高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法导学案

向量的加法

【学习目标】

1．掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2．会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

【学习重点】

1．会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。

2．理解向量加法的定义

【学习过程】

一、情景引入：

（1）某人从A到B，再按原方向从B到C，

则两次的位移和：      

（2）若上题改为从A到B，再按反方向从B到C，

则两次的位移和：     

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：      

（4）船速为，水速为，则两速度和：

二、合作探究

探究一：向量加法——三角形法则和平行四边形法则

问题1：在情景引入（3）中两次位移的和向量与向量，的关系如何？

1．向量加法的三角形法则(“首尾相接”)：已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量__________叫做与的和，记作_________    ，即=__      __ __=______ ，这种求向量和的方法称为向量加法的三角形     法则。

2．向量加法的平行四边形法则：已知向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b

3．对于零向量与任一向量，我们规定=_________=____。

探究二：向量加法的交换律和结合律

问题2：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？

4．对于任意向量，，向量加法的交换律是：                   

结合律是：                    。

小结：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的始点与第一个向量的终点重合。

三、拓展提升

一般地|+|≤ || + ||

当与不共线时，|+||| + ||

当与共线且同向时，|+|=|| + ||

当与共线且反向时，|+|=||| —|||

四、预习自测

1．化简

2．在平行四边形ABCD中，下列各式中不成立的是     （1）（2）（4）         

（1）             （2）

（3）             （4）

3．已知正方形ABCD的边长为1，，则为（     ）

A．0         B．3         C．      D．

答案：D

五、课堂互动探究

例1 化简下列各式：

（1）＋＋；（2）＋＋＋

解：（1）＋＋＝(＋P)＋＝＋＝2；

（2）＋M＋＋＝(＋)＋(＋M)＝＋＝。

巩固训练：

化简：（1）＋＋；

（2）＋＋＋＋；

（3）＋＋＋＋。

解：（1）原式＝＋＋＝；

（2）原式＝＋＋＋＋＝0；

（3）原式＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋0＝0.

例2 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：

（1）＋；

（2）＋；

（3） ＋。

解：（1）＋＝； （2）＋＝； （3）＋＝0.

例3 一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为2 km/h，求船实际航行的速度的大小与方向。

解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度。

在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，

∴||＝＝4．

∵tan∠CAB＝＝，

∴∠CAB＝60°。

六、迁移与应用

如图（1），用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)。

解：如图（2），设、分别表示A．B所受的力，10 N的重力用表示，

则＋＝。

易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°。

∴∠CEG＝∠CFG＝90°，

∴||＝||cos 30°＝10×＝5，

||＝||cos 60°＝10×＝5．

∴A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N

【达标检测】

1．如图，D．E、F分别为的三边的中点， 则 （　　）

A．           B．   

C．         D．

答案：A

2． 如图，分别为的边的中点，则(   )

A．  B．

C．  D．

答案：A

3．  O为三角形ABC内一点，若++=，则O是三角形ABC的（   ）

A．内心  B．外心  C．垂心  D．重心

答案：D

4．四边形OABC中，，若，，则（　　）

A．      B． C．  D．

答案：D

5．在中，已知M是BC中点，设则（　　）

A．    B．    C．    D．

答案：A 

解析：，故选A．

6．在中，若，则一定是（　　）

A．钝角三角形     B．锐角三角形     

C．直角三角形       D．不能确定

答案：C

7．如图，在正六边形ABCDEF中，（　　）

A．      B．      C．      D．

答案：D  

解析：根据正六边形的性质，我们易得

=。  故选D

8．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于   （     ）

A．         B．        C．        D.

答案： A

解析：本题需要将用表达，则需利用向量的加法和减法法则（平行四边形或三角形法则）寻找他们之间的关系。由图可知所以，因为ABCD为平行四边形，所以有，则，故选A．

9．向量 表示“向东走2km”，向量表示“向南走km”，则表示       。

答案：向东南走8km

10．在四边形ABCD中，+++=          。

答案：

11．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝           。

答案：2 

解析：由向量加法的平行四边形法则得＋＝＝2，所以λ＝2．

12． 设平面内有四边形和点，，，，，

若，则四边形的形状为                。

答案：平行四边形

13． 如图，且，      

则   

答案：