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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法学案设计
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.1.2 向量的加法学案设计，共10页。学案主要包含了向量加法及其几何意义，向量加法运算律的应用等内容，欢迎下载使用。
知识点 向量求和法则及运算律
1．任意两个向量的和仍然是一个向量．( √ )
2．|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a∥b.( × )
3．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( × )
4．求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．( × )
一、向量加法及其几何意义
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
解 (1)作法：如图，在平面内任意取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.
(2)如图，在平面内任意取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.
反思感悟 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．
跟踪训练1 如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.
解 作法：在平面内任取一点O，如图所示，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.
二、向量加法运算律的应用
例2 (1)化简或计算：
①eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
解 ①eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
(2)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．化简eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→)).
解 由题意知eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)).
由题意可知eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→)).
∴eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＋(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝(eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＋0
＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
反思感悟 解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
跟踪训练2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝________.
答案 2eq \r(2)
解析 |eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝|(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
向量a，b的模与a＋b的模之间的关系
典例 已知非零向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且不共线，求|a＋b|的取值范围．
解 ∵a与b不共线，且|a|＝2，|b|＝3，
∴||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，
∴1<|a＋b|<5，
故|a＋b|的取值范围为(1,5)．
[素养提升] (1)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当a与b反向时，左边等号成立，当a与b同向时，右边等号成立．
(2)解答本题可利用向量加法的三角形法则作出图形辅助解答．
1．在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则a＋b等于( )
A.eq \(CA,\s\up6(→)) B.eq \(BC,\s\up6(→)) C.eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))
答案 D
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，∴a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
2．(多选)下列各式一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)) D．|a＋b|＝|a|＋|b|
答案 ABC
解析 A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
3．已知下列各式：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))；②(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))；③eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))；④eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)).
其中结果为0的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由向量加法的运算法则知①④的结果为0.故选B.
4.如图，在正六边形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)).
5.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝________.
答案 0
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
1．知识清单：
(1)向量加法的三角形法则．
(2)向量加法的平行四边形法则．
(3)向量加法的运算律．
2．方法归纳：作图法．
3．常见误区：作和向量时，共起点或首尾顺次相接，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件．
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；③eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)).
A．②③ B．② C．① D．③
答案 B
解析 ②错误，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0，①③正确．
2．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(OH,\s\up6(→)) B.eq \(OG,\s\up6(→)) C.eq \(FO,\s\up6(→)) D.eq \(EO,\s\up6(→))
答案 C
解析 设a＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))，则a与eq \(FO,\s\up6(→))长度相等，方向相同，所以a＝eq \(FO,\s\up6(→)).
3．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
答案 C
解析 对于A，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))≠eq \(CA,\s\up6(→))；对于B，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))≠eq \(BC,\s\up6(→))；对于C，eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))；对于D，eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))≠eq \(DC,\s\up6(→)).
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是( )
A.eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)) B.eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝0
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))≠0 D.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))≠0
答案 D
解析 由题意知eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))≠0.故选D.
5．在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，则向量eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))的长度等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，所以AC＝2，
因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
所以其长度为4.
6．向量(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))＋(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＋eq \(OP,\s\up6(→))化简后等于________．
答案 eq \(AM,\s\up6(→))
解析 (eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))＋(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＋eq \(OP,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＋(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))
＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→)).
7．已知点G是△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝________.
答案 0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→))，eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(GA,\s\up6(→))＝0，∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.
8．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案 8eq \r(2) km 北偏东45°
解析 如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，
则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝8eq \r(2)，∠BAC＝45°.
9．如图，已知向量a，b.
(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；
(2)用三角形法则作出向量a＋b.
解 (1)如图，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.
(2)如图，在平面内任取一点O′，作eq \(O′D,\s\up6(——→))＝a，eq \(DE,\s\up6(→))＝b，连接O′E，则eq \(O′E,\s\up6(——→))＝eq \(O′D,\s\up6(——→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝a＋b.
10．如图，∠AOB＝∠BOC＝120°，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，求eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)).
解 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则，可知eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→)).
∵∠AOB＝120°，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|，
∴∠BOD＝60°，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OD,\s\up6(→))|.
∵∠BOC＝120°，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，
∴eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.故eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
11．(多选)已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是( )
A.eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→)) B.eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝0
C.eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→)) D.eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))
答案 ABC
解析 由向量加法的平行四边形法则可知，eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))≠eq \(FD,\s\up6(→))，故D不正确．
12．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向________．
答案 [0,2] 相同
解析 由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．
13．如图所示，△ABC中，eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(1,2)，且BC＝3，则|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))|＝________.
