
；
故答案为：；
如图，过点作于，

，
，
又，
，
又，
∽，
，
，
；
当平分的周长，可得，
不合题意舍去，
当平分的面积，可得，
方程无解，
不存在
过点作于，由平行线分线段成比例可求的长，由三角形面积公式可求解；
通过证明∽，可得，可求解；
分别计算平分的周长和面积时的的值，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
 

28.【答案】解：如图中，连接，，设交于．
的度数是，
，
，
，
，
，
．

证明：是直径，，
，
，，
，
，
，
即平分．

解：如图中，设交于．
是直径，，
，
，，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
．
 

【解析】如图中，连接，，设交于求出即可解决问题．
想办法证明，，即可解决问题．
解直角三角形求出，再证明，即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练应用垂径定理，圆周角定理解决问题，属于中考压轴题．