答案 2
解析 ∵eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(1,2)，∴DE∥BC，且DE＝eq \f(1,3)BC＝1.
如图所示，作eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))，连接DF，则eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))，
∴|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))|＝|eq \(BF,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|－|eq \(CF,\s\up6(→))|＝2.
14．已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，且|a|＝|b|＝3.∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________.
答案 3eq \r(3)
解析 如图，根据平行四边形法则，四边形OACB为平行四边形，又因为|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝3，
所以四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，
设垂足为D.
因为∠AOB＝60°，所以AB＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，
所以在Rt△BDC中，CD＝eq \f(3\r(3),2)，
所以|a＋b|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(3\r(3),2)×2＝3eq \r(3).
15．在平行四边形ABCD中，若|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是__________．
答案 矩形
解析 因为|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|.又|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，又|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|.所以四边形ABCD为矩形．
16．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解 (1)如图所示，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，eq \(CD,\s\up6(→))＝d，则eq \(OD,\s\up6(→))＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝e，
则a＋e＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(AB1,\s\up6(→))同向，
所以此时|eq \(OB1,\s\up6(→))|，即|a＋e|最大，最大值是3.图示
几何意义
三角形法则
平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq \(AC,\s\up6(→))，则向量eq \(AC,\s\up6(→))称为a与b的和(也称eq \(AC,\s\up6(→))为向量a与b的和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
平行
四边形法则
平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量eq \(AD,\s\up6(→))，因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，因此eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
模的
不等式
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|
知识点 向量求和法则及运算律
1．任意两个向量的和仍然是一个向量．( √ )
2．|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a∥b.( × )
3．任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( × )
4．求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则．( × )
一、向量加法及其几何意义
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
解 (1)作法：如图，在平面内任意取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.
(2)如图，在平面内任意取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.
反思感悟 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．
(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．
跟踪训练1 如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.
解 作法：在平面内任取一点O，如图所示，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，则eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c.
二、向量加法运算律的应用
例2 (1)化简或计算：
①eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))；
②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
解 ①eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)).
②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→)))＋eq \(FA,\s\up6(→))
＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
(2)如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点．化简eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→)).
解 由题意知eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)).
由题意可知eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→)).
∴eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→)))＋(eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))
＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＋(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))
＝(eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＋0
＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))＝0.
反思感悟 解决向量加法运算时应关注两点
(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.
跟踪训练2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝________.
答案 2eq \r(2)
解析 |eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝|(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＋|eq \(AC,\s\up6(→))|＝2eq \r(2).
向量a，b的模与a＋b的模之间的关系
典例 已知非零向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且不共线，求|a＋b|的取值范围．
解 ∵a与b不共线，且|a|＝2，|b|＝3，
∴||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|，
∴1<|a＋b|<5，
故|a＋b|的取值范围为(1,5)．
[素养提升] (1)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，当a与b反向时，左边等号成立，当a与b同向时，右边等号成立．
(2)解答本题可利用向量加法的三角形法则作出图形辅助解答．
1．在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则a＋b等于( )
A.eq \(CA,\s\up6(→)) B.eq \(BC,\s\up6(→)) C.eq \(AB,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))
答案 D
解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，∴a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
2．(多选)下列各式一定成立的是( )
A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝a
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→)) D．|a＋b|＝|a|＋|b|
答案 ABC
解析 A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.
3．已知下列各式：
①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))；②(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→)))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))；③eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))；④eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)).
其中结果为0的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 由向量加法的运算法则知①④的结果为0.故选B.
4.如图，在正六边形ABCDEF中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \(BE,\s\up6(→))
C.eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(CF,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(CF,\s\up6(→)).
5.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝________.
答案 0
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0.
1．知识清单：
(1)向量加法的三角形法则．
(2)向量加法的平行四边形法则．
(3)向量加法的运算律．
2．方法归纳：作图法．
3．常见误区：作和向量时，共起点或首尾顺次相接，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件．
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0；③eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)).
A．②③ B．② C．① D．③
答案 B
解析 ②错误，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝0，①③正确．
2．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))等于( )
A.eq \(OH,\s\up6(→)) B.eq \(OG,\s\up6(→)) C.eq \(FO,\s\up6(→)) D.eq \(EO,\s\up6(→))
答案 C
解析 设a＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \(OQ,\s\up6(→))，则a与eq \(FO,\s\up6(→))长度相等，方向相同，所以a＝eq \(FO,\s\up6(→)).
3．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→)) B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
C.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→)) D.eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))
答案 C
解析 对于A，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))≠eq \(CA,\s\up6(→))；对于B，eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))≠eq \(BC,\s\up6(→))；对于C，eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，又eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))；对于D，eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))≠eq \(DC,\s\up6(→)).
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是( )
A.eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)) B.eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝0
C.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))≠0 D.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))≠0
答案 D
解析 由题意知eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))≠0.故选D.
5．在矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，则向量eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))的长度等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 矩形ABCD中，AB＝eq \r(3)，BC＝1，所以AC＝2，
因为eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
所以其长度为4.
6．向量(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))＋(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＋eq \(OP,\s\up6(→))化简后等于________．
答案 eq \(AM,\s\up6(→))
解析 (eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))＋(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＋eq \(OP,\s\up6(→))
＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＋(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))
＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→)).
7．已知点G是△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝________.
答案 0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，则eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝eq \(GD,\s\up6(→))，eq \(GD,\s\up6(→))＋eq \(GA,\s\up6(→))＝0，∴eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.
8．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案 8eq \r(2) km 北偏东45°
解析 如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，
则|eq \(AC,\s\up6(→))|＝8eq \r(2)，∠BAC＝45°.
9．如图，已知向量a，b.
(1)用平行四边形法则作出向量a＋b；
(2)用三角形法则作出向量a＋b.
解 (1)如图，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b.
(2)如图，在平面内任取一点O′，作eq \(O′D,\s\up6(——→))＝a，eq \(DE,\s\up6(→))＝b，连接O′E，则eq \(O′E,\s\up6(——→))＝eq \(O′D,\s\up6(——→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝a＋b.
10．如图，∠AOB＝∠BOC＝120°，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，求eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)).
解 如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由向量加法的平行四边形法则，可知eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→)).
∵∠AOB＝120°，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|，
∴∠BOD＝60°，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OD,\s\up6(→))|.
∵∠BOC＝120°，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|，
∴eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.故eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
11．(多选)已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中正确的是( )
A.eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(FA,\s\up6(→)) B.eq \(FD,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(EF,\s\up6(→))＝0
C.eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(EC,\s\up6(→)) D.eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(FD,\s\up6(→))
答案 ABC
解析 由向量加法的平行四边形法则可知，eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DF,\s\up6(→))≠eq \(FD,\s\up6(→))，故D不正确．
12．若|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的取值范围为________，当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向________．
答案 [0,2] 相同
解析 由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知0≤|a＋b|≤2.当|a＋b|取得最大值时，向量a，b的方向相同．
13．如图所示，△ABC中，eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(1,2)，且BC＝3，则|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))|＝________.
答案 2
解析 ∵eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)＝eq \f(1,2)，∴DE∥BC，且DE＝eq \f(1,3)BC＝1.
如图所示，作eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))，连接DF，则eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))，
∴|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))|＝|eq \(BF,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|－|eq \(CF,\s\up6(→))|＝2.
14．已知eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，且|a|＝|b|＝3.∠AOB＝60°，则|a＋b|＝________.
答案 3eq \r(3)
解析 如图，根据平行四边形法则，四边形OACB为平行四边形，又因为|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝3，
所以四边形OACB为菱形．连接OC，AB，则OC⊥AB，
设垂足为D.
因为∠AOB＝60°，所以AB＝|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，
所以在Rt△BDC中，CD＝eq \f(3\r(3),2)，
所以|a＋b|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(3\r(3),2)×2＝3eq \r(3).
15．在平行四边形ABCD中，若|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，则四边形ABCD是__________．
答案 矩形
解析 因为|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|.又|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，又|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))|，所以|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|.所以四边形ABCD为矩形．
16．如图，已知向量a，b，c，d.
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
解 (1)如图所示，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，eq \(BC,\s\up6(→))＝c，eq \(CD,\s\up6(→))＝d，则eq \(OD,\s\up6(→))＝a＋b＋c＋d.
(2)在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝e，
则a＋e＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线且eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(AB1,\s\up6(→))同向，
所以此时|eq \(OB1,\s\up6(→))|，即|a＋e|最大，最大值是3.图示
几何意义
三角形法则
平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq \(AC,\s\up6(→))，则向量eq \(AC,\s\up6(→))称为a与b的和(也称eq \(AC,\s\up6(→))为向量a与b的和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
平行
四边形法则
平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量eq \(AD,\s\up6(→))，因为eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，因此eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
模的
不等式
||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|
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